运筹学匈牙利法优秀课件
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运用匈牙利法算法PPT课件
其结果如矩阵七所示：
0√ 0X 4 7 2 2 13 0 √ 0 X 4 0X 4 6 0 X 0 X 4 0√ 3 2 21/4/8
12
8.即员工甲负责任务A，员工乙负责任务D， 员工丙负责任务B，员工丁负责任务C，员 工戊负责任务E，参照表4－10各员工完成 任务时间汇总表得出下表所示的员工配置
员工最终配置结果表
2021/4/8
13
谢谢观看
2021/4/8
14
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/8
15
➢匈牙利法的运算牵涉到线性代数中的矩阵 运算，具体的理论基础较为复杂！这里我 们只需要知道它的运算方法即可
2021/4/8
3
匈牙利法运用于员工指派时应具备的约 束条件
➢指派问题是一种特殊的整数规划问题具体 一点就是：有M个员工去做N件任务，但每 个人的效率不一，而且一个人只能安排一 件任务，问怎样安排工作才能使效率最大 化
✓ 求最优解时，要先找只含一个“0”的行（或列）， 将该行（或列）中的“0”打“√”；将带“√”的“0”所在 列（或行）中的“0”打“X”。
2021/4/8
5
匈牙利法的具体计算方法
➢假定甲单位有甲、乙、丙、丁、戊五个员 工，需要在一定的生产技术组织条件下， 完成A、B、C、D、E五项任务，每个员工完 成每项工作所需要耗费的工作时间，如表410所示。
矩阵三
4 0 4 11 3 6 13 0 4 5 00 20 0 80 36 3 4 0 8 11 1
矩阵四
4.画盖“0”线。即画最少的线将矩阵三中的
20201/4全/8 部覆盖住，得矩阵四
9
5.数据转换。若盖“0”线的数目等于矩阵的维
匈牙利法效率矩阵完美版PPT
员工
甲
乙
丙
丁
戊
第三节 人力资源的有效配置（3级）
A 第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——约减
3
0
4
10
2
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 最小值ƛ
B 第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
5
13
0
3
4
第三节 人力资源的有效配置（3级）
第三节 人力资源的有效配置（3级）
0
0
4
任 务
C
0
4
6
0
3
D
4
0
3
2
2
E
0
0
8
7
0
16
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
员工
甲
乙
丙
丁
戊
A
0
0
4
7
2
B
2
13
0
0
4
任 务
C
0
4
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3
D
4
0
3
2
2
E
0
0
8
7
0
17
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 求解
员工
甲
乙
丙
第三节 人力资源的有效配置（3级）
匈牙利法：效率矩阵——“盖0”线 最小值ƛ
员工
甲
乙
丙
丁
戊
A
0
0
4
7
《管理运筹学》分配问题与匈牙利算法PPT文档27页
4 5 9 0
0
1
5
4
2 0 9 3
3
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6
0
4 5 4 0
0
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0
4
2 0 4 3
3
7
1
0
第二步，试指派：
－5
4 5 4 ◎
◎ 1
Ø
4
2 ◎ 4 3
3
7
1
Ø
找到 3 个独立零元素 但m=3<n=4
19.07.2021
第 12页
第4章 整数规划与分配问题
运筹学
第三步，作最少的直线覆盖所有0元素：
0 13 7 0
6
0
6
9
0 5 3 2
0
1
0
0
19.07.2021
第 8页
第4章 整数规划与分配问题
第二步，试分配：
0Ø 13
6
0◎
0◎ 5
0Ø
1
7 ◎0
6
9
3 2
0◎ Ø0
运筹学
0 0 0 1
0
1
0
0
1 0 0 0
0
0
1
0
19.07.2021
第 9页
第4章 整数规划与分配问题
2
6
0
0
0 0 0 1
1
0
0
0
0 1 0 0
0
0
1
0
第 14页
第4章 整数规划与分配问题
任务 人员
甲 乙 丙 丁
英语 6 4 3 5
日语 7 5 1 9
德语 11 9 10 8
此分配问题的最优时间：2+4+1+8=15
运筹学匈牙利法PPT课件
（1）人数与工作数不等的处理 当人数>工作数时：假想工作数，使得
与人数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
当工作数>人数时：假想人数，使得与 工作数能够匹配, 对应的效率设定为0值。
人数和工作数不等的指派问题
4 8 7 15
12 9 2 14
6 9 12 8
11 7 17 6
6 9 12 10
运筹学匈牙利法
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值
