预测微生物学数学建模的方法构建_李柏林

量；ｑ 表示未显示生长样品的数量；ｓ 每个样品接种量。
随后，Ｇｅｎｉｇｅｏｒｇｉｓ［７］将方程（１）和（２）与一个二次多项式（二
级模型） 结合，建立肉毒梭菌生长随时间和温度变化的
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食品科学
※基础研究
方程（ 初级模型）：
ＬｏｇＰ（％）＝ ５［ｅｙ／（１ ＋ ｅｙ）］－ ３ （３） 其中Ｙ是温度、天数和迟滞期（Ｌａｇ ｐｅｒｉｏｄ）的函数（二 次三项式） ，Ｔ 、Ｄ 和 Ｌ 分别表示温度、天数和迟滞期， ε是误差项：
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｍｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ ｉｓ ａ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｓｔｕｄｙ ｔｈａｔ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｍｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ， ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ｍｏｄｅｌｓ ｔｈａｔ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ａｎｄ ｐｒｅｄｉｃｔ ｔｈｅ ｇｒｏｗｔｈ ｏｒ ｄｅｃｌｉｎｅ ｏｆ ｍｉｃｒｏｂｅｓ ｕｎｄｅｒ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｅｓｔａｂｌｉｓｈ－ ｉｎｇ ｔｈｅ ｂｅｔｔｅｒ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌｓ ｉｓ ｔｈｅ ｋｅｙ ｆａｃｔｏｒ ｔｏ ｄｅｖｅｌｏｐ ｔｈｅ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｍｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ． Ｍｏｄｅｌｓ ｃａｎ ｂｅ ｔｈｏｕｇｈｔ ｏｆ ａｓ ｈａｖｉｎｇ ｔｈｒｅｅ ｌｅｖｅｌｓ： ｐｒｉｍａｒｙ ｌｅｖｅｌ ｍｏｄｅｌｓ ｄｅｓｃｒｉｂｅ ｃｈａｎｇｅｓ ｉｎ ｍｉｃｒｏｂｉａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ， ｓｅｃｏｎｄａｒｙ ｌｅｖｅｌ ｍｏｄｅｌｓ ｓｈｏｗ ｈｏｗ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｉｍａｒｙ ｍｏｄｅｌ ｖａｒｙ ｗｉｔｈ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ， ａｎｄ ｔｈｅ ｔｅｒｔｉａｒｙ ｌｅｖｅｌ ｃｏｍｂｉｎｅｓ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｔｗｏ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｗｉｔｈ ｕｓｅｒ－ｆｒｉｅｎｄｌｙ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｏｒ ｅｘｐｅｒｔ ｓｙｓｔｅｍｓ ｔｈａｔ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｍｉｃｒｏｂｉａｌ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｕｎｄｅｒ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｔｈｅ ｌｉｍｉｔａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄｅｌｓ ｗｅｒｅ ｒｅｖｉｅｗｅｄ， ａｎｄ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｗｅｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ． Ｋ ｅ ｙ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ：ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｍｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ；ｍｏｄｅｌｉｎｇ；；ｍｏｄｅｌｓ 中图分类号：ＴＳ２０１．３；Ｏ２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００２－６６３０（２００４）１１－００５２－０６
Ｔｕｒｂｉｄｉｔｙ 模型：
