信息光学理论与应用(第2版)

高斯函数在统计学领域中经常遇到。在光学领域中,它
常用来描述激光器发出的高斯光束,有时也用于光学信
息处理中的“切趾术”(详见第8章)。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
● 二维情形:
Gauss
x a
,
y b
exp
x a
2
y b
2
ab1 Gauss(r) er2
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
课后思考：
如何理解 函数是一个“广义函数”？
它与梳状函数有何关联?
下一节课内容：
卷积与相关(重点). 请注意预览…
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
图1.1.5 一维阶跃函数
开关功能：可在某点开启或 关闭另一函数 ，或描述光学 直边（或刀口）的透过率。
图1.1.6 二维阶跃函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
4.符号函数
1 x / a 0
sgn
x a
0 1
x/a0 x/a0
其中
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
二. 函数 (重点)
1.定义 定义1 (积分表达式)
δ( x
x0 ,
y
y0
)
0
x x0 , y y0 其他
- δ(x x0 , y y0 )dxdy 1
定义2 (函数序列表达式)
x y 0
《信息光学》课件
《信息光学》课件
（最新修改版）
北京邮电大学出版社
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
本课件所用教材： 《信息光学理论与应用》
第2版 王仕璠 编著 北京邮电大学出版社
2009年2月 该书曾被教育部评为 2009年度全国精品教材
(4)坐标缩放
δ(ax.by) 1 δ(x, y) ab
推论：
(ax x0 )
1
|a|
x
x0 a
,
(x) (x)
(5)积分形式
δ(x) 1
cosxd,
δ(x)
1
eixd
2
2
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
上述积分形式表明： 函数可由等振幅的所有频率的 正弦波(用余弦函数表示）来合成，换言之， 函数可
由基础光学知：
对 x0 0 处一小段光源 I0 (0) x0 ，通过系统后的像
强度分布为
sin2 ( a sin / ) Ii (xi ) I0 (0) x0 ( a sin / )2
tan1( xi )
f
而对 x0 处的一小段光源，相应有
Ii (xi , x0 ) I0 (x0 )
x0
sin
图1.1.1 一维矩形函数
表示照相机快门、单缝透过率（故也称为门函数）。
同时，它与某函数相乘后，可起到截取函数的作用。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
●二维情形:
rect
x a
,
y b
rect
x a
rect
y b
1
0
其中
x a, y b 22
lim
N
fN
(x,
y)
0
其他
lim
N
fN (x, y)dxdy 1
δ(x,
y)
lim
N
fN
(x,
y)
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
表1.2.1 几种表示 函数的函数序列
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
第二讲 卷积与相关
一.卷积
卷积既是一个由含参变量的无穷积分定义的函数， 又代表一种运算。其运算性质在信息光学中经常用到。 1. 卷积概念的引入
首先考查线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射。
图1.3.1 线光源的夫琅和费衍射
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
,
y y0
x0
y0
m,n
(x mx0, y ny0)
表示点源面阵、针孔面阵透过率。
《信息光学》课件
●梳状函数与普通函数的乘积:
图1.2.5 二维梳状函数
f
(x,
y)comb
x x0
,
y y0
x0
y0
m,n
f
(mx0
,
ny0
)
(x
mx0 ,
y
ny0 )
表示对图像函数的等间隔采样。
]
I0
(x0
)
x0 p(xi x0)
其中
p(xi
x0
)
sin2[ a(xi x0) / f [ a(xi x0 ) / f ]2
]
sin
c2
a(xi
f
x0
)
代表 x0 x0 处单位强度点光源对应的像强度分布。
各小段光源的像强度非相干叠加，取极限最后得
Ii (xi ) I0 ( ) p(xi )d
2
a
(sin
sin
)
a
(sin
sin
)
2
tan1( x0 )
f
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
在近轴条件下，上式化为
Ii (xi , x0) I0(x0)
x0
sin2[ a(xi x0) / f [ a(xi x0) / f ]2
1+x/a
1-x/a
图1.1.8(a) 一维三角形函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
● 二维情形:
x a
,
y b
x a
y b
=
1
|
x a
|
1
|
y b
|
0
其中
|x|,| y| 1 ab 其他
a 0(a),一b维情形0
A(x, y)
0
.x0 , y0 x0 , y0
A(x, y)dxdyconst
归一化后，上式与 函数
定义式一致。
图1.2.3 用 函数表示 后焦面上的照度分布
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
3. 函数的性质
(1)筛选特性
对应关系确定。图示时可简单地用一个箭头表பைடு நூலகம் 函
数。（左图中取单位长度，相应于 函数的体积。）
图1.2.2 函数表示
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
