3—5 多自由度弹性体系的最大地震反应与水平地震作用

3.5.2 底部剪力法
再将余下的部分 (1−δn )FEK 进行分配。因此， 进行分配。因此，在 考虑了上述调整后， 考虑了上述调整后，顶点的水平地震作用为 GnHn Fn = n (1−δn )FEK +δnFEK ∑ H jGj (3-135b) 135b) j=1 而其余各质点的水平地震作用为
αj Gi Vjo = ∑ Fji = ∑α jγ jφjiGi = α1G∑ γ j X ji i=1 i=1 i=1α G 1
n n n
5-3)
αj Gi 2 FEK = ∑V = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1
n 2 jo n n
(3-
3.5.2 底部剪力法
式中， 为高振型影响系数， 式中，ξ为高振型影响系数，其表达式为
αj Gi 2 ξ = j∑1(i∑ γ j X ji ) = =1α G 1
n n
计算资料的统计分析表明， 计算资料的统计分析表明 ， 当结构体系各质点重量 相等，并在高度方向均匀分布时， 相等，并在高度方向均匀分布时， ， ξ =1.5( n为质点数n +1) /(2n +1) 为质点数。如为单质点体系(即单层建筑 即单层建筑)， 为质点数。如为单质点体系 即单层建筑 ， ，如 ξ =1 为无穷多质点体系， 抗震规范》取中间值， 为无穷多质点体系， 。《抗震规范》取中间值， ξ = 0.75 故式(3-5-3) ξ = 0.85 即 。故式 n n n αj Gi 2 2 FEK = ∑Vjo = α1G ∑( ∑ γ j X ji ) = α1Gξ j=1 j=1 i=1α G 1 改写为
3.5.2 底部剪力法
FEK = α1Geq
(3—129)
式中 FEK——结构总水平地震作用标准值，即结构 ——结构总水平地震作用标准值， 底部剪力标准值； ——相应于结构基本周期的水平地震影响系数 ， α1—— 相应于结构基本周期的水平地震影响系数， 按图3-12确定， 12确定， Geq——结构等效总重力荷载代表值， ——结构等效总重力荷载代表值， ， n Geq = ξ ∑ ， ξ = 0.， 对多质点体系， 对多质点体系Gi 取 ，对单质点体系85 。 对单质点体系， i=1 ξ 称为等效质量系数 ， 即把多质点体系视为等效的 称为等效质量系数， ξ =1 单质点体系时的转换系数。 单质点体系时的转换系数。
3.5.2 底部剪力法
则结构总水平地震作用可表示为 n n n FEK = ∑ Fj = ∑α1γ1ηHjGj = α1γ1η ∑ HjGj j=1 j=1 j=1 FEK 可得 α1γ1η = n ∑ H jGj (c) 将式(c)代入式 将式(c)代入式(b) F = α1γ1ηHiGi 代入式(b) i 地震作用标准值
§3—5 多自由度弹性体系的最大地 震反应与水平地震作用
3.5.1 振型分解反应谱法 3.5.2 底部剪力法
多自由度弹性体系的水平地震作用一般 可采用振型分解反应谱法 求得， 振型分解反应谱法求得 可采用 振型分解反应谱法 求得 ， 该法是 在振型分解法的基础上， 在振型分解法的基础上 ， 结合运用单自 由度体系反应谱理论得出的一种计算方 法 ， 而在一定条件下则可采用比较简单 实用的底部剪力法 底部剪力法。 实用的底部剪力法。 现将这两种方法分述如下。 现将这两种方法分述如下。
j=1
S=
∑S
m
2 j
例题[ 例题[3-5]
3.5.2 底部剪力法
1、计算假定 按振型分解反应谱法计算房屋结构的水平地震 作用时，运算过程较冗繁。为了简化计算， 抗震规范》 规定， 《 抗震规范 》 规定 ， 当房屋结构满足下列条件 可采用近似计算法——底部剪力法 底部剪力法： 时，可采用近似计算法——底部剪力法： (1) 房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀； 房屋结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀 ； (2)房屋的总高度不超过40m； 房屋的总高度不超过40m (3) 房屋结构在地震作用时的变形以剪切变形为 主(房屋高宽比小于4时)， 房屋高宽比小于4 (4) 房屋结构在地震作用时的扭转效应可忽略不 计。