Ｐ（％） ＝ （ＭＰＮ × １００）／Ｓ
（１）
Ｐ 是由液体培养基混浊的概率；Ｍ Ｐ Ｎ 是最大可能的
孢子生长数量；Ｓ 是接种量。在此基础上，Ｇ ｒ ａ ｈ ａ ｍ 和
Ｌ ｕ ｎ ｄ ［ ６ ］ 建立肉毒梭菌产毒概率模型：
Ｐ ＝ （ｌｎｎ／ｑ）／ｓ
（２）
Ｐ 是产毒的概率；ｎ 是接种样品（ 液体培养基） 的总
水分活度、储藏温度以及山梨酸钾等因素对面包饼干等
半干制品中霉菌生长的影响。
Ｌｉｎｄｒｏｔｈ［５］将一系列稀释浓度的肉毒梭菌孢子接种到
液体培养基中，对液体培养基的混浊度进行观察，并
对 ＭＰＮ（ｍｏｓｔ ｐｒｏｂａｂｌｅ ｎｕｍｂｅｒ）进行统计。Ｌｉｎｄｒｏｔｈ 将
ＭＰＮ 结合到 Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ 模型中，建立了 Ｔｉｍｅ－ｔｏ－
期时所成曲线的最大斜率；ｔ ｍ ａ ｘ 是达到峰值所需的时
间；ｔ 是培养时间。
Ｃｏｌｅ［９］将对数模型作为初级模型，多项式作为二级
模型，对果汁中的接合酵母（Ｚｙｇｏｓａｃｃｈａｒｏｍｙｃｅｓ ｂａｉｌｉｉ）
的生长进行建模。储藏温度为 ２ ３ ℃，储藏时间为三周，
环境因子（方程中以 ｘ １ 和 ｘ２ 等表示） 包括：ｐＨ 、果糖、
度、所处环境的空气组成、ａ ｗ 、ｐ Ｈ 和添加剂，而实 际食品当中影响微生物生长的因素还有很多：保湿剂的 添加、微生物之间的生存竞争、多种防腐剂的添加以 及食品在运输过程中冷链的温度波动。那么，当这些
“外在”因素成为不可忽视的主要矛盾时，模型预测 值失去原有的准确度。
在建模的过程中，必须考虑到以下几个方面［ １ ］： 精确度。在实验收集数据过程中，并不能对环境因子 所涉及到的范围，全部进行实验，这就要求模型必须 具备较高的预测精度；对各环境因子的整合性。模型所 包含的参数不应太多，利于使用；对出现的预测错误， 可从模型的局限性进行解释；模型所包含的参数应具有 生物学意义和实际意义；回归分析是建模的基础。因 此，建立恰当的回归分析标准在建模过程中至关重要。
１．２．２ 二级模型 二级模型侧重描述环境因子的变化如何影响初级
模型中的参数（例如：Ｇｏｍｐｅｒｔｚ ｆｕｎｃｔｉｏｎ 中 Ａ、Ｃ、Ｂ 和 Ｍ）。二级模型主要包括：反应面方程（Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒ－ ｆａｃｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ）、Ａｒｒｈｅｎｉｕｓ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ和平方根方程 （ｓｑｕａｒｅ ｒｏｏｔ ｍｏｄｅｌ）。
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食品科学
※基础研究
预测微生物学数学建模的方法构建
李柏林，郭剑飞，欧 杰 （上海水产大学食品学院，上海 ２０００９０）
摘 要：预测微生物学是运用微生物学、工程数学以及统计学进行数学建模，利用所建模型预测和描述处在特定食 品环境下微生物的生长和死亡。预测微生物学的核心在于建立完善的数学模型。预测微生物学数学模型被分为三 级：初级模型、二级模型和三级模型。初级模型描述微生物数量变化与时间的关系；二级模型描述初级模型中的 参数与环境参数之间的关系；三级模型也称为专家系统，是在初级模型和二级模型的基础上，通过计算机编程制作出的 友好软件，它使得非专业人士同样可以获得预测微生物学的相关信息和指导。本文介绍了预测微生物学模型的局限以 及分类，并对建模方法进行了讨论。 关键词：预测微生物学；建模；模型
※基础研究
食品科学
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中。发酵模型主要考虑的是底物浓度和产物浓度。而 本文侧重的是微生物总数、温度、水份活度和 ｐ Ｈ 等因 素和微生物生长死亡之间的关系。 １．２ 模型的分类
世界各国的科学家对预测微生物学模型的分类有 着比较一致的观点，模型被分为初级模型、二级模型 和三级模型。
运用 Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ 模型，描述肉毒梭状芽孢杆菌（Ｃｌ．
ｂｏｔｕｌｉｎｕｍ）从孢子开始生长到产肉毒毒素毒所需的时间。
Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ 模型作为初级模型与多种二级模型
进行结合。Ｓｍｉｔｈ［４］等运用响应面方程（Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎ）控制 Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ 模型中的参数，预测 ｐＨ、
１ 建模介绍
预测微生物学的目的在于，用数学的语言描述食源 性微生物在特定的环境条件下的生长与死亡。随着预测 微生物学的进一步发展，其描述的特点进化为：在没有 进行微生物检测的前提下，预测微生物的生长和死亡。 所谓的环境条件包括了内部因素（ｐＨ、ａｗ）和外部因素（温 度、所处环境的空气组成） ，勿庸置疑环境条件影响了 微生物生长和死亡。但是，对于食品中的微生物而言， 往往是个别几个因素影响其生长和死亡。
