《材料力学》第6章 简单超静定问题 习题解

轴力图01234-5-4-3-2-101234567
N(F/4)x(a)第六章 简单超静定问题 习题解
[习题6-1] 试作图示等直杆的轴力图
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R （↓）。

设2F 作用点为C ，
F 作用点为D ，则：
B BD R N =
F R N B CD +=
F R N B AC 3+=
变形谐调条件为：
0=∆l
02=⋅+⋅+⋅EA
a N EA a N EA a N BD CD AC 02=++BD CD AC N N N
03)(2=++++F R F R R B B B
45F R B -
=（实际方向与假设方向相反，即：↑） 故：45F N BD
-= 445F F F N CD
-=+-= 47345F F F N AC
=+-= 轴力图如图所示。

[习题6-2] 图示支架承受荷载kN F 10=，1，2，3各杆由同一种材料制成，其横截面面积
分别为21100mm A =，22150mm A =，23200mm A =。

试求各杆的轴力。

解：以节点A 为研究对象，其受力图如图所示。

∑=0X
030cos 30cos 01032=-+-N N N
0332132=-+-N N N
0332132=+-N N N (1)
∑=0Y
030sin 30sin 0103=-+F N N
2013=+N N (2)
变形谐调条件：
设A 节点的水平位移为x δ，竖向位移为y δ，则由变形协调图（b ）可知：
00130cos 30sin x y l δδ+=∆
x l δ=∆2
00330cos 30sin x y l δδ-=∆
03130cos 2x l l δ=∆-∆
2313l l l ∆=∆-∆
设l l l ==31，则l l 2
32= 2
23
311233EA l N EA l N EA l N ⋅⋅=- 22331123A N A N A N =- 150
23200100231⨯=-N N N
23122N N N =-
21322N N N -= (3)
(1)、(2)、(3)联立解得：kN N 45.81=；kN N 68.22=；kN N 54.111=（方向如图所示，为压力，故应写作：kN N 54.111-=）。

[习题6-3] 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。

如果荷载F 作用在A 点，试求这四根支柱各受多少力。

解：以刚性板为研究对象，则四根柱子对它对作用
力均铅垂向上。

分别用4321,,,N N N N 表示。

由其平衡条件可列三个方程：
0=∑Z
04321=-+++F N N N N
F N N N N =+++4321 (1)
0=∑x M
0222242=-⋅a N a N 42N N = (2)
0=∑y M
022
22
31=⋅-⋅+⋅a N e F a N
a Fe
N N 231-=- (3)
由变形协调条件建立补充方程
EA N EA l N EA l N 2
312
=+
2312N N N =+。

（4）
(1)、（2）、（3）、（4）联立，解得： 442F N N == F a
e N )241(1-= F a
e N )241(3+= [习题6-4] 刚性杆AB 的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD 和EF 使该刚性杆处于水平位置，如所示。

如已知kN F 50=，两根钢杆的横截面面积2
1000mm A =，试求两杆的轴力和应力。

解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A M
0350221=⨯-⋅+⋅a a N a N
150221=+N N (1)
变形协调条件：
122l l ∆=∆
EA
l N EA l N 122= 122N N = (2)
(1)、(2)联立，解得：
kN N 301=
kN N 602=
MPa mm
N A N 30100030000211===σ MPa mm N A N 60100060000222===
σ
[习题6-5] 图示刚性梁受均布荷载作用，梁在A 端铰支，在B 点和C 点由两根钢杆BD 和CE 支承。

已知钢杆BD 和CE 的横截面面积22200mm A =和2
1400mm A =，钢杆的许用应力MPa 170][=σ，试校核该钢杆的强度。

解：以AB 杆为研究对象，则：
0=∑A M
023
)330(3121=⨯⨯-⨯+⨯N N
135321=+N N (1)
变形协调条件：
3
1
21=∆∆l l
123l l ∆=∆
1
12238.1EA l N EA l
N ⨯=⋅
40032008
.11
2N N =⋅
212.1N N = (2)
(1)、（2）联立，解得：
kN N 571.381=（压）；kN N 143.322=（拉）
故可记作：kN N 571.381-=；kN N 143.322=
强度校核：
MPa MPa mm
N
A N 170][4275.9640038571||||211
1=<===σσ，符合强度条件。

