磁悬浮轴承的H_控制_LMI方法_刘雨

第25卷 第4期
2008年8月
黑龙江大学自然科学学报J OURNAL OF NATURAL SC IENCE O F HE I LONG JI ANG UN IVERS I TY V o l 125N o 14A ugust ,2008
磁悬浮轴承的H ]控制B L M I 方法
刘 雨, 段广仁
(哈尔滨工业大学控制理论与制导技术研究中心,哈尔滨150001)
摘 要:研究了具有参数不确定性的主动磁悬浮系统的控制问题。

对系统模型的参数不确定
性进行了分析,并把其归结为标准的H ]设计问题。

综合考虑系统的稳定性和调节时间等指标,采用具有闭环区域极点约束的最优H ]状态反馈控制器设计方法,使用线性矩阵不等式(LM I)方法对其进行求解。

仿真结果表明,闭环系统在所考虑的参数不确定范围内具有鲁棒稳定性和良好的时域性能指标。

关键词:磁悬浮轴承;H ]控制;闭环极点约束;线性矩阵不等式
中图分类号:TP13文献标志码:A 文章编号:1001-7011(2008)04-0437-05
收稿日期:2008-03-12
基金项目:国家自然科学基金重大国际合作项目(60710002);长江学者创新团队发展计划资助项目;黑龙江省重点基金资助项目(ZJ C603)作者简介:刘 雨(1983-),男,硕士,主要研究方向:磁悬浮轴承系统控制,E -m ai:l freerly @gma i .l co m 通讯作者:段广仁(1962-),男,教授,博士,博士生导师,长江学者特聘教授1 引 言
磁悬浮轴承与传统轴承相比有其独特的优点,其不存在机械接触,机械磨损小、能耗低、噪声小、寿命长、无需润滑、无油污染,特别适用高速、真空、超净等特殊环境。

由于以上特点,磁悬浮轴承在民用和国防领域都有着广泛的应用。

本文所研究的主动磁轴承,即有源磁轴承,它的磁场是可控的,其磁力由交流线圈产生的磁场提供,通过改变线圈的电流即可控制磁力的大小,这是目前研究和应用最为广泛的一种磁悬浮轴承技术。

磁悬浮轴承系统是一种复杂的非线性系统,并且开环是极不稳定的,因此,对控制方法的研究一直是磁悬浮技术中的热点问题。

文献[1]对磁悬浮轴承状态空间描述的模型进行了二次稳定的H ]控制器设计,文献[2]对储能飞轮的磁轴承进行了鲁棒控制器的设计,文献[3]对磁浮轴承的鲁棒控制问题进行了较全面的分析和讨论。

结合文献[4-5]等的理论研究成果,本文针对磁悬浮轴承的一种较为成熟的线性化模型进行研究,分析了建模过程和系统运行所导致的模型参数不确定性,根据具有闭环极点约束的H ]控制理论进行控制器设计,最后,应用线性矩阵不等式的方法进行求解,得到了易于在工程实际中应用的控制参数,对磁浮轴承后续的现场调试有很好的理论指导意义。

2 问题描述
主动式单自由度磁悬浮轴承系统的二阶线性化模型为
[6]G (s)=
k i m s 2-k x (1)
其中,m 是磁浮轴承转子的质量或等效质量;
k x =L 0A 0N 2i 20x 30
为磁力轴承位移-力刚度;k i =L 0A 0N 2i 0x 20
为磁力轴承的电流-力刚度。

转子质量m 可以通过直接测量或简单转化得到,其精度较高,不确定度可以忽略。

而k x 和k i 都是通过若干个参数的间接测量,再经过复杂的运算得到,存在较大的不确定性。

k x 和k i 中的参数的物理意义分别是:
L 0为真空磁导率;N 为线圈匝数;A 0为磁场有效面积(m 2);i 0为线圈偏置电流(A );x 0为平衡位置气隙长度(m ).
实际系统中,无法保证真空,使用真空磁导率必然会带来一定的误差;线圈匝数和磁场有效面积的精度受线圈绕制技术的约束;偏置电流在系统运行中受转子间隙、环境温度、电路不确定性等因素的影响,会存在比较明显的摄动;平衡位置的不确定性由加工精度决定。

综上所述,参数k x 和k i 的不确定性是不可避免的,在设计控制器的时候必须加以考虑。

因此,令
k x =k x 0(1+p x D x )
k i =k i 0(1+p i D i )(2)
其中,k x 0和k i 0为参数k x 和k i 的标称值,由测量和理论计算得到;-1[D x ,D i [1,p x D x 和p i D i 分别代表k i 和k x 的相对不确定度。

