空间的双重意义

空间的双重意义

数学是研究数量关系与空间形式的科学．当然，这里的“数”和“空间”都要在更广的意义下去理解．我们将诠释现代数学中广为使用的“空间”一词的双重意义，介绍几种基本的抽象空间．

1 关于空间的简要综述

空间在数学中有着双重意义

关于空间的观念和空间的几何，自古希腊时代以来，经历了显著的变化．对于古希腊人来说，只有一个欧氏空间，与之相联系，几何中的基本关系是全等或叠合的关系，随着17世纪解析几何的发展，空间才被想象成点的集合．19世纪非欧几何的创立，数学家们才承认有多于一种几何，但是空间仍被看作图形能在其中彼此比较的轨迹，几何被看作是对点的构形的某种性质的研究.1872年，克莱因在爱尔兰根纲领中指出一种几何可定义为一个变换群下的不变量理论，为几何学提供了一种非常简洁的分类，推广了几何学的所有早期概念，是数学史上的一个里程碑.

到19世纪末，形成了这样的思想：一个数学分支是由一组公理演译出的一套定理，而一种几何是数学的一个特殊分支，1906年，弗雷谢(M．Frechet，1878—1973)开创了抽象空间的研究.是数学史上的又一个里程碑，他把一些对象(通常称为点)，连同这些点被蕴含于其中的一组关系的集合叫做空间，简言之，空间是用公理确定了其元素和元素间关系的集合．例如线性空间是具有加法和数乘运算，并且满足相应算律的一个集合，这里，加法和数乘运算，以及算律都由公理给出．元素(或点)受限制的这套公理确定了空间的结构，不同的结构得到不同的空间，每一种空间都有自己的性质，自己的“几何”．

由上可知，在数学中广为使用的“空间”一词有着双重意义：一方面是现实空间，即物质存在形式；另一方面是抽象空间，指用公理确定了元素关系的集合，它反映了一定的现实形式，但这些形式不一定与通常意义下的空间形式一致，需要在更广的意义下去理解．随着科学技术和数学本身理论的不断发展，人类对现实空间认识的深入，促进了抽象空间理论的发展，反之，抽象空间理论的发展，使人们更深刻地认识现实空间的本质，给出已知现象的解释和新现象的预言，指出人类实践活动的方向，数学正是在这样的过程中不断地发展、创新而永葆其青春!

2 距离和距离空间

距离是数学、物理中的重要概念之一，平面几何、立体几何、解析几何及物理学等课程中很多内容都离不开距离概念，极限理论中用来刻划“远近”的重要尺度是两点间的“距离”(也可用拓扑来刻划)．那么距离的本质特征究意是什么?在讨论中学数学中常见距离的基础上，抽象概括出距离的一般概念，给出抽象距离空间概念，并介绍压缩映象原理及其初步应用.

2．1、两点间的距离

中学课本中是用长度(作为不加定义的概念)来解释两点间的距离的：“连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离”.在中学数学中涉及到的距离大致有：

(1)直线上、平面上或空间中两点的距离；

(2)平面上点到直线的距离；

(3)平面上两平行直线间的距离；

(4)异面直线间的距离；

(5)空间一点到平面的距离；

(6)直线到与它平行平面的距离；

(7)两平行平面间的距离；

而它们都是以两点间的距离为基础的．此外，对于平面上(或空间中)一点P 到一个集A 的距离，自然可定义为

(,)inf (,),x A

d P A d P x ∈=

平面上（或空间中）两集合A 、B 间的距离显然可定义为

(,)inf (,),x A

d P A d P x ∈=

平面上（或空间中）两集合A 、B 间的距离显然可定义为

(,)inf (,).x A y B

d A B d x y ∈∈=

也是以两点间距离为基础的

微积分中的极限、连续等概念的描述，也是以两点间的距离为基础，用距离来刻划两个点的接近程度：

lim 0,,n n a A N N n N ε→+∞

=⇔∀>∃∈∀

≥

有(,)n n d a A a A ε=-<.

2．2、两函数间的距离

在微积分中，我们会遇见用函数列逼近函数的问题，例如用多项式

01()n

n n P x a a x a x =+++ 去逼近定义在[a,b]上的连续函数f(x).自然会想：应如何选取系

数a i ，才能使()n P x 对f(x)有最好的逼近（[,]x a b ∀∈）？应注意的是这里的逼近不是对个别点来说的，而是指整个区间[a,b].因此必须明确什么是“最好的逼近”？

此时，或许会想是否可用|()()|n P x f x -的大小作为逼近优劣的标准，

但这个值仍随点x 而异.对于两个不同的多项式(1)()n p x 、(2)()n p x ，会在某些点上(1)|()()|n p x f x -的值小些，而在另一些点上，(2)|()()|n P x f x -的值小些，这就无法判定究竟用哪一个逼近f (x )较好.为

此，我们需寻求某种合理的方法来确定P n (x)与f(x)间的“距离”，使得“距离”越小，逼近就越好.

对于不同的函数集，可以用不同的方式来建立两函数间的“距离”.

例（1）设{():()M x t x t =是定义在[a,b]上的有界函数}.(),()x t y x M ∀∈可规定：

[,]

(,)sup ()().t a b d x y x t y t ∈=- ①

可以验证d(x,y)满足：

1(,)0;(,)0()();d x y d x y x t y t ︒≥=⇔≡ 2(,)(,);d x y d y x ︒=

3(,)(,)(,)d x y d x z d z y ︒≤+.

（2）设[,]{()a b C f t =为定义在[a,b]上的连续函数}.[,],,a b f g C ∀∈可规定

[,]

(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=- ②

不难验证d(f,g)满足：

1(,)0;(,)0()();d f g d f g f t g t ︒≥=⇔≡ 2(,)(,);d f g d g f ︒= 3(,)(,)(,).d f g d f h d h g ︒≤+

（3）设[,]{():()a b L f t f t =是[a,b]上的勒贝格可积函数}.[,],,a b f g L ∀∈规定

(,)()|()()|b

a

d f g L f t g t dt =-⎰ ③

则也验证d(f,g)满足（1）、（2）中的三个条件（只是第一个条件中(,)0d f g f =⇔与g 几乎处处相等，因为在勒贝格积分中，两个几乎处处相等函数的积分值相同）. 由上可知，无论是两点间的距离，还是两个函数间的“距离”，它们都有以下共性：

（i ）(,)0,(,)0;d x y d x y x y ≥=⇔= （ii ）(,)(,);d x y d y x =

（iii ）(,)(,)(,).d x y d x z d z y ≤+

因此，用(i)~(iii)作为距离公理，便可建立一般距离和距离空间的概念. 2.3、距离空间

1.距离空间的定义和例子

定义1 设X 为非空集合，二元实值映射:d X X R ⨯→若满足：,,x y z X ∀∈有 （i ）(,)0,(,)0;d x y d x y x y ≥=⇔= （ii ）(,)(,);d x y d y x =

（iii ）(,)(,)(,).d x y d x z d z y ≤+

则称d 为X 上的一个距离函数，d(x,y)为点x,y 间的距离，装备了距离的集合称为距离空间，记为（X,d ）（或简记为X ）.

有了距离，就可以在抽象的距离空间中，借用R 1、R 2、R 3中的几何术语和几何直观、几何方法去建立和理解有关理论.荷兰数学家、数学教育家弗兰登塔尔说过：“空间概念推广到了无限维……在使用空间术语的同时，他们同时抓住了整套的几何术语，几何思想方法与几何直观”，康德也曾说过：“缺乏直观的概念是空虚的”，我们要很好地理解现代数学中“空