MPa MPa mm N
A N 170][715.160200
32143212
2=<===σσ，符合强度条件。

[习题6-6] 试求图示结构的许可荷载[F]。

已知杆AD ，CE ，BF 的横截面面积均为A ，杆材料的许用应力为][σ，梁AB 可视为刚体。

解：以AB 杆为研究对象，则：
∑=0Y
0321=-++F N N N
F N N N =++321 (1)
∑=0A M
0232=⋅-⋅+⋅a F a N a N
F N N =+322 (2)
变形协调条件：
2132l l l ∆+∆=∆
EA l
N EA l N EA l N 21322+=⋅
2134N N N += (3)
(1)(2)(3)联立，解得：
5221F N N ==；53F
N =
强度条件：
][5221σσσ≤==A F
A A F ][5.22]
[5σσ=≤
][53σσ≤=A F
][5σA F ≤
故：A F ][5.2][σ=
[习题6-7] 横截面积为mm mm 250250⨯的短木柱，用四根mm mm mm 54040⨯⨯的等边角钢加固，并承受压力F ，如图所示。

已知角钢的许用应力MPa s 160][=σ，弹性模量GPa E s 200=；木材的许用应力MPa w 12][=σ，弹性模量GPa E w 10=。

试求短木柱的许可荷载[F]。

解：（1）木柱与角钢的轴力由盖板的静力平衡条件：
（1）
由木柱与角钢间的变形相容条件，有
（2）
由物理关系：
（3）
式（3）代入式（2），得
（4）
解得：
代入式（1），得：
（2）许可载荷
由角钢强度条件
由木柱强度条件：
故许可载荷为：
[习题6-8] 水平刚性横梁AB 上部由于某1杆和2杆悬挂，下部由铰支座C 支承，如图所示。

由于制造误差，杆1和长度短了mm 5.1=δ。

已知两杆的材料和横截面面积均相同，且GPa E E 20021==，A A A ==21。

试求装配后两杆的应力。

解：以AB 梁为研究对象，则：
0=∑C M
0145sin 2021=⨯+⋅-N N
214
2N N =…………(1) 变形协调条件：
11AA l -=∆δ
122
2BB l =∆ 2
111
212l l BB AA ∆∆-==δ 2122l l ∆=∆-δ
EA
l N EA l N 22221⋅=-δ EA
l N EA l N 214=-δ………...(2) (1)、(2)联立，解得：
l
EA N )162(21+=δ；l EA N )162(42+=δ MPa mm mm
MPa l E 242.161500)162(5.1102002)162(231=⨯+⨯⨯⨯=+=δ
σ
轴力图
00.81.62.43.244.8-15-10-50510152025303540455055606570758085N(kN)x(m) MPa mm mm
MPa l E 939.451500)162(5.1102004)162(432=⨯+⨯⨯⨯=+=δ
σ
[习题6-9] 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离mm 1=δ。

已知上、下两段杆的横截面面积分别为2600mm 和2
300mm ，材料的弹性模量GPa E 210=。

试作图示荷载作用下杆的轴力图。

解：设装配后，支座B 的反力为B R （↓），则：
B B
C R N = 40+=B C
D R N （D 为60kN 集中力的作用点）
100+=B AD R N
变形协调条件：
δ=∑=n i i l
1
m R R m m kN m kN R B B B 36666262610110
600102102.1)100(10600102104.2)40(10300/102102.1----⨯=⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅++⨯⨯⨯⋅
1261202.1964.24.2=++++B B B R R R
906-=B R
)(15kN R B -=。

故：
kN N BC 15-= ； kN N CD 25= ； kN N AD 85=。

轴力图如下图所示。

[习题6-10] 两端固定的阶梯状杆如图所示。

已知AC 段和BD 段的横截面面积为A ，CD 段
的横截面面积为2A ；杆的弹性模量为GPa E 210=，线膨胀系数106)(1012--⨯=C l α。

试
求当温度升高C 0
30后，该杆各部分产生的应力。

解：变形协调条件：
0=∆l
0=∆+∆t N l l
04)
2(22=⋅∆⋅++a t A E a N EA Na l α 043=⋅∆⋅+a t EA
Na l α 043=⋅∆⋅+t EA
N l α )(100800/1021030)(10123
4342260106kN A Am m kN C c tEA N l -=⋅⨯⨯⨯⨯⨯-=∆-=--α MPa kPa A
N BD AC 8.100)(100800-=-===σσ MPa kPa A
N CD 4.50)(504002-=-==σ [习题6-11] 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩e M 。

