第四章计算机控制系统性能指标描述

t 0
(q1e12

q2e22
)dt

t 0
(r1u12

r2u22
)dt
式中，加权矩阵Q和R的选择是根据对e和u的各个分量的要 求来确定的。它不仅控制了动态性能指标，而且限制了控制 信号的功率。
2. 末值型指标
J S[x(t f ), t f ]
是末值时刻 tf 和末值状态 x(tf) 的函数。 如：要求在末值时刻，系统具有最小稳态误
以由特征方程
1 D(z)GhG0 (z) 0
H (z) D(z)GhG0 (z) 1 D(z)GhG0 (z)
的根在Z平面中的位置来确定—— 必须位于Z平面中单位圆
的内部。如果有一个根恰好位于单位圆上则系统处于临界稳 定，临界稳定在实践中属于不稳定。
例4.1
已知系统的闭环传递函数为：
动态指标——超调量σp
超调量：
σp
p

ym y y
100%
超调量通常以百分数表
示
表示了系统过冲的程度
反映了系统动态过程的 平稳性。
动态指标——调整时间ts

调整时间反映了过渡过 程时间的长短

=0.02或0.05
它反映了动态过程进行 的快慢，是系统的快速性 指标。
ts
4.1.1工程上对控制系统动态过程的性能要求
定义：通常将系统受到给定值或干扰信号作用后， 控制被控量变化的全过程称为系统的动态过程。
工程上常从稳、快、准三个方面来评价控制系统。 稳： 指动态过程的平稳性。 快： 指动态过程的快速性。 准： 指动态过程的最终精度。
稳： 指动态过程的平稳性
差，最准确的定位或最大射程的末值控制中。
3. 复合型指标
J
S[x(t f ),t f ]
tf t0
F[x(t),t]dt
复合型指标是积分型和末值型指标的复合，是一个 更普遍的性能指标形式。
5.1.2 典型环节的瞬态响应
典型环节：
一阶系统 二阶系统 高阶系统
瞬态输入信号： 冲击信号： r(t) (t)
第四章计算机控制系统性能指标 描述
概述
控制系统总是要求实际的被控对象，在给定信号的作 用下达到稳定、快速和准确的性能指标。 计算机控制系统，相对于一般控制系统而言，具有更 多的功能可以实现，即系统能实现最佳的性能指标。 本章描述控制系统的基本性能指标，以及这些性能指 标与系统的固有参数和设计参数的关系，从而为分析和 设计控制系统提供了依据。
稳态指标：衡量控制系统 精度的指标
•稳态误差 动态指标：比较直观地反 映控制系统的过渡过程特 性
•超调量 •调节时间 •峰值时间 •衰减比 •振荡次数
稳态指标——稳态误差ess
稳态误差是输出量的稳态 值与要求值的差值
ess

ess y0 y
表示了控制精度，越小越 好。
稳态误差与控制系统本身 的特性有关，也与系统的输 入信号形式有关。
4.2.2 朱利(Jury)稳定判据
设离散控制系统的特征方程为 其中a0， a1， a2，… an为实数，以及an ＞0。 按多项式的系数，构造朱利阵列如表5．1所示。
…
D(z) an z n an1z n1 a1z a0 0
表4.1 朱利阵列格式
表的构成方法
bk
准： 指系统在动态过程结束后，其被控量 （或反馈量）与给定值的偏差，这一偏差称为 稳态误差，是衡量稳态精度的指标，反映了系 统后期稳态的性能。
以上分析的稳、快、准三方面的性能指标 往往由于被控对象的具体情况不同，各系统要 求也有所侧重，而且同一个系统的稳、快、准 的要求是相互制约的。
稳定性
发散振荡 系统不稳定，不允许存在， 容易造成严重事故。
连续系统稳定性分析方法及结论
特征方程的根，即闭环极点应具有负实部或分 布在左半s平面上。——直接判断困难。 劳斯（Routh）稳定性判据：由特征方程的系数 来判断。 根轨迹法 频率响应特性
4.2.1 Z平面的稳定性条件
不稳定 区域
稳定 区域
稳定 区域
临界 稳定
根据S平面和Z平面之间的关系，离散系统的稳定性可
本章内容
4.1 计算机控制系统的性能及其指标 4.2 线性离散系统的稳定性分析 4.3 离散系统的稳态误差分析 4.4 线性离散系统的动态响应分析
4.1 计算机控制系统的性能及其指标
性能：
稳定性 能控性 能观测性 稳态特性 动态特性
性能指标：
稳定裕量 稳态指标 动态指标 综合指标
0.5690 + 0.0753i
ii=find(abs(p)>1);n1=length(ii); if (n1>0)
disp('System is Unstable');
H (s) 5s5 z=

