14.4 平稳随机过程的功率谱密度
平稳过程的谱密度
,
RX
(
)
1
2
2019/5/14
19
RX ( )
GX ()
2 /(a2 2)
2019/5/14
20
引理3.1 傅立叶变换及其逆变换具有下列 性质：
（i）线性性质 当 k1, k2 是常数时，
F k1R1( ) k2R2( ) k1F R1( ) k2F R2( )
，它是 x 的复合函数。对任意一个连续函
数 f x ， x-x0 必定满足
f
x
x-x0 dx
f
x0
2019/5/14
15
下面对这个公式作一个直观解释：设 x0 0
由积分中值定理推得：
f x xdx
2019/5/14
5
赫尔格洛茨证明了如下结果：当相关函数 RX (m) 满
足 RX (m) 时， SX () m
存在（即上述傅立叶级数收敛） ，且相关函数
RX
(m)
1
2
S
X
()eind,
m
0,
1,
2,…….
2019/5/14
6
例3.11 设 Xn , n 0、1、 2，……
从定义
S XY
()
lim
T
1 2T
E{FX
(,T )FY (,T )}
和施瓦茨不等式
|
S XY
() |2
lim
T
1 2T
E[ FX
(,
T
)
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
平稳随机过程的功率谱密度-精品文档
二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值
2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T
S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:
第四章 平稳随机过程的谱分析
1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
第七讲 功率谱密度分解
从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1
的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0
性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五
平稳随机过程的功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(t
)dt
定义为平稳过程
T
X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E
1 2T
T
X
2
(
t
)dt
T
平稳过程的平均功率
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
SX
( )
4
2 4 10 2
9
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)
1 2π
4
2 4 10 2
9
ei d
1
2π
( 2
2 4 9)( 2
eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)
1 2π
2πi(
3i)(
2 4 3i)(
1)(
ei 1)
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.
且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π
Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
2π
2
Fx ( ) d ,
Байду номын сангаас
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
(成都大学)通信原理期末习题与部分答案
1. 调制信道对信号的干扰分为 乘性干扰 和 加性干扰 两种。
2. 根据乘性干扰对信道的影响，可把调制信道分为 恒参信道 和 随参信道 两大类。
3. 随参信道中的多经传播对信号传输的影响有：产生瑞利型衰落、引起频率弥散 、造成频率选择性衰落 。
4. 常见的随机噪声可分为 单频噪声 、 脉冲噪声 和 起伏噪声 三类。
5. 数字基带信号()t S的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即 连续谱 和 离散谱 。
6. 二进制数字调制系统有三种基本信号，分别为 振幅键控 、 频率键控 和 相位键控 。
7. 模拟信号是利用 抽样 、 量化 和 编码 来实现其数字传输的。
8. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 模数转换器 、 数字传输系统 和 数模转换器 。
9.在数字通信中，同步分为 载波同步 、 位同步 、 群同步 和 网同步 。
10. 通信系统按调制方式可分 连续波调制系统 和 脉冲调制系统 ；按信号特征可分为 模拟通信系统 和 数字通信系统 。
11. 若系统功率传输函数为()ωH，则系统输出功率谱密度()()ωξOP 与输入功率谱密度()()ωξIP 关系为()()ωξOP ＝ ()()ωξIP ｜H （W ）｜212. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为 对信号的耗衰随时间而变、传输的时延随时间而变、多径传播 。
13. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种，分别为 模拟幅度调制法 和 键控法 。
14. 衡量通信系统的质量指标主要有 有效性 和 可靠性 ，具体对数字通信系统而言，前者常用 码率 来衡量，后者常用 误码率 来衡量。
15. 在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰 ，二是传输中叠加的 加性噪声 。
16. 根据香农公式，理想解调器的输入信噪比i iN S 和带宽c B 与输出信噪比o o N S 和带宽s B 之间满足c B lb(1+ i i N S ) = s B lb(1+ o o N S ) 。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。
自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。
