最新8-5微分方程应用举例汇总

8-5微分方程应用举
例
§8-5 微分方程应用举例
在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：
(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；
(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特
解；
(3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．
例1有一个30⨯30⨯12(m3)的车间，空气中CO2的容积浓度为0.12%．为降低CO2的含量，用一台风量为1500(m3/min)的进风鼓风机通入CO2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m3/min)的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min后，车间中CO2的容积浓度为多少？
解车间体积为10800m3．设鼓风机开动t（min）后，车间空气中CO2的含量为x=x(t)，那么容积浓度为«Skip Record If...»．
记在t到t+dt这段时间内，车间CO2含量的改变量为dx，则
dx=该时间段内CO2通入量-该时间段内CO2排出量
=单位时间进风量⨯进风CO2的浓度⨯时间-单位时间排风量⨯排风CO2浓度⨯时间
=1500⨯0.04%⨯dt -1500⨯«Skip Record If...»⨯dt，
于是有«Skip Record If...»=1500⨯0.04% -1500⨯«Skip Record If...»
即«Skip Record If...»=«Skip Record If...»(4.32-x)
初始条件x(0)=10800⨯0.12%=12.96．
方程为可分离变量的方程，其通解为
x(t)=4.32+C«Skip Record If...»．
将初始条件代入上式，得C=8.64．于是在t时刻车间内空气中CO2的含量为
x(t)=4.32(1+2«Skip Record If...»)．
所以鼓风机打开10min后，车间中CO2浓度为«Skip Record If...»=0.06%．例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t=t0时人口总数为x0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t与人口总数x(t)之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．
解记t时的人口总数为x=x(t)，则人口的增长率为«Skip Record If...»，据人口指数增长模型为«Skip Record If...»=rx(t),(r为比例系数，即马尔萨斯增
长指数)(1)
并附初始条件：x(t0)=x．
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt ．将初始条件x (t 0)=«Skip Record
If...»代入，得C =x 0«Skip Record If...»．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系
为x (t )=x 0«Skip Record If...»．
将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为
x |t =2005=11.6e 0.0148⨯(2005-1990) ≈14.5(亿)．
例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势
E =E 0sin ωt ,(E 0,ω为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为
零，求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．
解 由电学知识，电感L 上的感应电动势为L «Skip Record If...»，根据回路电压定
律，有
E =R i+L «Skip Record If...»，
即 «Skip Record If...»sin ωt ， (1)
初始条件为i (0)=0．
方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C «Skip Record If...»+«Skip Record If...» (R sin ωt -ωL cos ωt )． 将初始条件i (0)=0代入上式，得C =«Skip Record If...»．于是所求电流为
i (t )= «Skip Record If...»(ωL «Skip Record If...»+ R sin ωt -ωL cos ωt ), (t ≥0)．
例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加
速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆
柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系．
解 设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有
πr 2(t )⋅h (t )=V 0． (1)
两边对t 求导，得
2πr (t )«Skip Record If...»h (t )+πr 2(t )
据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,« 2kh 2(t )+«Skip Record If...»«Skip Record If...»=0，即 «Skip Record If...»=-
2k «Skip Record If...»(t )．
分离变量后成为
«Skip Record If...»dh =-2k «Skip Record If...»dt ， 两边积分得«Skip Record If...»«Skip Record If...»=k «Skip Record If...»t +C
，或
h (t )=«Skip Record If...»．代入(1)，得
r （t ）=«Skip Record If...» （2）
由初始条件πr 2(0)h (0)=πr 2(0)h 0=V 0，得r (0)=«Skip Record If...»；代入(2)得C =«Skip
Record If...»．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t 的关系为
r (t )= «Skip Record If...»．
例5 一边长为3m 的立方体形状的木材浮于水面上处
于平衡位置，然后向水里按下x 0(m )后松手，物体会在上面图
8-6 L 图
8-7
上下沉浮振动(图8-8)．已知振动的周期为2s，水的密度