4s 4

s3
0.6s 2 s5

3s

0.5
试判断该闭环系统的稳定性。
-0.7822 + 0.5660i
解：
-0.7822 - 0.5660i
根据题意，运行下列MATLAB程0序.4：681 + 0.6367i
num=[5 4 1 0.6 3 0.5]; den=[1 0 0 0 0 0]; [z,p]=tf2zp(num,den) ii=find(abs(p)>1);
控制系统只有稳定，才有可能谈得上控制系统 性能的好坏或优劣
计算机控制系统的稳定性跟连续控制系统的稳 定性一样，也是一个重要的概念
稳定性分析也是计算机控制理论中的一个重要 的内容。
能控性和能观测性
控制系统的能控性和能观测性在多变量最优控制中是两个 重要的概念。
可观测性反映了由系统的量测来确定系统状态的可能性。 如果系统的状态在有限的时间间隔内可由输出的观测值来确 定，那么称系统在这样一个时间段内是可观测的。

a0 an
ank , k 0,1,n 1 ak
cj

b0 bn1

bn1 j , j 0,1,n 2 bj
si

r0 r3
r31 ,i 0,1,2 ri
朱利稳定性判据
特征多项式的根全部都位于单位圆内的充要条件是下 列不等式成立：
例4.2 请参见教材68页。
例4.2
阶跃信号： r(t) 1 斜坡信号： r(t) t
一阶系统的瞬态响应
G(s) 1 Ts 1
惯性时间常数T越大，系统的响应越慢。
二阶系统的瞬态响应
G(s)

s2

n2 2n s
n2
无阻尼
=0
欠阻尼 0<<1
临界阻尼 =1
二阶系统一般设计为欠阻过尼阻系尼统，且阻尼越小，超调 越大，但响应速度越快。 >1
1.积分型指标—误差平方的积分
J t te2 (t)dt 0
这种指标较少考虑大的起始误差，着重权衡过渡特性 后期出现的误差，有较好的选择性。该指标反映了控 制系统的快速性和精确性。
1.积分型指标—误差平方的积分
对于多变量控制系统，可采用
J t (eT Qe uT Ru)dt 0
等幅振荡 系统临界稳定，在实际系统 中也是不允许的。
衰减振荡 当调节器参数选择合适时， 系统可以在比较短的时间内， 以比较少的振荡次数，比较小 的振荡幅度回复到给定值状态， 得到比较满意的性能指标。
非周期衰减 当调节器参数选择合适时， 可以使系统既无振荡，又比较 快地结束过渡过程。
稳定性结论
用Matlab进行瞬态响应分析
格式： 单位阶跃响应
单位冲击响应
step(sys) step(sys,t) impulse(sys,t)
例：求
G(s)