由此问题可以描述为:
磁悬浮系统采用如式(1)所示的线性化模型进行表示,模型参数的不确定性如式(2)所示,设计合适的控制器使得闭环系统具有鲁棒稳定性和期望的性能指标。

3 具有闭环极点约束的H ]控制器设计
311 把问题转化为标准H ]设计问题
定理1[7] 参数不确定系统Ûx =(A +$A )x +Bu 是二次稳定的充分必要条件是A 为稳定的,且
+F (sI -A )-1E +]<1
(3)其中,E 和F 由$A =E 2(t)F 决定,2(t)I 8={2(t)|2(t)T 2(t)[I ,P t}.
对于式(1)所描述的磁浮系统,其输入信号为控制电流i ,输出信号为转子偏移量x ,取
x 1=x , x 2=Ûx =Ûx 1, u =i
可以系统可以转化成状态空间表示形式
Ûx =Ax +Bu
y =Cx
(4)其中
x =
x 1x 2, A =0 1k x m 0, B =0k i m
, C =[1 0]考虑系统存在如式(2)所示的不确定性,系统可以进一步表示为
Ûx =(A 0+$A )x +(B 0+$B )u
y =Cx
(5)其中
A 0=0 1k x 0m 0, $A =0 1k x 0p x D x m 0,
B 0=0k i 0m , $B = 0
k i 0p i D i m
取
2(t)=D i 0
0 D x
则摄动矩阵$A,$B 可以转化成如下形式[$A $B ]=E 2(t)[F a F b ]
(6)其中
a =0 0k x 00, F
b =k i 00#438#黑 龙 江 大 学 自 然 科 学 学 报 第25卷
对系统(5)考虑状态反馈u =K x
(7)可得闭环系统
Ûx =[A 0+B 0K +E 2(t)(F a +F b K )]x
(8)由定理1知,系统(5)二次稳定的充分必要条件是A 0+B 0K 为稳定的,且
+(F a +F b K )(s I -A 0-B 0K )
-1E +]<1(9)令
G a m b =A 0 E B 0
F a 0 F b I 0 0
(10)
则控制器K 的设计问题等价于增广对象(10)的H ]状态反馈设计问题[7]。

为了实现一定的时域性能指标,这里采用具有闭环区域极点约束的最优H ]状态反馈控制器设计方法。

设计式(7)所示的控制器,使得由式(10)所表示的增广系统闭环之后满足以下要求:
(1)闭环系统是内部稳定的;
(2)使得系统闭环极点在给定的LM I 区域内,以满足系统期望的性能指标;
(3)使得+T (s)+]=+(F a +F b K )(sI -A 0-B 0K )
-1E +]<C ,且使得C 在给定的闭环区域极点约束条件下最小。

当C <1时,即可保证系统是二次稳定的。

312 H ]控制器设计
仅考虑针对系统(10)的设计要求(1)和(3),则问题可以归结为如下标准线性矩阵不等式求极值问题[8] m i n C
s .t .X >0
(A 0X +B 0W )T +A 0X +B 0X E (CX +F b W )
T E T -C I F T a C X +F b W F a -C I
<0
(11)其中,X 为2阶的对称正定的矩阵变量,W 为1@2的矩阵变量。

极小化C 可以求出X,W,由X,W 可以求得反馈矩阵为
K =WX -1(12)
磁浮轴承轴承控制器的设计,除去稳定性之外还需要综合考虑的性能指标有时域调节时间,超调量,以及频域的带宽等。

通过时域分析,可以估算出闭环极点的范围。

考虑到系统的带宽和工程可实现性我们把闭环极点区域设定在带状L M I 区域内,记为(-B ,-A ).转化为线性矩阵不等式约束为,存在对称正定矩阵X 使得式(11)所示线性矩阵不等式组成立。

A 0X +XA T 0+2A X <0
A 0X +XA T 0+2
B X >0(13)
把约束条件式(13)加入到式(11)所描述的极值问题的约束条件中,即可得到需要的具有闭环区域极点约束的最优H ]状态反馈控制器设计的L M I 方法的完整描述
m i n C
s .t .X >0
(A 0X +B 0W )T +A 0X +B 0X E (CX +F b W )
T E T -C I F T a
C X +F b W F a -C I <0 A 0X +XA T
0+2A X <0 A 0X +XA T 0+2B X >0
(14)结果同样由式(12)给出。