2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。
例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度随机过程是一种具有随机变量的序列，其性质随时间变化。
功率谱密度是用来描述随机过程频谱特性的一种工具。
本文将介绍随机过程的基本概念，探讨功率谱密度的定义和计算方法，并讨论其在实际应用中的意义。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。
在随机过程中，每个时间点上的变量都是随机的，可以用数学统计的方法进行描述与分析。
随机过程常用于模拟与分析具有随机性的现象，如通信信号、股票价格等。
二、功率谱密度的定义功率谱密度是描述随机过程频谱特性的一种工具，用于表示随机过程在不同频率上的分布情况。
功率谱密度函数通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
三、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度可以使用多种方法，常见的有周期图法、自相关函数法和傅里叶变换法等。
下面分别介绍这些方法的基本原理：1. 周期图法周期图法是一种直观的计算功率谱密度的方法。
它通过对随机过程的重复实现进行频率分析，得到信号的谱图。
周期图法的实现过程包括样本采集、周期图的构建和谱估计等步骤。
2. 自相关函数法自相关函数法是一种基于信号的自相关函数计算功率谱密度的方法。
它通过计算随机过程与其自身在不同时间点上的相关性，得到功率谱密度函数。
自相关函数法的实现过程包括自相关函数的计算和功率谱密度的估计等步骤。
3. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于信号的傅里叶变换计算功率谱密度的方法。
它通过将时域信号转换到频域，得到信号的频谱分布。
傅里叶变换法的实现过程包括信号的傅里叶变换和功率谱密度的计算等步骤。
四、功率谱密度的实际应用功率谱密度在信号处理、通信系统设计、噪声分析等领域都有重要应用。
以下是一些典型的实际应用场景：1. 信号处理功率谱密度可以用于对信号进行频谱分析和滤波器设计。
通过分析信号的功率谱密度，可以了解信号的频率分布情况，并根据需求设计相应的滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
2. 通信系统设计功率谱密度可以用于对通信系统中的噪声进行分析和优化。
随机信号分析教案2014.2
授课题目（教学章节或主题）平稳随机过程
1平稳随机过程的主要数字特征2 平稳随机过程的功率谱密度
授课方式理论课
1.教学目的与要求：1.掌握平稳随机噪声中数字特征的物理意义；
2.掌握自相关函数、方差、平均功率的计算方法；
3.掌握自相关函数、方差、均方值、功率谱密度在通信中的应用；
教学基本内容（包括重点、难点、时间分配）：
重点：
1. 平稳随机过程的主要数字特征
（1）平稳随机过程的概念及其特点
通信信道中的高斯随机噪声属于平稳随机过程（有各态历经性），即平稳高斯噪声。
随机过程（随机噪声）是不同时刻随机变量的组合，或者说随机过程中每一时刻的取值都是随机变量。
如图.。
樊昌信《通信原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机过程)
（1）高斯过程的 n 维分布仅由各随机变量的均值、方差和两两间的协方差函数决定。 （2）高斯过程若是宽平稳的，也是严平稳的。 （3）高斯过程丌同时刻的叏值若互丌相关，则彼此独立。 （4）高斯过程经过线性系统后仍是高斯过程。
2．高斯随机变量 一维正态分布的概率密度函数为：
F1 ( x1 , t1 ) x1
(t) 的 n 维概率分布函数和 n 维概率密度函数分别是：
Fn (x1, x2,..., xn;t1, t2,..., tn ) P{ (t1) x1, (t2) x2,..., (tn) xn}
fn
( x1 ,
x2 , ...,
xn;t1, t2,..., tn )
则称这个随机过程是狭义平稳的(也称严平稳)。由此可见，平稳随机过程的统计特性丌 随时间的推秱而改变，即
（1）一维分布不 t 无关： f1(x1, x2 ) f1(x) ；
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（2）二维分布只不 =t2 t1 有关： f1(x1, x2;t1,t2 ) f1(x1, x2; ) 。
n Fn
(x1, x2,..., xn;t1, t2,..., x1x2,..., xn
tn
)
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2．随机过程的数字特征 （1）均值（数学期望）
E[ (t)] xf1(x,t)dx a(t)
随机过程的数学期望是时间 t 的函数，如图 3-1 所示。表示随机过程在某时刻的摆动中 心（平均值）。
5．平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度（PSD）乊间互为傅立叶变换关系，即维纳辛钦关系：
第七讲 功率谱密度
SX
S0
2n 2m
a2 n2 2n2 L
b 2m2 2m2
L
a b
式中 S0 0 。上式要求有理函数的分
子、分母只出现偶次项的原因是因 SX ( )
为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
以必须满足m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
0 为常数；
RX (t,t ) E{[Acos0t Bsin0t]
[Acos0(t ) Bsin0(t )]}
2 cos0 仅与 有关。
故{X (t)}是平稳过程。
（2）
lim 1 T T
2T
0
(1
2T
)
2
cos( 0
一傅氏变换对。即
SX RX
RX
ei
d
称为维纳-辛钦公式。
1
2
S
X
ei d
特别，当X t为实平稳过程时，上述公式为：
SX
2
0
RX
cos
d
RX
1
独立的随机变量，且
A ~ N (0, 2 ) , B ~ N (0, 2 )
（1）证明{X (t)}是平稳过程；
（2）证明{X (t)}具有均值各态历经性； （3）求 {X (t)}的平均功率； （4）求 {X (t)}的谱密度。