Gi Hi F= n (1−δn )FEK i ∑ H jGj
j=1
（3-136） 136）
δ 式中， n称为顶部附加地震作用系数，多层内框架砖 房，可取δn = 0.2 ；多层钢筋混凝土房屋，可根据场地 反应谱特征周期Tg及房屋结构基本周期T ，按表3-4采 1 用；其它房屋可不考虑。
3.5.2 底部剪力法
3.5.1 振型分解反应谱法
1、质点i任意时刻的地震惯性力 质点i 多自由度弹性体系在地震时的水平地震作用就是 质点所受的惯性力，故质点i 质点所受的惯性力，故质点i上的地震作用为 F (t) = −mi [ɺɺg (t) + ɺɺi (t)] x x （3-5-1） i
x 又，ɺg (t) 可以写成 ɺ n n x x x ɺɺg (t) = ɺɺg (t) ∑γ jφji = ∑γ j ɺɺg (t)φji
j=1
，则得质点i的水平 则得质点i
Gi Hi F= n FEK i ∑ H jGj
j=1
(3-134)
3.5.2 底部剪力法
4、顶部附加地震作用的计算
当结构基本周期较长， 特征周期较小时， 当结构基本周期较长 ， 特征周期较小时 ， 由于 高阶振型的影响增大，且主要在结构上部， 高阶振型的影响增大 ， 且主要在结构上部 ， 根据 对大量结构的地震反应直接动力分析证明， 对大量结构的地震反应直接动力分析证明 ， 当按 134)计算时，结构顶部的地震剪力偏小， 式(3-134)计算时，结构顶部的地震剪力偏小， 故 须进行调整。 须进行调整。 抗震规范》 规定， 当结构基本周期T 《 抗震规范 》 规定 ， 当结构基本周期 T1>1.4Tg 时 ， 将结构总地震作用的一部分作为集中力。 将结构总地震作用的一部分作为集中力 。 作用于 结构顶部( 18) 结构顶部(图3135) 135)
3.5.1 振型分解反应谱法
Fji = miγ jφji Sa (Tj ) （3-120）
设计时采用设计反应谱， 设计时采用设计反应谱，由地震影响系数反应谱与 地震反应谱的关系可得 121） （3-121） F =α γ φ G
ji j j ji i
Gi = mi g 式中 αj -——按体系第j阶周期计算的j振型地震影响 ——按体系第 阶周期计算的j 按体系第j 系数。 系数。
j=1 j=1
(3-115) (3-
而由式(3-101) {xj (t)} = ∑γ j ∆j (t){φj } 可得
n j=1
ɺɺ x ɺɺi (t) = j∑1γ j ∆j (t)φji =
n
3.5.1 振型分解反应谱法
将式( 将式(3—114)及式(3—115)代入式(3-5-1)，得 114)及式( 115)代入式( n n ɺɺ j (t)] = ∑ f ji fi (t) = −mi ∑γ jφji [ɺɺg (t) + ∆ x （3116） 116）
尚须注意，当房屋顶部有突出屋面的小屋时， 尚须注意，当房屋顶部有突出屋面的小屋时，上述 附加的集中水平地震作用应置于主体房屋的顶层而 不应置于小屋的顶部， 不应置于小屋的顶部，主体房屋顶层处质点的地震 作用按式( 135b) 计算 计算。 作用按式 (3—135b)计算 。 小屋顶部处质点的地震 作用仍按式( 136)计算。 作用仍按式(3—136)计算。 5、鞭端效应 震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、 震害表明，局部突出屋面的小建筑如电梯机房、水 箱间、女儿墙、烟囱等， 箱间、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结 构严重。 构严重。这是由于出屋面的这些建筑的质量和刚度 突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。 突然变小，地震反应随之急剧增大的缘故。这种现 象在地震工程中称为“鞭端效应” 象在地震工程中称为“鞭端效应”。
3.5.2 底部剪力法
