多项式的四则运算

多项式的四则运算

回顾上节课的知识：

（1）单项式：仅含有一些数和字母的乘法（包括乘法）运算的式子叫做单项式

注意：单纯的一个数字和字母也是单项式

练习1：下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是多少？

ab -、53n 、22

0.75v t 、xyz 、2

310xy

（2）同类单项式（同类项）：如果在几个单项式中，不管它们的系数是不是相同，只要它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么，这几个单项式就叫做同类单项式，简称同类项

注意：所有的常数都是同类项

练习2：（1）下列各组中的两个项是不是同类项，为什么？

313

ab 和343b a - 4abc 和4ab 20.2x y 和20.2xy mn -和mn 32x 和22x 12和-6

把下列各单项式按同类项分组，能分出几组？

-7、6x 、312

x y xyz -、30.5yx -、35x y 、0.1x 、9yxz 、310yx

（3）多项式：由有限个单项式的代数和组成的式子，叫做多项式

项：多项式里的每个单项式叫做多项式的项

常数项：不含字母的项，叫做常数项

例如：230.52x x ++、3

3x x -、31xy x -++、22a ab b -+、

3322.138x y x z +-…………都是多项式 （4）合并同类项：把同类单项式的相加和相减。其法则是把同类单项式的系数相加和相减，而单项式中的字母及这些字母的乘方指数不变，合并同类项的根据是交换律、结合律以及分配律

由于单项式是一些数与具有数系运算通性的字母的方幂所组成的，就是说，单项式加、乘满足交换律、乘满足交换律、结合律以及分配律

练习3：合并下列同类项

（1）234x x x x +++

（222223xy xy xy -+

（3）333337250.50.7x x x x x -+--

合并下列各式中的同类项

（1）22485362x x x x -+-+-

（2）222224+3242a b ab a b b +---

（3）5325244223x x x x x x -+--+

（4）222222101523a bc abc a bc abc a bc abc +--+-

把()a b +作为一个因式，合并同类项

（1）5()4()10()a b a b a b +++-+

（2）22333()()2()()4()2()a b a b a b a b a b a b +-+++-+++-+

（5）元数：代数学中，常常把字母x 、y 、z ……设为未知数，在多项式中，所含的不同未知数的个数，称为这个多项式的元数

项数：经过合并同类项以后，多项式所含单项式的个数，称为这个多项式的项数

多项式次数：多项式合并同类项后，所含各单项式中最高次项的次数，就称为这个多项式的次数

练习4：将下列多项式先合并同类项，然后按所含字母降次排列，并指出它们的元数、次数、项数

（1）()5551232x x x ⎛⎫--

+- ⎪⎝⎭

（2）22333471x x x x -+--

（3）2323

3234325y y y y y +-++--

（4）

22431517362

x x x x x -+-++

（5）()())()222324322391y

y y y y +--+--+-

（6）4634

53821xy x y x x y y -+--+（按x 降次排列）

知识点一：多项式的值

新课内容：任何一个多项式，就是一个用加、减、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子。例如：43254321x x x x ++++，就是已知数5、4、3、2、1与未知数x 饿方幂用加、乘运算连结起来的一个式子。

这种关系的式子，我们可以用一个符号()f x 来表示，写成： ()f x =43254321x x x x ++++

（注意：这里的f 是表示一种关系，如上式中的f 表示的关系是：()()()()43254321++++，x 是未知数，符号()f x 就是关于未知数x 的一种关系式的符号，不能把这个符号当成是f 与x 的乘积）

多项式值的定义：给出一个一元多项式，就是给出了一个关于已知数（各项系数）、未知数和一定运算顺序的关系式。比如()2

321f x x x =-+，其中2321x x -+叫做()f x 的表达式。已知()f x ，就是已知2321x x -+。在这些表达式中，未知数x 是可以取任意数值的。 当x （未知数）取某一个给定的数值时，比如x =2时，代入已知的关系式，就一定可以相应地算出()f x 的一个数值来，这个数值就叫做该多项式的值。

例题：

（1） 已知()2431g y y y =++，试求：当1

01-110-2

y =、、、、()g y 的值

例2：先化简，再求值

（1）()3232122357433

f x x x x x x x =-++++-，求()2f - （2）()233253429f x x x x x x x =---++--，求112f ⎛⎫ ⎪⎝⎭

例3：已知()1k y my =-，且()2k =1，试求m 的值和()k y 的表达式

例4：已知()2f x x mx n =++，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭

，()11f =- 试求：()0f 、()2f 、()8f -