平稳随机过程
S X ( )e
d
证明：
1 2 Q S X ( ) lim E X T ( ) T 2T 1 T T lim E X T (t1 ) X T (t2 )e j (t1 t2 ) dt1dt2 T 2T T T 1 T T j ( t1 t2 ) lim E X ( t ) X ( t ) e dt dt 1 2 T 2T T T T 1 T 2 1 T T j ( t1 t2 ) lim R ( t t ) e dt dt 1 2 T 2T T T X 1 2
随机过程的功率谱密度与确定信号频谱密度 的幅频相对应，不包括任何相位信息。
平稳随机过程的平均功率等于其均方值或功率 谱密度在整个频域上的积分。
1 W E X ( t ) 2
2
S X ( )d
对于各态历经过程，功率谱密度可由一个 样本函数得到
1 2 S X ( ) lim X T ( , e) T 2T
四、互谱密度SXY(ω) 1 、若两个随机信号 X(t) 和 Y(t) 联合平稳时，可 以定义互功率密度,简称互谱密度SXY(ω)。
1 S XY ( ) lim E X ( ) Y ( ) T T T 2T 1 SYX ( ) lim E YT () X T () T 2T
2、 互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换
对:RXY(τ)←→SXY(ω)。其中：
S XY ( ) RXY ( )e
j
d
SYX ( ) RYX ( )e
j
第六讲平稳随机过程的功率谱密度
第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。
设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。
信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。
即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。
6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。
经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。
功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。
可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。
随机过程的功率谱密度
KXY (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][Y (t2 ) mY (t2 )]}
RXY (t1,t2 ) mX (t1)mY (t2 )
两随机过程的相互关系：
f XY ( x1, , xn , y1, , ym , t1 , tn , t1' , , tm' ) X(t)与Y(t)独立；
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
x(t) sin(2f1t) 2sin(2f2t) (t)
平稳随机过程：
GX
(
)
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
0
GX ()
RX
(
)e
j
d
RX ( ) cos d j RX ( ) sin d
2
]2
求相关函数。
二、平稳随机序列的功率谱密度
对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度
GX ()
RX (m)e jm
m
傅里叶 变换对
1
RX (m) 2
GX
(
)e
jm
d
RX
(0)
E[ X
2
(n)]
1 2
GX ()d
Z变换形式： GX (z) RX (m)zm m
互相关系数：rXY ( )
KXY ( ) RXY ( ) mX mY
KX (0)KY (0)
XY
例1、设 X (t) sin(0t ) Y (t) cos(0t )
第三章随机过程的功率谱密度
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
将时间范围扩展至 ，即
设
互功 率谱密度
则
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为
对自相关函数取时间平均
则 的功率谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
谱线；
零带宽上有限
四.随机过程的功率谱密度
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
1 s (t ) 2
S ( )e jt d
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2 其中
互谱密度
定义两个截取函数 xT (t ) , yT (t) 为
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
y (t ) yT (t ) 0
t T 其他
二者满足绝对可积的条件，则
xT (t ) yT (t )
X X (T , ) X Y (T , )
S X ( )e j d
对于广义平稳随机过程
RX (t , t ) RX ( ) A RX (t , t ) A RX ( ) RX ( )
则
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
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e
a
1 2
e i0 e i0 i ( )e d 2
e
i ( 0 )
e
a
d
e a e i ( 0 ) d
这两个积分分别是 e a 的傅立叶变换在 －0 ，
＋0 处的值 ；所以
a2 求自相关函数 RV ( ) cos 1 b 2e 所对 例3 2 应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
π 2 2b2 SV ( ) a [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2. 2
相应的谱密度如图所示: 此图说明了谱密度 是如何表明噪声以 外的周期信号的.