若212d d =，试求固定端的支反力偶矩A M 和B M ，并作扭矩图。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力偶 ，
其矩为B M ，转向为逆时针方向，则：
B B
C M T =
e B CA M M T -=
变形协调条件：
A 、
B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：
0=+=CB AC AB ϕϕϕ
02)(21=+-P B P e B GI a
M GI a M M
022
1=+-P B
P e B I M I M M
式中，241414111632
1
16)2(321321P P I d d d I =⋅===
πππ，故： 02162
2=+-P B P e B I M I M M
0216
=+-B e
B M M M
33
e
B M M =
33
3233e
e e A M M M M -=-=
（顺时针方向转动） 33
e
B B
C M M T =
= 33
32e
e B CA M M M T -
=-=
[习题6-12] 图示一两端固定的钢圆轴，其直径mm d 60=。

轴在截面C 处承受一外力偶矩
m kN M e ⋅=8.3。

已知钢的切变模量GPa G 80=。

试求截面C 两侧横截面上的最大切应
力和截面C 的扭转角。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力
力偶，其矩为B M ，逆时针方向 转动。

，则：
B CB M T = e B CA M M T -=
变形协调条件：
A 、
B 为两固定端支座，不允许其发生转动，故：
0=+=CB AC AB ϕϕϕ
01
5.0)(=⋅+⋅-P B P e B GI M GI M M
02=+-B e B M M M
3
e
B M M =
，故： )(267.13
8
.33m kN M M T e B CB ⋅===
= )(533.23
8
.3232m kN M M M T e e B CA ⋅-=⨯-=-
=-= C 截面左侧的最大切应力： P
CA
CA W T =
max,τ 式中，抗扭截面模量)(423906014.316
1
161333mm d W P =⨯⨯==
π MPa mm
mm
N W T P CA CA
8.594239010533.2||3
6max,=⋅⨯==τ
C 截面右侧的最大切应力： P
CB
CB W T =
max,τ MPa mm mm N W T P CB CB
9.294239010267.1||3
6max,=⋅⨯==τ C 截面的转角： P
CB
CB BC C GI l T =
=ϕϕ 式中，444412717006014.332
1
321mm mm d I P =⨯⨯==
π 0
4
236714.0)(01245.01271700/1080100010267.1==⨯⨯⨯⋅⨯===rad mm
mm N mm mm N GI l T P CB CB BC
C ϕϕ[习题6-13] 一空心圆管套在实心圆杆B 的一端，如图所示。

两杆在同一截面处各有一直径
相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一β角。

现在杆B 上施加外力偶使杆B 扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。

在装上销钉后卸除施加在杆B 上的外力偶。

试问管A 和杆B 横截面上的扭矩为多大？已知杆A 和杆B 的极惯性矩分别PA I 和PB I ；两杆的材料相同，其切变模量为G 。

解：解除Ⅱ端约束2M （逆时针方向转动），则由于B 杆锚固时处于弹性变形阶段，所以解除约束II 之后，Ⅱ端相对于截面C 转了β角。

因为事先将杆B 的C 端扭了一个β角，故变形协调条件为
02
2=-M ϕβ
PA
B PB A PB
PA B A I l I l I GI M T T +=
==β2
[习题6-14] 图示圆截面杆AC 的直径mm d 1001=，A 端固定，在截面B 处承受外力偶矩
m kN M e ⋅=7，截面C 的上、下两点处与直径均为mm d 202=的圆杆EF 、GH 铰接。

