高三数学测试卷(附答案)

高三数学测试卷
一．选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)
1. 已知a , b 是两个单位向量,下列四个命题中正确的是 ( ) A. a 与b 相等 B. 如果a 与b 平行, 那么a 与b 相等 C. a ·b ＝1 D. a 2＝b 2
2. 函数x 2x )x (f 2
-=的定义域为}2,1,0{ , 则该函数的值域为 ( ) A. }1,0,1{ - B. }0,1{ - C. }1y 0|y {≤≤ D. }0y 1|y {≤≤-
3. 不等式6|1x ||3x |≤++-的解集是 ( )
A. )4,2( -
B. ]4,2[ -
C. ),4[)2,(∞+--∞
D. ]2,4[ -
4. 在n
)x 21(-的展开式中, 各项系数的和是 ( )
A. 1
B. n
2 C. －1 D. 1或－1
5. 抛物线y 2
x 4=的焦点到准线的距离为 ( ) A.
81 B. 4
1
C. 2
D. 4
6. 已知函数)3x (f y +=是偶函数, 则函数)x (f y =图象的对称轴为直线 ( ) A. 3x -= B. 0x = C. 3x = D. 6x =
7. 过点)1,0(- 作直线l , 若直线l 与圆1)1y (x 2
2=-+有公共点, 则直线l 的倾斜角的范围为( ) A. ]65,6[ππ
B. ),65()6,0[πππ
C. ]32,3[ππ
D. ),3
2()3,0[ππ
π 8. α、β为两个确定的相交平面, a 、b 为一对异面直线,下列条件: ① a ∥α, b ⊂β; ② a ⊥α, b ∥β; ③ a ⊥α, , b ⊥β; ④ a ∥α, b ∥β且a 与α的距离等于b 与β的距离. 其中能使a 、b 所成的角为定值的有 ( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 9.《莱因德纸草书》( Rhind Papyrus )是世界上最古老的数学著作之一. 书中有一道这样的题目: 把100个面包分给5个人, 使每个所得成等差数列, 且使最大的三份之和的7
1
是较小的两份之和, 则最小1份的量为 ( )
A. 35
B. 310
C. 65
D. 6
11 10. 线性目标函数y x 2z +=在约束条件⎩⎨⎧≤≤1
|y |1
|x | 下, 取得最小值时的最优解是 ( )
A. )1,1(
B. )1,1( -
C. )1,1(--
D. )1,1(-
11. 一个棱长都为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上, 则此球的表面积为
A.
2a 37π B. 2a 2π C. 2a 411π D. 2a 3
4π
12. 已知等差数列}a {n 与等比数列}b {n 的首项均为1, 且公差,0d ≠公比
1q ,0q ≠> , 则集合}b a |n {n n =的元素最多有 ( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 下面是一个样本容量为的样本: 7, 5, 8, 10, 10. 则该样本的数学期望 ( 即平均数 )为 , 方差为 .
14. 设⎩⎨⎧∞+∈-∞∈=-),
,1(x ,x log ],1,(x ,2)x (f 81x 则使41
)x (f =的x 值是 .
15. 下列给出了与的七组近似对应值:
组号 一 二 三 四 五
六
七
x 0.30103 0.47711 0.69897
0.77815
0.90309 1.00000 1.07918 x 10
2 3 5 6
8 10 12
假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第 组. 16. 下图是某企业2000年至2003年四年来关于生产销售的一张统计图表 (注: 利润＝销售
额－生产成本). 对这四年有以下几种说法: (1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000年—2001年该企业销 售额增长率最快;
(3) 2001年—2002年该企业生 产成本增长率最快;
(4) 2002年—2003年该企业利 润增长幅度比2000年—2001年 利润增长幅度大.
其中说法正确的是
(注:把你认为正确的说法序号都 填上).
三．解答题(本大题6小题, 共74分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题满分12分）甲、乙两个蓝球运动员在罚球线投球的命中率分别为0.8与0.4.如果每人投蓝2次.
(1) 求甲投进1球且乙投进2球的概率;
(2) 若投进1个球得1分, 未投进得0分, 求甲、乙两人得分相等的概率.
18.（本小题满分12分）已知△ABC 的面积S 满足3S 3≤≤, 且6BC AB =⋅,
AB 与BC 的夹角为θ. (1) 求θ的取值范围;
(2) 求函数θ+θ⋅θ+θ=θ2
2cos 3cos sin 2sin )(f 的最小值.
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥AB CD P -的底面是梯形, 且AB ∥CD, ∠DAB ＝90°,
DC ＝2AD ＝2AB, 侧面PAD 为正三角形, 且与底面垂直, 点M 为侧棱PC 中点. (1) 求直线PB 与平面PAD 所成角的大小; (2) 求证: BM ∥平面PAD;
(3) 求二面角P —AD —M 的大小 ( 用反三角函数表示 ).
