概率论与数理统计答案

一、填空题 共30分，每题2分。

1、概率论中最基本的两个概念是 随机事件 与 样本空间 。

2、某城市一天内的用水量的随机实验的样本空间Ω={χ|χ≥0}

3、10件产品全是合格品与10件产品中只有一件是次品，这对事件的关系是互不相容 。

4、设P （A ）=0.4，P （A ∪B ）=0.6，且A 与B 互不相容，则P （B ）= 0.2

5、设P （A ）=0.3，设P （B ）=0.4，P （A ∪B ）=0.5，则P （A ∪B ）=0.8

6、抛掷两枚硬币至少出现一个反面的概率是 3/4 。

7、10件产品中有2件次品，任取2件，则2件都是次品的概率为 1/49 。 8、10件产品中有4件次品，任取2件，已知所取2件产品中有一件不合格，则另一件也是次品的概率为 1/5 。

10、三人独立地解一道数学难题，它们能单独解出的概率分别为1/5，1/3，1/6，则此难题被解出的概率为 5/9 。 11、“在已知事件B 发生的条件下，事件A 发生”的概率称为 条件概率 ，记为P （A │B ） 。

12、古典概型具有 非负性 、 规范性 和有限可加性 。

二、简答题 共30分。

1、描述一个随机试验的数学模型，应该具备哪些要素？（3分） 样本空间、事件域、概率

2、能用贝叶斯公式解决的问题有哪些特点？（4分）

①该随机试验可以分为两步，第一步试验有若干个可能结果，在第一步的结果的基础上，再进行第二步试验，又有若干个结果；

②如果要求与第一步试验结果有关的概率，则用贝叶斯公式。 3、古典概型问题大致可分为哪三类？（3分） 摸球问题、分房问题、随机取数问题 4、什么是随机试验？（4分）

试验满足下述条件：试验可以在相同的条件下重复进行；试验的结果是明确的，可知道的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定会出现哪个结果。这样的试验就称为随机实验。 5、分布函数的性质有哪些？（5分）

非负性；若)()()ξ(,212121x x x x x x F F P -=<≤<则；单调性；极限性。 6、某厂大量生产某种产品，其次品率p 未知。每m 件产品包装为一盒，为了检查产品的质量，任意抽取n 和，查其中的次品数，请说明在这个统计问题中总体和样本分别是什么以及它们的分布。（5分）

总体表示一盒产品中的次品数，总体ξ服从二项分布),;(p m k b 。 样本)ξ,ξ,ξ(n 21 表示所抽的n 盒产品中和盒的次品数。)ξ,ξ,ξ(n 21 的联合分布列为∏-=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-====n

i m

p p C x m x x

x x P i

i

i

1n 2211)1()ξ,ξ,ξ( 7、某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但其参数λ未知。为此任意抽

查n 只电容器，测其实际使用寿命。请说明在这个问题中总体和样本分别是什么以及它们的分布。（6分）

总体ξ表示一个电容器的使用寿命，ξ服从参数为λ的指数分布。

样本)ξ,ξ,ξ(n 21 表示所抽取n 只电容器中各只电容器的使用寿命。 样本)ξ,ξ,ξ(n 21 的联合密度函数为

⎪⎩

⎪⎨⎧=>++-其它

,0),,(*

,0,,),(

,21211e

p

x x x x x n

x x x n n n λλ

三、综合应用题 共40分。

1、已知P （A ）=1/4，P （B │A ）=1/3，P （A │B ）=1/2，求P （A ∪B ）。（3分）

121

)(31)()()|(=⇒==AB P A P AB P A B P

6

1

)(21)()()|(=⇒==B P B P AB P B A P

3

1

1216141)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P

2、设P （A ）=0.5，P （B ）=0.4，P （A-B ）=0.2，求P （A ∪B ）和)(B A P 。（6分）

①3.02.05.02.0)()(2.0)()()(=-=-=⇒=-=-A P AB P AB P A P B A P 6.03.04.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P

②7.03.01)(1)(=-=-=AB P B A P

3、口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不放回的任取三只，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。（6分）

①121

12389101245310

2

5=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C

②201

1

2389101234310

2

4=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=C C

4、某单位同时装有两种报警系统Ⅰ和Ⅱ，两种报警系统单独使用时，系统Ⅰ和Ⅱ有效的概率分别为0.92和0.93；在系统Ⅰ失灵的条件下，系统Ⅱ仍然有效的概率为0.85，求：（1）两种系统Ⅰ和Ⅱ都有效的概率；（2）系统Ⅱ失灵，系统Ⅰ有效的概率；（3）在系统Ⅱ失灵的条件下，系统Ⅰ仍然有效的概率；（4）发生意外时两个报警系统至少有一个有效的概率。（10分） ①

012.0)92.01(15.0)](1[15.0)()()85.01()

(85.0)

()

(185.0)|(185.0)|(=-⨯=-⨯=⇒⨯-=⇒=-⇒=-⇒=I II I I II I I II I I II I II A P A A P A P A A P A P A A P A A P A A P 862

.0]012.093.0192.01[1)]()(1)(1[1)()()([1)(1)()(=--+--=--+--=-+-=-==II I II I II I II I II I II I II I A A P A P A P A A P A P A P A A P A A P A A P

②058.0862.092.0)()()(=-=-=II I I II I A A P A P A A P

③8286.093.01012

.01)(1)(1)

()(1)|(1)|(≈--=--=-

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④988.0862.093.092.0)()()()(1=-+=-+=II I II II I A A P A P A P A A P