已知各杆材料相同，弹性常数间的关系为E G 4.0=。

试求杆AC 中的最大切应力。

解：把EF 杆与GH 杆切断，代之以约束反力。

由轴AC 的受力特点可知，这两个约束反力构成一力偶，设它的力偶矩为C M （顺时针方向转动）。

)(12.0)(21m kN N d d N M EF EF C ⋅=+= EF C BC N M T 12.0-=-= EF C e AB N M M T 12.07-=-=
杆EF 、GH 的作用是阻止C 截面转动，但因这这两根杆件是可变形固体，故C 截面仍有转角C ϕ。

2
32121)1020(14.34
1
5.22
12
.022)(2
1
-⨯⨯⨯⋅⋅⋅
=⋅+=
+∆=
G N EA l N d d d d l EF EF EF EF C ϕ
G
N EF
845.42462=
变形协调条件为：
C BC AB AC ϕϕϕϕ=+=
C P
BC
BC P AB AB GI l T GI l T ϕ=+ G N GI N GI N EF
P EF P EF 845.42462112.01)12.07(=⨯-⨯-
1
845.4246212.012.07EF
P EF P EF N I N I N =--
P EF EF I N N 845.4246224.07=-
式中，)(108125.9)1.0(14.332
1
3214644m m d I P -⨯=⨯⨯==
π，故： EF EF EF N N N 42.0108125.9845.4246224.076=⨯⨯=--
)(61.1066.0/7kN N EF ==。

故：
)(273.161.1012.012.0m kN N T EF BC ⋅-=⨯-=-=
)(727.5273.1712.07m kN N M M T EF C e AB ⋅=-=-=-=
杆AC 的最大切应力出现在AB 段的圆轴表面：
MPa mm mm
N d T W T P 182.2910014.310727.516163
363max max max =⨯⋅⨯⨯===πτ
[习题6-15] 试求图示各超静定梁的支反力。

[6-15（a ）]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程为：
0=B w 0=+BF BR w w B
查附录IV ，得：EI a R EI a R w B B BR B
3
393)3(-=-=
EI
Fa a a EI a F w BF
314)233(6)2(3
2=-⨯=
故， 0314933=+-=+EI
Fa EI a R w w B BF
BR B
03
149=+
-F
R B 27
14F
R B =
（↑） 由
0=∑Y 得：27
132714F
F F R A =
-
= （↑） 由0=∑A M 得：9
4327142Fa
a F a F M A =
⋅+
⋅-（逆时针方向转动） [6-15(b)]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R ，则变形协调方程
为：
0=B w 0=+B e R BM w w
查附录IV ，得：
EI
a M EI a M w e e BM e
2222)2(-=-=
EI
a R a a EI a R w B B R B
38)223(6)2(3
2-=-⨯-=
故， 038232=--=+EI
a R EI a M w w B e R BM B
e
03
4=+
a
R M B e a
M R e
B 43-
= （负号表示方向向下，即↓） 由
0=∑Y 得：a
M R e
A 43=
（↑）
由0=∑A M 得：e e A M a a M M +⋅-
243，a
M
M e A 2=（逆时针方向转动） [6-15(c)]
解：把B 支座去掉，代之以约束反力B M 和B F ，方向如图所示。

则变形协调条件为： 0=B w ；0=B θ
0=++B s M BF Bq w w w
查附录IV ，得：
EI ql w Bq
84
= EI l F w B BF B
33-=
EI
l M w B BM B
22= 故， 0238234=+-=++EI
l M EI l F EI ql w w w B B M BF Bq B
s 02
382=+-B
B M l F ql 012832=+-B B M l F ql (1)
0=B θ
0=++B
B
BM BF Bq θθθ
查附录IV ，得：
EI ql Bq
63=θ EI
l F B BF B
22-=θ
EI
l
M B BM B
=
θ 故， 02623=+-=++EI
l M EI l F EI ql B B BM BF Bq B
B θθθ 02
62=+-B B M l
F ql 0632
=+-B B M l F ql (2)
(1)、（2）联立，解得：2
ql
F B =（↑）；122ql M B =（顺时针方向转动）。

根据对称结构在对物荷载作用下的性质可知，
2
ql
F A =（↑）；122ql M A =（逆时针方向转动）
[习题6-16] 荷载F 作用在梁AB 及CD 的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。