２ 建模方法
对于预测微生物学数学建模而言，最为简单的模型
是：生长 ＼ 不生长模型（ｇｒｏｗｔｈ－ｎｏ ｇｒｏｗｔｈ）。早在 １９５２
年，Ｂｅｌｌ和Ｅｔｃｈｅｌｌｓ［２］发现在泡菜中加入乙酸和食糖可以
阻止酵母菌的生长，并建立数学方程计算乙酸和食糖的
加入量到达何值时，可使酵母菌停止生长。
２．１ 时间生长模型（Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ Ｍｏｄｌｅ）
微生物建模始于十九世纪，科学家对罐头食品中微 生物热致死时间的计算。这项研究解决了罐头食品中肉 毒梭状芽孢杆菌引起的毒素型食品中毒安全问题。随着 计算机科学的发展，微生物建模得到了长足的发展。
尽管，模型不能总是很精确的预测微生物的生长和 死亡，但是它的确量化了两个或多个环境因子协同作用 时对微生物的影响，并且在此过程中，可以对模型中 的环境因子进行插入和删除（ 预测微生物学假设，各个 环境因素对食品中的微生物影响是相对独立的） 。在实 际生产过程中，任何水平的环境因子（ ｐ Ｈ 、ａ ｗ 、温度） 都不能完全控制致病菌的生长，只有通过添加防腐剂才 能达到此目的，那么将添加剂作为一个环境因子使得预 测模型更为实用。需要指出的是，预测微生物学模型 建立是以液体培养环境（Ｂｒｏｔｈ）为基础。
１．２．３三级模型 三级模型是计算机程序，是将初级模型和二级模
型转换成计算机共享软件（ 预测微生物软件） 。三级模型 也被称为专家系统，它使得非专业人士一样可以获得来 自预测微生物学的专业指导，其主要功能为：计算由于 环境因子的改变，微生物所做出的响应；比较各环境因 子对微生物的影响；相同环境因子下，不同微生物之间 的差别。 １．３ 模型局限
Y = b0 +b1T +b2 D +b3 L +b4TD +b5TL +b6 LD +b7T 2 +b8 D 2 +b9 L2 +ε
（４） Ｌｕｎｄ［８］将上述模型简化为产毒概率 Ｐ 和时间 ｔ 之间的 线性函数关系：
LogP = a1－k(tmax－t)
（５）
ａ１ 表示肉毒梭菌生长数量的峰值；ｋ 表示对数生长
１．２．１ 初级模型 初级模型是表征微生物数量与时间的关系，既微生
物的响应。而表征微生物响应的模型响应参数则有直接 响应参数和间接响应参数两种。直接参数有：每毫升的 菌落形成单位数、毒素产生、底物浓度以及代谢产物； 间接参数则包括：Fra Baidu bibliotek阻抗和吸光率。
初级模型主要包括：Ｇｏｍｐｅｒｔｚ函数， 对数方程（Ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）等。所谓初级模型就是一个数学方程或数学函数， 表示微生物响应与时间的关系，并用一系列的特定参数来 表示，例如：Ｇｏｍｐｅｒｔｚ 函数中的延迟期和传代时间。
１．３．１ 统计学局限 由于预测模型表征的是一个动态连续过程，而模型
来源于非连续试验数据。那么，从统计学角度来看， 在非连续数值之间的模型预测值存在相对较大的误差。 由于，试验方法的局限，不可能获得完全连续的试验 数据，这一模型局限是不可能避免的。但是可以通过 增加试验重复次数，降低该误差。
１．３．２ 生物学局限 预测微生物学模型所包括的环境因子主要有：温
本文纵览了与食品安全相关，并且是食品学家最为 感兴趣的微生物模型，回顾了不同模型的发展和建模的 技巧。但是，没有将发酵和生物技术相关模型列入其
收稿日期：２００４－０７－１６ 基金项目：上海市科技发展基金项目（０３ＲＣ１４０４５） 作者简介：李柏林（ １ ９ ７ ０ － ） ，男，副教授，博士，研究方向为食品生物技术和生化工程。
Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ａｐｐｒｏａｃｈ ｏｆ Ｍｉｃｒｏｂｉａｌ Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｏｎ Ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ Ｍｉｃｒｏｂｉｏｌｏｇｙ
ＬＩ Ｂａｉ－ｌｉｎ，ＧＵＯ Ｊｉａｎ－ｆｅｉ，ＯＵ Ｊｉｅ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｆｏｏｄ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｆｉｓｈｅｒｉｅｓ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０００９０， Ｃｈｉｎａ）
对于简单的生长 ＼ 不生长模型而言，Ｔｉｍｅ－ｔｏ－Ｇｒｏｗｔｈ
模型可以提供更多的信息，它可以计算微生物从接种
（ 液体培养） 到生长、浑浊和毒素生成等阶段所需要的时
间，是典型的初级模型。在该模型中，微生物生长速
率并非关键参数，而起决定作用的参数是：微生物何时
进入对数期；毒素最初出现的时间。Ｈａｕｓｃｈｉｌｄ［３］成功的