最新8-5微分方程应用举例汇总

8-5微分方程应用举

例

§8-5 微分方程应用举例

在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：

(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；

(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特

解；

(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．

例1有一个30⨯30⨯12(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%．为降低CO2的含量，用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入CO2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？

解车间体积为10800m3．设鼓风机开动t（min）后，车间空气中CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为«Skip Record If...»．

记在t到t+dt这段时间内，车间CO2含量的改变量为dx，则

dx=该时间段内CO2通入量-该时间段内CO2排出量

=单位时间进风量⨯进风CO2的浓度⨯时间-单位时间排风量⨯排风CO2浓度⨯时间

=1500⨯0.04%⨯dt -1500⨯«Skip Record If...»⨯dt，

于是有«Skip Record If...»=1500⨯0.04% -1500⨯«Skip Record If...»

即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»(4.32-x)

初始条件x(0)=10800⨯0.12%=12.96．

方程为可分离变量的方程，其通解为

x(t)=4.32+C«Skip Record If...»．

将初始条件代入上式，得C=8.64．于是在t时刻车间内空气中CO2的含量为

x(t)=4.32(1+2«Skip Record If...»)．

所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为«Skip Record If...»=0.06%．例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t=t0时人口总数为x0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．

解记t时的人口总数为x=x(t)，则人口的增长率为«Skip Record If...»，据人口指数增长模型为«Skip Record If...»=rx(t),(r为比例系数，即马尔萨斯增

长指数)(1)

并附初始条件：x(t0)=x．

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt ．将初始条件x (t 0)=«Skip Record

If...»代入，得C =x 0«Skip Record If...»．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系

为x (t )=x 0«Skip Record If...»．

将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为

x |t =2005=11.6e 0.0148⨯(2005-1990) ≈14.5(亿)．

例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势

E =E 0sin ωt ,(E 0,ω为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为

零，求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．

解 由电学知识，电感L 上的感应电动势为L «Skip Record If...»，根据回路电压定

律，有

E =R i+L «Skip Record If...»，

即 «Skip Record If...»sin ωt ， (1)

初始条件为i (0)=0．

方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C «Skip Record If...»+«Skip Record If...» (R sin ωt -ωL cos ωt )． 将初始条件i (0)=0代入上式，得C =«Skip Record If...»．于是所求电流为

i (t )= «Skip Record If...»(ωL «Skip Record If...»+ R sin ωt -ωL cos ωt ), (t ≥0)．

例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加

速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆

柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系．

解 设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有

πr 2(t )⋅h (t )=V 0． (1)

两边对t 求导，得

2πr (t )«Skip Record If...»h (t )+πr 2(t )

据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,« 2kh 2(t )+«Skip Record If...»«Skip Record If...»=0，即 «Skip Record If...»=-

2k «Skip Record If...»(t )．

分离变量后成为

«Skip Record If...»dh =-2k «Skip Record If...»dt ， 两边积分得«Skip Record If...»«Skip Record If...»=k «Skip Record If...»t +C

，或

h (t )=«Skip Record If...»．代入(1)，得

r （t ）=«Skip Record If...» （2）

由初始条件πr 2(0)h (0)=πr 2(0)h 0=V 0，得r (0)=«Skip Record If...»；代入(2)得C =«Skip

Record If...»．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t 的关系为

r (t )= «Skip Record If...»．

例5 一边长为3m 的立方体形状的木材浮于水面上处

于平衡位置，然后向水里按下x 0(m )后松手，物体会在上面图

8-6 L 图

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