2. 函数的物理意义
表示一类脉冲状态的物理量:单位光通量的点光源的 面发光度或平行光通过透镜后,在后焦面上的照度分 布。图1.2.3所示后焦面上的照度分布A(x,y)满足以下 两个方程:
《信息光学》课件
图1.2.1 两种表示 函数的函数序列图形
随着N的增大，函数曲线变得越来越窄，峰值则越来 越高，而曲线覆盖的面积始终保持等于1。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
注意:δ函数是广义函数，其属性完全由它在积分
中的作用表现出来。它不能象普通函数那样全由数值
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
2.卷积的定义
一维情形： g(x) f ( )h(x )d f (x)h(x)
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
第一讲 光学中常用的几种非初等函数
本讲先介绍在光学中广泛使用的一些非初等函数和
函数,为以后的讨论打下基础。
一.几种非初等函数
1.矩形函数
● 一维情形:
rect
x a
1 0
|x| a/2
其他
其中 a 0
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
信息光学
《信息光学》课件
目录
第1章 二维傅里叶分析 第2章 标量衍射理论
第3章 光学成像系统的频率特性 第4章 部分相干理论 第5章 光学全息照相 第6章 空间滤波 第7章 相干光学处理 第8章 非相干光学处理 第9章 信息光学在计量学中的应用 第10章 信息光学在光通信中的应用
表示矩孔夫琅和费衍射的光场振幅分布，其平方表示 衍射图样。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
3.阶跃函数
● 一维情形：
1
step
x a
1 / 0
2
其中 a 0
x/ a0 x/ a0 x/ a0
● 二维情形：
f (x, y) step(x)
《信息光学》课件
分解成包含所有频率的等振幅的无数正弦波。
4.梳状函数
● 一维情形：
comb
x x0
n
x x0
n
x0
n
(x
nx0 )
表示光栅透过率 。
图1.2.4 一维梳状函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
4.梳状函数(续) ●
comb
x x0
其他
a 0,b 0
表示矩孔透过率。
图1.1.2 二维矩形函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
2.sinc函数
● 一维情形：
sinc
x a
sin( x
x/ /a
a)
1
其中
a0
函数在 原点处有极大值1，而在
x na (n 1, 2,3,...) 处等于0。 图1.1.3 一维sinc函数
本章的重点是介绍傅里叶光学中广泛用到的 一些数学知识。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
本章讲授内容
第一讲 光学中常用的几种非初等函数 第二讲 卷积与相关 第三讲 傅里叶变换的基本概念及基本定理 第四讲 傅里叶-贝塞尔变换 第五讲 线性系统与线性空间不变系统 第六讲 二维采样定理 习题课
表示函数极性发生翻转 。( 位相板 )
a0
图1.1.7 符号函数
● 阶跃函数与符号函数的关系：
sgn x 2step x 1
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
5.三角形函数
● 一维情形:
x a
1 0
x
/a
其中
a0
x /a 1 其他
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
第一章 二维傅里叶分析
自20世纪40年代后期起，由于通信理论中 “系统”的观点和数学上的傅里叶分析方法被引 入光学，更新了传统光学的概念，丰富了光学学 科的内容，并形成现代光学的一个重要分支—傅 里叶光学。傅里叶光学促进了图像科学、光电子 学、光纤通信和应用光学的发展，也是信息光学 在各种应用领域中的数理基础。
图1.1.8(b)(b二) 二维维三情角形 形函数
表示光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数(详 见第三章)。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
6.高斯函数
● 一维情况:
Gauss
x a
e
(
x
/
a
)2
其中
a0
图1.1.9(a) 一维高斯函数
《信息光学》课件
其中 a 0, b 0
图1.1.9(b) 二维高斯函数
高斯函数的 特点: 1.是光滑函数;
2.其傅里叶变换也是高斯函数。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
7.圆域函数
r 1
circ
r0
0
或
circ
x2 r0
y2
1 0
f (x, y)δ(x x0, y y0)dxdy f (x0, y0)
(2)可分离变量 δ(x x0, y y0) δ(x x0)δ(y y0)
极坐标形式
r r0
(r r
r0 )
(
0 ), r0
0, 0
0
2
(3)乘法性质 f (x, y)δ(x x0, y y0) f (x0, y0)δ(x x0, y y0)
表示单缝夫琅和费衍射的光场振幅分布,其平方表示衍射 图样。
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
● 二维情形:
sinc
x a
,
y b
sinc
x a
sinc
y b
其中
a 0,b 0
图1.1.4 二维sinc 函数
零点位置在 (x ma, y nb) 处。
表示圆孔透过率。
r r0 其他
x2 y2 r0 其他
《信息光学》课件
图1.1.10 圆域函数
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章
《信息光学》课件
●函数发生位移或常数取负值时的图示举例：
图1.1.11 函数发生位移后的情况
如果这些图形的位置、宽度或高度发生变化时，则可看 作是前述标准图形的相应位移或相应坐标比例尺缩放。