3、各质点水平地震作用标准值的计算 由于结构在水平地震作用下的位移反应以基本振型 为主，故各质点的水平地震作用F 17) 为主，故各质点的水平地震作用Fi，(图3—17)近似 取等于F 对应于基本振型的各质点水平地震作用) 取等于F1i(对应于基本振型的各质点水平地震作用)， Fji = α jγ jφ得 i 则由式( 121) 则由式(3-121) jiG F = Fi = α1γ1φ1iGi (a) i 1 而且， 基本振型近似为直线( 17) 而且 ， 基本振型近似为直线 ( 图 3—17) ， 故质点的 水平相对位移幅值φ 与质点的计算高度H 成正比， 水平相对位移幅值φ1i与质点的计算高度Hi成正比， φ1i ，其中η为比例常数。于是式(a)可写为 =ηHi 为比例常数。于是式(a)可写为 其中η 即 (b) F = α1γ1ηHiGi i
3.5.2 底部剪力法
(3-5-2) n ——结构总重力荷载代表值 G =1 结构总重力荷载代表值， 式中 G——结构总重力荷载代表值， = i∑Gi ，Gi 质点重力荷载代表值。 为i质点重力荷载代表值。 α1 ——相应于结构基本周期的水平地震影响系数。 ——相应于结构基本周期的水平地震影响系数 相应于结构基本周期的水平地震影响系数。 根据“平方和开方”的振型组合原则， 根据“平方和开方”的振型组合原则，结构底部总 剪力的标准值F 也就是结构总水平地震作用) 剪力的标准值FEK(也就是结构总水平地震作用)应为
3.5.1 振型分解反应谱法
2、质点i的第j振型水平地震作用 质点i的第j 将质点i 的第j 将质点 i 的第 j 振型水平地震作用定义为该振型最大 惯性力， 惯性力，即 Fji = f ji max 118） （3-118） ɺɺ x 将式( 117) 将式(3—117) f ji (t) = −miγ jφji [ɺɺg (t) + ∆j (t)] 代入式（ 118） 代入式（3-118）得 ɺɺ Fji = miγ jφji ɺɺg (t) + ∆j (t) max x (3-119) 119) ɺɺ x ɺɺ 注意到： 注意到：g (t) + ∆j (t) 是自振频率为 ωi ，阻尼比为 ξi 的单自由度体系的地震绝对加速度反应， 的单自由度体系的地震绝对加速度反应 ， 则由地 震反应谱的定义， 将质点i 的第j 震反应谱的定义 ， 将质点 i 的第 j 振型水平地震作用 表达为
3.5.2 底部剪力法
满足上述条件的结构， 在水平地震作用下振动时， 满足上述条件的结构 ， 在水平地震作用下振动时 ， 其位移反应通常以基本振型为主 基本振型为主， 其位移反应通常以 基本振型为主 ， 且基本振型近 似于直线。 似于直线 。 底部剪力法还可用于近似于单质点体 系的结构。 系的结构。 2、底部剪力的计算 根据静力平衡条件，相应于j 根据静力平衡条件，相应于j振型的结构底部剪力 应等于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j 应等于j振型下结构的总水平地震作用，即应等于j 振 型 各 质 点 水 平 地 震 作 用 Fji 之 和 。 故 由 式 (3— 121) 121) Fji = α jγ jφjiGi 得j振型下结构底部剪力标准值 ，
3.5.1 振型分解反应谱法
4、振型组合
根据随机振动理论， 根据随机振动理论，如假定地震时地面运动为平稳 随机过程， 随机过程，则对于各平动振型产生的地震作用效应 可近似地采用“平方和开方”法确定， 可近似地采用“平方和开方”法确定，即 (3-122) 122) 必须注意，不能先将各振型的地震作用F 采用“ 必须注意，不能先将各振型的地震作用Fji采用“平 方和开方’法进行组合，求出总的地震作用， 方和开方’法进行组合，求出总的地震作用，再求 地震作用效应。 地震作用效应。因为高阶振型中的地震作用有正有 经平方后，全为正值， 负，经平方后，全为正值，这样将夸大结构所受的 地震作用效应。 地震作用效应。
ɺɺ x 其中 [ɺɺg (t) + ∆ j (t)] 为与j振型相应振子的绝对加速度。 f ji (t) 为作用在第j振型质点i上的水平地震惯性力。
ɺɺ f ji (t) = −miγ jφji [ɺɺg (t) + ∆j (t)] x
j=1
j=1
利用单自由度体系的设计反应谱，先求出对应于每 一振型各质点的最大水平地震作用(同时达到最大值) 及相应的地震作用效应，然后对这些效应进行振型 组合，以求得结构的最大地震作用效应。具体步骤 如下。