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刘 雨等:磁悬浮轴承的H ]控制:L M I 方法
4 数值仿真
磁悬浮轴承的模型实际参数及设定数据如表1所
示,将表中的数据代入式(14),通过M atlab 的L M I 控制
工具箱中的求解器m i n cx 进行求解。

求解结果为:
K =104@[116842 010021](15)
C =0176
从结果可以看出,C <1,闭环系统是二次稳定的。

控制
器K 的第一项对应于磁浮轴承系统的刚度系数,第二项
对应阻尼系数。

同时,也分别对应PI D 控制中的比例环
节和微分环节,相当于比例微分控制。

表1 实际参数及设定数据Tab le 1 R ea l para m e ters and gaven dates 参数数值m 0154kg k x 0-7148e 4k i 015p x 40%p i 40%A 700B 1000
为了对磁悬浮轴承闭环系统的转子起浮特性进行仿真,记无参数摄动时的标称系统为sys0.同时,定义系统模型参数摄动的四种最坏情况:
(1)k x 摄动+40%,k i 摄动+40%,记此时的系统为sys1;
(2)k x 摄动+40%,k i 摄动-40%,记此时的系统为sys2;
(3)k x 摄动-40%,k i 摄动+40%,记此时的系统为sys3;
(4)k x 摄动-40%,k i 摄动-40%,记此时的系统为sys4.
取初始条件:
x =
x 1x 2
=-2@
10-4
0(16)此时,转子位移x =-012mm ,速度Ûx =0,即转子停靠在轴承内壁的一侧。

利用M atlab 中控制工具箱里in-i tial 函数可以绘出标称系统和定义的四种情况下的时域响应曲线,如图1所示。

由图1中可以看出,对于标称系统和具有参数摄动的情况下的系统,都能通过式(15)所给出的控制器使得闭环系统保持稳定。

根据曲线可以估算出,标称系统的调节时间为5m s ,超调量小于5%;具有参数摄动的四种情况下的调节时间分别为:3m s ,515m s ,315m s 和6m s ;超调量均小于15%.可见闭环系统具有良好的时域性能指标,达到了使用闭环区域极点约束优化性能指标的目的。

使用传统的PI D 控制方法直接对系统模型进行数值仿真,与上述结果进行对比。

通过反复调节PI D 参数当取K p =614493@104,K d =50,K i =15时,标称系统的调节时间小于5m s ,超调量小于20%,如图2中sys0所示,闭环系统具有很好的时域性能指标。

同样,利用这组PI D 参数对前面给出的四种参数摄动情况进行仿真,响应曲线如图2中sys1~sys4所示。

可见,在系统参数摄动的情况下,系统的性能变化很大,尤其在情况2和情况4下,系统的超调量和调解时间严重不符合要求。

由此可见,传统的控制器方法不能满足存在较大不确定性系统的控制器设计。

而使用H ]方法设计的控制器则能够很好的适应这种不确定性系统。

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5 结 论
本文使用具有闭环区域极点约束的H ]控制理论对磁悬浮轴承系统进行状态反馈控制器设计,并使用线性矩阵不等式方法进行极值求解。

通过数值仿真可以看出,得到的控制器不仅满足了鲁棒稳定性,而且在给定的不确定性范围内使得闭环系统具有良好的时域性能。

通过和传统的PI D 控制方式进行对比,也可以看出该方法针对磁悬浮轴承这种存在较大不确定性的系统进行控制是非常合适的。

同时,控制器直接对应PI D 控制方法中的比例环节和微分环节,便于在实际系统中实现,为磁浮轴承系统的实际调试提供了非常强的理论依据。

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Liu Yu , Duan Guangren
(C enter for Con trol Th eory and Gu i dan ce Technol ogy ,H arb i n Instit u t e of Technol ogy ,H arb i n 150001,Ch i na)
Abst ract :The con tro l pr oble m ofm agnetic bearing syste m w ith para m eter uncerta i n ties is researched .A fter ana l y -sis of the para m eter uncertai n ties of the syste m m ode,l the prob le m is transfor m ed to a standar d H ]design.To ob -tain t h e stab ility and so m e ti m e-field perfor m ances ,a state-feedback H ]-opti m al contro ller w ith po le place -m ent constra i n ts is desi g ned based on L M I m ethod .The si m u lation resu lts de m onstrate t h e closed-loop syste m has robust stability and expected ti m e-field perfor m ances .
K ey w ords :m agnetic bearing ;H ]contro;l po le place m ent constra i n ts ;L M Is #441#第4期刘 雨等:磁悬浮轴承的H ]控制:L M I 方法。