20.（本小题满分12分）
已知函数b lg x )2a (lg x )x (f 2
+++=满足2)1(f -=-且对于任意R x ∈, 恒有x 2)x (f ≥成立. (1) 求实数b ,a 的值; (2) 解不等式5x )x (f +<.
21.（本小题满分12分）
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作垂直于x
轴的直线与双曲线交于B 、C 两点，且AB ⊥AC ，|BC|=6.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过点F 且不垂直于x 轴的直线l 与双曲线分别交于点P 、Q ，请问：是否存在直线l ，使△APQ 构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
22.★★（本小题满分12分）已知函数2
41
)x (f x +=
)R x (∈.
(1) 试证函数)x (f 的图象关于点)4
1,21( 对称; (2) 若数列}a {n 的通项公式为)m ,,2,1n ,N m ()m
n
(
f a n =∈=+, 求数列}a {n 的前m 项和;S m ;
(3) 设数列}b {n 满足: 3
1b 1=, n 2
n 1n b b b +=+. 设 1
1111121++++++=n n b b b T .
若(2)中的n S 满足对任意不小于2的正整数n, n n T S <恒成立, 试求m 的最大值.
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19题解: 20题解:
数学参考答案
（每小题4分, 共16分）
13. 8 , 3.6 ;14. 3 ; 15. 二; 16. (2) (3) (4) .
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: (1)设甲投进1球且乙投进2球的事件为A, 则事件A 可以分成两个相互独立事件A 1与A 2的积, 其中, A 1: 甲在2次投蓝中恰好投进1球; A 2: 乙在2次投蓝中恰好投进2球.由相互独立事件同时发生的概率公式, 得
0512.0)6.04.0C ()8.02.0C ()A (P )A (P )A A (P )A (P 0
22211122121=⨯⋅⋅⨯⋅=⋅=⋅=…
(6分) (2)设甲乙得分相等的事件为B, 则事件B 可以分成3个彼此互斥事件B 1, B 2, B 3的和, 其中, B 1: 甲、乙两人都投中2球; B 2: 甲、乙两人恰好都投中1球; B 3: 甲、乙两人都未投中. 互斥事件有一个发生的概率公式,得
.
2704.06.0C 2.0C )6.04.0C )(2.08.0C (4.0C 8.0C )
B (P )B (P )B (P )B B B (P )B (P 2
02
2
02
12
12
2
22
2
2
2
321321=⋅+⨯⨯⋅+⋅⋅=++=++=
答: 甲投进球且乙投进球的概率是0.0512, 甲乙得分相等的概率是0.2704. 18．（本小题满分12分） 解:(1)由题意知,BC AB ⋅|BC ||AB |⋅=6cos =θ⋅, ………………①
21S =
|B C ||AB |⋅)sin(θ-π⋅2
1
=|B C ||AB |⋅θ⋅sin ,…………②………(2分) 由②÷①, 得θ=tan 2
1
6S , 即.S tan 3=θ
由,3S 3≤≤得3tan 33≤θ≤, 即1tan 3
3
≤θ≤.……………(4分) 又θ为AB 与BC 的夹角, ∴],0[π∈θ , ∴]4
,6[π
π∈θ .…………(6分)
(2)θ+θ+=θ+θ⋅θ+θ=θ2
22cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(f
),4
2sin(222cos 2sin 2π
+θ+=θ+θ+=……………(9分)
∵]4,6[ππ∈θ , ∴]43,127[42ππ∈π+θ .……………(10分)
∴4342π=π+θ, 即4π
=θ时, )(f θ的最小值为3. …………(12分)
19．（本小题满分12分）
解:(1) ∵面PAD ⊥面ABC, 交线为AD, 且 AB ⊥AD, ∴AB ⊥面PAD, 直线PB 在 面PAD 上的射影为PA, ∴∠BPA 为PB 与 面PAD 的所成角. ………………(2分) 又AB ⊥PA, 且PA ＝AB,
∴∠BPA ＝45°, ∴直线PB 与平面PAD 所成角的大小为45°. ………………(4分) (2)过M 作MN ∥CD 交PD 于N, 连AN. ∵M 为PC 中点, 则MN ＝
2
1CD, 又AB ∥CD, DC ＝2AB, ∴MN ∥AB 且
MN ＝AB, ∴ABMN 为平行四边形. ………………(6分)
∴BM ∥AN, MB 平面APD, ∴BM ∥平面PAD. ………………(8分)
(3)过N 作NH ⊥AD, 垂足为H, 连MH
∵AB ⊥面PAD, AB ∥CD ∥MN, ∴MN ⊥面PAD.