已知其跨长比和刚度比分别为：
2321=l l 和5
4
21=EI EI 。

解：把连接梁AB 与梁CD 的垫块去掉，代之以约束反力B R （↑）和C R （↓）。

显然，它们是一对作用力反作用力。

C B R R =。

查附录IV 得：AB 在B 处的挠度：
1
3
1
3)(EI l R F w B B ⋅-=
CD 在C 处的挠度为：
2
3
23EI l
R w C C =
变形协调方程：C B w w =
2
3
2131
33)(EI l R EI l R F C B =⋅-
2
3
213
1)(I l
R I l R F C C =⋅-
135
32)32(54)(331221=⨯=⋅=-l l I I R R F C C 167
135F
R C =
（↓）。

即，梁CD 在C 处所受的力。

梁AB 在B 处所受的合力为：167
32167135F
F F =
-
（↓）。

[习题6-17] 梁AB 因强度和刚度不足，用同一材料和同样截面的短梁AC 加固，如图所示。

试求：
（1）二梁接触处的压力C F ；
（2）加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数。

解：（1）求二梁接触处的压力C F
以AB 为研对象，把C 处的圆柱垫去掉，代之以约束反力C F （↑）；以AC 为研究对象，作用在C 处的力为'
C F （↓）。

C F 与'
C F 是一对作用与反作
用力，'
C C F F =。

AB 梁在C 处的挠度：
C CF CF AB C w w w +=,。

查附录IV 得：
EI Fl l l EI l F w CF
485)23(6)2(3
2=-=
EI
l F l l EI l F w C C CF C
24)223(6)2(3
2-=-⋅-
=
故，EI
l F EI Fl w w w C CF CF AB C C 2448533,-=+= AC 梁在C 处的挠度：
EI
l F EI l F w C C AC
C 243)2(33
',=
= 变形协调方程：
AC C AB C w w ,,=
EI
l F EI l F EI Fl C C 2424485333=- 2424485C
C F F F =- C C F F F 225=-
4
5F
F C =
（↑） （2）求加固后梁AB 的最大弯矩和B 点的挠度减小的百分数 ① 弯矩的变化情况 加固前： 2
2Fl l F M C -=⋅
-= max M Fl M A =-=
加固后： max '
22M Fl l F M C =-=⋅
-= 8
3245'
Fl
l F Fl M A -=⋅+
-= 显然，AB 梁的最大弯矩减小：
%5021
=-
Fl
Fl Fl （负弯矩只表示AB 梁上侧受拉）
② B 点挠度的变化情况
加固前：
EI
Fl w B 33
= 加固后：2
'l w w w C C CF CF CF B ⋅++=θ EI
Fl w CF 33= EI
Fl EI l F EI l F l l EI l F w C C CF C 965244524)223(6)2(3332-=⋅-=-=-⋅-= EI
Fl EI l F EI l F EI l F EI l l F C C C CF C 3258458]2)2(22[2222-=⋅-=-=-⋅⋅-=θ 故，2'l w w w C C CF CF CF B ⋅
++=θ 2
3259653233l EI Fl EI Fl EI Fl ⋅--= EI
Fl 192393
= B 点挠度减小的百分数为：
%3964
251926419225319239333
333===-EI
Fl EI Fl EI Fl EI Fl EI Fl [习题6-18] 图示结构中梁AB 和梁CD 的尺寸及材料均相同，已知EI 为常量。

试绘出梁CD 的剪力图和弯矩图。

解：（1）求多余未知力
把刚性杆EF 去掉，代之以约束反力
EF N （↓）和FE N （↑）。

它们是一对作用与反作用力。

FE EF N N =。

AB 梁在E 处的挠度为：
EI
Nl w E 483
= CD 梁在F 处的挠度为：
EI
Nl EI ql w F 4838453
4-= 变形形协调方程：
F E w w =]
EI
Nl EI ql EI Nl 483845483
43-= 48
384548N ql N -= N ql N 858-=
16
5ql N = 由对称性可知，3211165212ql ql ql R R D C =⋅-=
=（↑） （2）作CD 梁的弯矩图
CF 段的弯矩方程：223211)(x q x ql x M -= ]2
,0[l x ∈ 0)0(=M
128
7)4(243211)4(2
2ql l q l ql l M =-⋅= EI
ql ql l q l ql l M 1286643)2(223211)2(2
22==-⋅= 令 03211)(=-=qx ql dx x dM 得：当32
11l x =时，弯矩取最大值。