第四节
平稳随机过程的功率谱密度
一、平稳过程的功率谱密度
二、谱密度的性质 三、互谱密度及其性质 四、小结
一、平稳过程的功率谱密度
1. 平均功率和能量谱密度
狄利克雷资料
设有时间函数 x( t ), t ,
假如 x( t ) 满足狄利克雷 ( Dirichlet ) 条件, 且
绝对可积, 即
( t ) 0, t 0, ( t )dt 1,
通常用单位有向线段来表示.
函数的基本性质是： 对任一在 ＝ 的连续函数 f ( ) , 有 0
( ) f ( )d f (0)
若函数 f ( ) 在 ＝ 0 连续 , 就有
公式还可以写成如下的形式:
S X ( ) 2 RX ( ) cos d ,
1 RX ( ) S X ( ) cos d . π
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函 数的谱表示式. 它揭示了从时间角度描述平稳过程
X ( t ) 的统计规律和从频率角度描述 X ( t ) 的统计
S XY ( ) S X ( ) SY ( ).
2
注意
(1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z ( t ) X ( t ) Y ( t ),
其中 X ( t ) 和 Y ( t ) 是平稳相关的 .
Z (t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
1 T 2 平稳过程的平均功率 lim E X ( t )dt T 2T T 该过程的 1 T 2 2 lim E[ X ( t )]dt Ψ x 均方值 T 2T T
即平稳过程的平均功率等于该过程的均方值或RX (0).
2 X
1 1 2 Tlim 2T { E FX ( ,T ) }d . 2π
频带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理.
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X ( t ) 和 Y ( t ) 是两个平稳相关的随机过程 . 1 S XY ( ) lim E { FX ( , T )FY ( , T )} 称 T 2T
x( t ) 在( , )上的平均功率 称为 x(t) 的平均功率谱密度
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
1 T 2 将 lim E X ( t )dt 定义为平稳过程 T 2T T
X (t ) 的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注
意到平稳过程的均方值是常数 Ψ 2 ， 于是
( 0 ) f ( )d f ( 0 )
据此可以写出以下傅立叶变换对：
( )e i d 1
1 1 e i d ( ) 2 π
1 1 e i d ( ) 2π 1 1 i ( )e d 2π 2π
求平稳过程 X ( t ) 的自相关函数和均方值 .
解 由公式知自相关函数
1 2 4 RX ( ) ei d 2π 4 10 2 9
1 2 4 ei d . 2 2π ( 9)( 2 1)
利用留数定理, 可算得
上式表明： 当自相关函数 RX ( ) 1 时，
谱密度 S X ( ) 2π ( )
正弦型自相关函数 R( ) a cos 0 的谱密度为
S X ( ) aπ[ ( 0 ) ( 0 )]
由此可见，自相关函数为常数或正弦型函数的平 稳过程， 其谱密度都是离散的.
为平稳过程 X ( t ) 和 Y ( t ) 的互谱密度 .
说明：
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数 .
