半导体激光器速率方程

第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型

2.1 光反馈半导体激光器

光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程

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，并分析了振荡条件。为

方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。

表2-1 激光器参量的意义

符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---

波长

nm

表2-2 参量之间的关系

Table 2-2 Relationships of parameters

2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图

图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外

部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。E +、E

-

分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。

激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。激光在腔内环行一次的增

益为

int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)

将其变为指数形式，上式可变为

int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)

其中/k n c ω=为波数。实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开

()()g th th th th th n n n n

N N c c c N c

ωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th n

n n ω

ω

∂=+∂为介质的群折射率。将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：

频率无关项

1int exp[()]exp((2/)

())m th th n

G Γg L i L c N N N

ααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项

22exp[()]g th th th n L

n L G i

i c c

ωωωω=--- (2-5) 由于

2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式d

i dt

ω=，G ω可改写为算子

exp()exp()th L L

d

G i dt

ωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()e t 可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即

()()exp()th e t E t i t ω= (2-7)

其中

th d dt

Φ

ωω=-。 考虑z L =处的前向行波的时变复电场()e t ，对于环形增益r G 应满足

1()[()()]ext L L L e t G G e t e t ωτττ++-

+=+++ (2-8)

实际上，算子exp()L

d

dt

τ-是将被作用的函数时延L τ，因此结合(2-6)、(2-7)和(2-8)式，可得复电场的差分方程

11()[()/[()()]L ext E t G E t G E t E t τ+-+-

+==+ (2-9)

其中，()ext E t -

为进入谐振腔的反馈电场复振幅。由于光子在谐振腔内环行一次的时间很短(约7ps),慢变化振幅()E t 在一次环行内的变化很小，所以差分方程(2-9)可以近似为一阶微分方程

11()11(1)()()ext L L

dE t G E t G E t dt ττ++-

=-+ (2-10) 上式表明，激光腔内端面2R ,即z L =处的负向电场复振幅()E t -

是正向电场复振幅的反射部分与反馈电场复振幅的总和。考虑反射镜的无限次反射，以及谐振腔外端面反射的半波损失，即z L =

处的外端面的反射率为

121

()(1(()exp()n ext

th E t R E t n i n τωτ∞

--+==--- (2-11)

对于弱光反馈情况，即外部反射镜的反射率相对于激光器端面反射率较小时，可以只考虑单次反射，此时τ即可称为反馈延迟时间。忽略(2-11)中的高次项即可得到弱反馈电场复振幅，代入(2-10)，同时考虑激光振荡时1

1G , 11(1)ln G G -，并结合0()

N g g N N =-以及光子寿命与损耗的关系1

int ()P g m v ταα-=+，即可得到光反馈半导体激光器的电场速率方程，即Lang-Kobayashi 方程：

011(1)[()]()exp()2N th P L

dE i ΓG N N E E t i dt κ

ατωτττ=+--+-- (2-12)

其中，2(1R κ=-幅度之比，/L κτ称为反馈速率，单位是1

s -，N g N G v g =为微分增益。

/2

/n N

c Γg N

ωα∂∂=-∂∂ (2-13)

是半导体激光器的线宽增强因子，其典型值在37之间。折射率和增益分别关联着激光相

位和强度，α即表示载流子变化导致的激光相位变化和强度变化的耦合，其表现为线宽极