2048
121)3211(232113211)3211(22max ql l q l ql l M M =-⋅== FD 段的弯矩方程：2)(2)(3211)(x l q x l ql x M ---= ],2
[l l x ∈ 由对称性可知：128
7)4()43(2ql l M l M == 2048
121)3211()3221(2
ql l M l M == CD 梁的弯矩图如下图所示。

（3）作CD 梁的剪力图
32
11ql Q CF = 32
523211ql ql ql Q FC -=-= 32516523211ql ql ql ql Q FD =+-=
CD梁的剪力图-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789101100.20.40.60.81x(L)Q(qL/32) 3211ql Q D -
=
[习题6-19] 在一直线上打入n 个半径为r 的圆桩，桩间距均为l 。

将厚度为δ的平钢板按图示方式插入圆桩之间，钢板的弹性模量为E ，
试求钢板内产生的最大弯曲应力。

解：以AC 为研究对象。

把AC 弯成目
前形状时，在A 、C 必须向上的力；B
桩相当于向下的集中荷载F （↓）。

变
形协调条件为：
r w B 2=
r EI
l F 248)2(3
= 3
312)2(96l EIr l EIr F == 根据对称性，A 桩对钢板的作用力也是F 。

故AC 段的最大弯矩出现在B 处： 23max 1212l EIr l l EIr Fl M =⋅=
= 因为EI M max 1=
ρ 所以22max max
max 61222l
Er l EIr I EI M E y E δδδρσ=⋅=⋅⋅=⋅=
[习题6-20] 直梁ABC 在承受荷载前搁置在支座A 和C 上，梁与支座B 间有一间隙∆。

当加上均布荷载后，梁在中点处与支座B 接触，因而三个支座都产生约束力。

为使这三个约束力相等，试求其∆值。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力
B R （↑）。

则B 的挠度为：
∆=+=B BR Bq B w w w
∆=-EI
l R EI l q B 48)2(384)2(53
4 ∆=-EI
l R EI ql B 62453
4 3346456)245(l
EI ql l EI EI ql R B ∆-=⋅∆-= 33383)6452(21)2(21l
EI ql l EI ql ql R ql R R B C A ∆+=∆+-=-== 令A B R R =
33383645l
EI ql l EI ql ∆+=∆- 3987l
EI ql ∆= EI
ql R B 7274
= （↑） [习题6-21] 梁AB 的的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度θ时，试确定梁的约束反力A M ，A F ，B M ，B F 。

解：把A 支座去掉，代之以约束反力A M 和A F
变形协调方程为：
0=A w
θθ-=A
查附录IV 得：
03232=+-=+=EI
l F EI l M w w w A A AF AM A A A 03
2=+-l F M A A 3
2l F M A A =………………………………(1) θθθθ-=+-=+=EI l F EI l M A A AF AM A A
A 22
θEI l F l M A A 222=- (2)
(1)、(2)联立，解得：
26l
EI F A θ=（↑）；l EI M A θ4=（逆时针方向） 由∑=0Y 得：26l
EI F B θ=（↓） 由0=∑A M 得：0642=⋅-+l l
EI l EI M B θθ l EI M B θ2=
（逆时针方向） [习题6-22] 梁AB 的左端固定而右端铰支，如图所示。

梁的横截面高为h 。

设梁在安装后其顶面温度为1t ，而底面温度为2t ，设12t t >，且沿截面高度h 成线性变化。

梁的弯曲刚度为EI ，材料的线膨胀系数为l α。

试求梁的约束反力。

解：把B 支座去掉，代之以约束反力B R 。

由于温差所产生的挠度：
h l t t w t B 2)(2
12,-=α
由于B R 所产生的挠度：
EI
l R w B R B B 33,-= 变形协调条件：
032)(3
212,,=--=+=EI
l R h l t t w w w B R B t B B B α hl t t EI R B 2)
(3
12-=α （↑）
hl t t EI R R B A 2)
(312--=-=α （↓） 由0=∑A M 得：0=+-l R M B A h
t t EI l R M B A 2)
(312-==α （顺时针方向）。