又NH ⊥AD, 由三垂线定理知MH ⊥AD
∴∠MHN 为二面角P －AD －M 的平面角. ………………(10分)
由MN ⊥面PAD, 知MN ⊥NH, 且MN ＝
2
1CD ＝AD, NH ＝43AD, ∴tan ∠MHN ＝HN
MN ＝334, ∴∠MHN ＝arctan 334, ∴二面角P －AD －M 的大小为arctan 334.………………(12分) 20．（本小题满分12分）
解: (1)由,2)1(f -=-知, ,01a lg b lg =+-…① ∴
.10b
a =…②……(2分) 又x 2)x (f ≥恒成立, 有0
b lg a lg x x 2≥+⋅+恒成立, 故0b lg 4)a (lg 2≤-=∆…(4分) 将①式代入上式得:
01b lg 2)a (lg 2≤+-, 即,0)1b (lg 2≤-故1b lg =,即10b =,代入②得,100a =…(8分)
(2),1x 4x )x (f 2++= ,5x )x (f +<即,5x 1x 4x 2
+<++ ∴,04x 3x 2<-+ 解得:1x 4<<-, ∴不等式的解集为}1x 4|x {<<-……(12分)
21．（本小题满分12分）
解: （21）（1）由题意得(,0),(,0),A a F c BC x -⊥轴，22
(,),(,).b b B c C c a a
∴- 1/
2c a ∴= 2/
又|BC|=6，2
26b a
∴= 3/ ∴221,3a b ==∴所求双曲线的方程为2
2
1.3y x -= 4/ （2）设直线l 的方程为1122(2),(,),(,).y k x P x y Q x y =- 由22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩
得2222(3)4430.k x k x k --++= 5/
∵l 与双曲线有两个交点，故2
30.k -≠
2
12221224343
3k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪-⎩
要使△APQ 成等腰直角三角形，则需AP ⊥AQ ，且|AP|=|AQ|
由AP ⊥AQ ，得1212(1)(1)0x x y y +++= 6/ 即22
2
2222434(1)(12)14033k k k k k k k +++-++=--对,k R ∈
且k ≠ 8/ 由|AP|=|AQ|得2222
11222
22212122(1)(1)42(4)(1)423x y x y k x x k x x k k k ++=++∴++=-+-∴+=-- 9/ 解得213
k =
即k = 12
综上所述，所求直线存在，其方程为(2)3y x =±
- 22．（本小题满分14分）
解: (1)设点)y ,x (P 000 是函数)x (f 的图象上任意一点, 其关于点)4
1
,21( 的对称点为)y ,x (P . 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+412
y y 212x x 00 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.y 21y ,x 1x 00 所以, 点P 的坐标为P )y 2
1,x 1(00-- .………………(2分) 由点)y ,x (P 000 在函数)x (f 的图象上, 得2
41y 0x 0+=. ∵,)24(244244241)x 1(f 00
000x x x x x 10+=⋅+=+=-- =+-=-24121y 210x 0,)24(2400x x + ∴点P )y 2
1,x 1(00-- 在函数)x (f 的图象上. ∴函数)x (f 的图象关于点)4
1,21( 对称. ………………(4分)
(2)由(1)可知, 21)x 1(f )x (f =-+, 所以)1m k 1(2
1)m k 1(f )m k (f -≤≤=-+ , 即,2
1a a , 21)m k m (f )m k (f k m k =+∴=-+- ………………(6分) 由m 1m 321m a a a a a S +++++=- , ……………… ① 得,a a a a a S m 13m 2m 1m m +++++=--- ………………② 由①＋②, 得,612m 61221m a 221)1m (S 2m m -=⨯+-=+⨯
-= ∴).1m 3(12
1S m -=………………(8分) (3) ∵,3
1b 1=)1b (b b b b n n n 2n 1n +=+=+…③∴对任意的0b ,N n n >∈+ . …④ 由③、④, 得,1b 1b 1)1b (b 1b 1n n n n 1n +-=+=+即1n n n b 1b 11b 1+-=+. ∴1n 1n 11n n 3221n b 13b 1b 1)b 1b 1()b 1b 1()b 1b 1(T +++-=-=-++-+-= .… (10分) ∵,b b ,0b b b n 1n 2
n n 1n >∴>=-++ ∴数列}b {n 是单调递增数列. ∴n T 关于n 递增. 当2n ≥, 且+∈N n 时, 2n T T ≥. ∵,81
52)194(94b ,94)131(31b ,31b 321=+==+==
∴.5275b 13T T 12n =-=≥…(12分) ∴,5275S m <即,5275)1m 3(121<-∴,394639238m =< ∴m 的最大值为6.…(14分)。