s2

25 4s
的单位阶跃响应。
25
解： 1.4 编制Matlab程序如下：
num=[25];
1.2
den=[1,4,25];
1
g=sys(num,den);
控制系统动态过程曲线 如上图所示，系统在外力作用下，输出逐渐与期望值一 致，则系统是稳定的，如曲线①所示；反之，输出如曲线②所 示，则系统是不稳定的。
快： 指动态过程的快速性
快速性即动态过程进行的时间的长短。过程时间越短，说 明系统快速性越好，反之说明系统响应迟钝，如曲线①所示。
稳和快反映了系统动态过程性能的好坏。既快又稳，表明系 统的动态精度高。
可控性是指控制作用对被控系统影响的可能性。如果在 一个有限的时间间隔里，可以用一个无约束的控制向量，使 得系统由初始状态转移到终点状态，那么系统就称作在这样 一个时间里是可控的。 如果所研究的系统是不能控的，那 么，最优控制问题就不存在。 关于能控性和能观测性的详细情况可参阅本书第7章。
性能指标
0.4681 - 0.6367i -0.1718 p=
n1=length(ii);
运行结果： 0
if (n1>0)
0
disp('System is Unstable');
0
else disp('System is Stable');
end
0 0 System is Stable
结论
通过MATLAB这样的计算工具可以很容易的求 出系统的特征方程的根，但在实际使用时也经常 采用间接的方法，即不用直接求解特征方程的根， 而是根据特征方程的根与系数的对应关系去判别 系统的稳定性。
有多零项点式，其 它n1 闭环极点n2i1离虚轴比较远（实部之在5倍
以上，对系统响(s 应 p的j )影响(s2可以2忽ll略s 不l2计) ），这些闭环
极点项，衰减j1的比较慢l1 ，在动态过程中起主要作用。
称为闭环主导极点。 若主导极点是一对其轭复数极点，
则原来的高阶系统，可以近似为欠阻尼二阶系统。
一般选=0.4~0.8。
零点
高多项阶式系统
增益 系数
零点
ຫໍສະໝຸດ Baidu
面若上高。G阶(s)系 统BA实((是ss))数稳 b定0ssn的mma，b11ss其nm1闭1环极abn点m1s1分sa布bn m在共左轭半复 s平
极在点所有闭环极极点点中K，离(虚s 轴zi )最近的极点，数附极近点 又没
Amplitude
step(g)
0.8
或
0.6
num=[25]; 0.4
den=[1,4,25];
step(num,den)
0.2
Step Response
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Time (sec)
例：
求G(s)

s2

当n2 2n s
n2
的单位冲击响应。
时 0.6,n 5
N=3/2=1.5
综合指标
有三种类型：
积分型指标 末值型指标 复合型指标 在现代控制理论中，如最优控制系统的设计时， 经常使用综合性能指标来衡量控制系统。
1.积分型指标—误差平方的积分
J t e2 (t)dt 0
这种性能指标着重权衡大的误差，而且数学上易于 处理，可以得到数学解，因此经常使用。 如在宇宙飞船控制系统中按最小设计，可使动力消 耗最小。
动态指标——峰值时间tp
过渡过程到达第一个 峰值所需要的时间 它反映了系统对输入 信号反应的快速性。
tp
动态指标——衰减比η
过程过程衰减快慢的程度，
B1
定义为过渡过程第一个峰值
B1与第二个峰值B2的比值
B1
通常希望衰B2减比为4:1
B2
动态指标——振荡次数N
反映控制系统的阻尼 特性，定义为输出量y(t) 进入稳态前，穿越y(t)的 稳态值y()的次数的一 半。
Impulse Response 2.5
解： 2 编制Matlab程序如
下：
1.5
Amplitude
wn=5;zeta=0.6;
num=wn.^2;
1
den=[1,2*zeta*wn,
0.5
wn.^2];
impulse(num,den),
0
Grid on;
-0.5
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4 1.6 1.8
2
Time (sec)
典型二阶系统的单位冲击响应曲线
4.2 线性离散系统的稳定性分析
在控制系统性能指标中，系统稳定是一个先 决条件，一个不稳定的控制系统是不能正常工作 的，甚至会导致系统的破坏，所以稳定性是控制 系统的最重要的指标。稳定性是系统的一种固有 特性，这种固有的稳定性只取决于系统的结构参 数，而与系统的初始条件以及外作用无关。
例4.2 的直接求解结果
z=
D(z) 3z 4 z 3 z 2 2Ezmp1ty matrix: 0-by-1
解：根据题意，运行下列MATLABp程=序：
num=[1];
-0.7357 + 0.6859i
den=[3 1 -1 -2 1];
-0.7357 - 0.6859i
[z,p]=tf2zp(num,den)