互谱密度的性质：
1. S XY ( ) S ( )和SYX ( )
* YX
2.在互相关函数 RXY ( ) 绝对可积的条件下 ,
有如下维纳-辛钦公式
S XY ( ) RXY ( ) ei d ,
平稳过程的相关性. 例如:
对具有零平均值的平稳过程 X ( t ) 和 Y ( t ) ，
S XY ( ) 0 与 X ( t ) 和 Y ( t ) 不相关是等价的 .
规律之间的联系. 在应用上我们可以根据实际情形选择时间域 方法或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1 已知平稳过程 X (t ) 的自相关函数为
RX ( ) e
a
cos 0 ,
求 X ( t ) 的谱密度 S ( ) .
解
S X ( ) e
a
cos 0 e i d
在 x(t ) 和 Fx ( ) 之间成立有帕塞瓦尔 (Parseval) 2 1 2 等式: x ( t )dt Fx ( ) d , 2π
帕塞瓦尔资料
x( t ) 在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式. 1 T 2 平均功率 lim T x (t )dt 称为 x(t ) 在 (, ) T 2T
根据维纳-辛钦公式, Z (t ) 的自谱密度为
S ZZ ( ) S XX ( ) S XY ( ) SYX ( ) SYY ( )
S XX ( ) SYY ( ) 2 Re[ S XY ( )].
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,
引入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个
变换或逆变换不存在, 此时如果允许谱密度和自相
关函数含有 函数 ，有关实际问题仍能得到圆满
解决. 在这种情况下, 自相关函数为常数或正弦型函 数的平稳过程, 其谱密度都是离散的.
上面所说的 函数是单位冲激函数 (t ) 的简称 ,
它是一种广义函数 .
狄拉克 (Dirac) 最早给出了 ( t ) 的如下定义：
1 RXY ( ) S XY ( ) ei d . 2 π
3. Re[ S XY ( )] 和 Re[ SYX ( )] 是 的偶函数 ,
Im[ S XY ( )] 和 Im[ SYX ( )] 是 的奇函数 .
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
T
T
它的帕塞瓦尔等式
1 2 x (t )dt 2π Fx ( ,T ) d .
2 T
变形得
1 T 2 1 2 T x (t )dt 2π Fx ( ,T ) d . 2T
1 T 2 1 1 2 lim T x (t )dt 2π Tlim 2T Fx ( ,T ) d . T 2T
i
d ,
维纳资料
1 RX ( ) S X ( ) ei d . 辛钦资料 2π 它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khinchin)公式.
说明: 1.平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2. S X ( )和R( ) 都是偶函数 ， 所以维纳-辛钦
2 X
2 n a2 n 2 2 n 2 a0 说明 S X ( ) S0 2 m , 2m2 b2 m 2 b0
其中 ( S0 0), m n, 分母无实根 . 有理谱密度
在实际问题中常常碰到这样一些平稳过程, 它 们的自相关函数或谱密度在常义情形下的傅立叶
1 2a 2a S X ( ) 2 2 2 2 a ( 0 ) a ( 0 )2 1 1 a 2 2 2 2 . a ( 0 ) a ( 0 )
2 4 例2 已知谱密度 S X ( ) 4 , 2 10 9
1 2 4 RX ( ) 2πi ei 2π ( 3i )( 3i )( i )( i )
1 (9e 5e 3 ), 48
i, 3i 处的留数之和 在
均方值为
7 . RX (0) 24
S0 ( ).
说明 (1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程 .此过程在 t1 t2 时 , X ( t1 ) 和
X ( t2 ) 是不相关的 .
(2)白噪声是一种理想化的数学模型. 它的平均功 率是无限的. 白噪声在数学处理上具有简单、方便 优点. 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用
2 X
称为平稳过程 X (t ) 的平均功率的谱表示式.
物理意义:
表示 X ( t ) 的平均功率关于频率的分布 .
二、谱密度的性质
性质1 S X ( )是的实的、非负的偶函数 .
性质2 S X ( )和自相关函数 R( ) 是一傅立叶变
换对 .
即 S X ( )