为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律．
解设物体的质量为m，物体在时刻t相对于平衡位
置的位移为x，振动规律为x=x(t)．因为x是相对于平衡位
置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用．
假设x以向下为正向．由阿基米德原理，当物体位移为x时所受浮力F(x)与x的符号
相反，大小为：
F(x)=-3⨯3⨯x⨯1000g=-9000x g, (g=9.8m/s2为重力加速度)．
由牛顿第二定律得
m«Skip Record If...»=-9000g x，即m«Skip Record If...»+9000g x=0 这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件
x(0)=x0, x'(0)=0．
其特征方程为r2+«Skip Record If...»=0，特征根为r1,2=±«Skip Record If...»i，通
解为
x(t)=C1cos«Skip Record If...»t+C2sin«Skip Record If...»t．
由周期T=«Skip Record If...»=2，解得«Skip Record If...»，m=«Skip Record
If...»≈8937(kg)．
所以
x(t)=C1cosπt+C2sinπt．
由初始条件，得C1=x(0)=x0，C2=«Skip Record If...»=0，所以物体的位移规律为
x(t)=x0cosπt．
例6在例3的电路上，若再串接一个的电容C，且R2-«Skip Record If...»<0,
(电路中电阻较小或电容较小)．求合上开关后电路上电流的变化的
一般形式．
解以Q(t)表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两
端的电动势为E C=«Skip Record If...»Q；电感两端的电动势
If...»= L«Skip Record If...»；
图8-7
电阻两端的电动势E R=Ri=R«Skip Record If...»．据回路电压定律，有
L«Skip Record If...»+ R«Skip Record If...»+«Skip Record If...»Q=E0sinωt，或
«Skip Record If...»+«Skip Record If...»«Skip Record If...»+«Skip Record
If...»Q=«Skip Record If...»sinωt， (3)
方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为
r2+«Skip Record If...»r+«Skip Record If...»=0，特征根r1=«Skip Record
If...»(-R-«Skip Record If...»), r2=«Skip Record If...»(-R+«Skip Rec ord
If...»)．
因为R2-«Skip Record If...»<0，所以(3)对应的齐次方程的通解为
Q*(t)=«Skip Record If...»(C1sin«Skip Record If...»t+C2cos«Skip Record
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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 If...»t )．
设Q **(t )为(3)的一个特解，据公式可得
Q **(t )=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．
应用积分公式
«Skip Record If...»«Skip Record If...»，
可得 Q **(t )=-«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» =-«Skip Record If...»[r 2(-r 1sin ωt -ωcos ωt )+ω(ωsin ωt -r 1cos ωt )]
=-«Skip Record If...»[(ω2-r 1r 2)sin ωt -ω(r 1+r 2)cos ωt ]
=-«Skip Record If...»[(ω2-«Skip Record If...»)sin ωt +ω«Skip Record If...»cos ωt ]
=-«Skip
Record If...»[(ω2-«Skip Record If...»)sin ωt +«Skip Record If...»cos ωt ]
即 Q **(t )=-«Skip Record If...»sin (ωt +ϕ), tan ϕ=«Skip Record If...»． (4)
所以方程(3)的通解为
Q (t )=«Skip Record If...»(C 1sin «Skip Record If...»t +C 2cos «Skip Record If...»t ) -«Skip Record If...»sin (ωt +ϕ)．
根据i =«Skip Record If...»，即得电路上电流变化的一般形式为
i (t )= «Skip Record If...»(«Skip Record If...» +C 4cos «Skip Record If...»t ) -«Skip Record If...»cos (ωt +ϕ)，
其中ϕ由(3)确定．且«Skip Record If...»
习题8-5
1. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点M (x ,y )处的切线与过原点的直线OM 垂直，求此曲线方程．
2. 设质量为m 的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞
机时(t =0)速度为零．求降落伞下落的速度与时间的函数关系．
3. 设火车在平直的轨道上以16m/s 的速度行驶．当司机发现前方约200m 处铁轨上有异物 时，立即以加速度-0.8m/s 2制动(刹车)．试问：
(1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？
(2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？
4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比．现设某型号的太 阳能热水器的比例系数为0.1．试求把水从10︒C 加热到80︒C 需要多少时间？
5. 如图是一个由电阻R ，电容C 及直流电源E 串联而成的电
路．当开关S 闭合时，电路中有电流i 通过，电容器逐渐
充电，电容器的电压U C 逐渐升高，求电容器上电压U C 随
时间t 变化的规律．(提示：由电学知识知，U C =«
第5题图
有i=«Skip Record If...»，再利用回路定律E=U C+Ri．) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢6。