(1) (2) (3) (4)
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
max Z 2x2 3x1 5x3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
译日文：
44
min f
cij xij译德文：
i 1 j 1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1
2019运筹学3.ppt
分配问题与匈牙利法
答案：
7 13 15 11
9 12 16 12
10 16 14 15
12 17 15 16
48
3 8 8 7 6 4 8 4 9 10
2 10 3 2 9 7 2 7 5 2 3 5 6 9 10 21
分配问题与匈牙利法
即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A, 任务C放弃。 最少时间为105。
Chapter5 目标规划
( Goal programming )
本章主要内容：
目标规划问题及其数学模型
目标规划的图解分析法 目标规划应用举例
•问题的提出： • 目标规划是在线性规划的基础上，为适应 经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐 步发展起来的一个分支。 • 由于现代化企业内专业分工越来越细，组 织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门 围绕一个整体的目标工作，产生了目标管理 这种先进的管理技术。目标规划是实行目标 管理的有效工具，它根据企业制定的经营目 标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有 资源情况，分析如何达到规定目标或从总体
例4.10 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项 任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人 数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项完成。试确定最 优分配方案，使完成任务的总时间最少。
任务 人员 甲 乙 丙
A 25 39 34
B 29 38 27
C 31 26 28
独立0元素的个数l＝4<5，故画直线调整矩阵。
分配问题与匈牙利法
2 2 4 4 ◎ 0
◎
0 5 1 Ø 0
4 ◎ 0 3 1 Ø 5 2 3 0 4 Ø 0 ◎ 0 3 2 3 1 5
运筹学 指派问题课件 PPT
产品1 产品2 产品3 产品4
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
返回总目录
例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
返回总目录
第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
5280
返回总目录
数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
效率表
工厂1 工厂2
58 75
69 50
180 150
260 230
工厂3 工厂4
65 82
70 55
170 200
250 280
2
返回总目录
例1 某公司拟将四种新产品配置到四个工厂生产，四 个工厂的单位产品成本（元/件）如下表所示。求最 优生产配置方案使得单位产品成本总和为最小。
15
返回总目录
第三步：用最少的直线覆盖所有0：
0 0 11 22 22 25 25 0 0 0 0 0 5 5 5 27 27 0 45 45 6 17 17 0 30 0 0 0 0 0 0 0 0 45 45 32 6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
回到第三步，用最少的直线覆盖所有0。 此时最少直线数=4，表明矩阵中存在4个不同行不 同列的零元素，于是得到最优解。 第五步：找出4个独立的0元：
( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 ( 0) 0 0 0 ( 0 ) (0 ) 45 45 ( 0 ) 30 0 32 6 17 17 0 0 ( 0 ) 0 ( 0) 0 (0 ) 45 45
x14 x24 x34 x44
工厂2 x21 工厂3 x31 工厂4 x41
1 1 1 1
1
1
1
1
产品1 产品2 产品3 产品4
工厂1 工厂2 工厂3 工厂4 58 75 65 82 69 50 70 55 180 150 170 200 260 230 250
5280
返回总目录
数学模型 匈牙利算法 其他变异的指派问题
运筹学04-整数规划-匈牙利解法
13 8 7 2 2 1 7 0 12 0 0 4 2
6
11
0
4 2
11 8 9 0 1 3 2
1 8 4
0 1 1 0 8 0 0 4
第四章 整数规划
例：有甲、乙、丙、丁四个熟练工人，他们都是多面手， 有4个任务要他们完成，若规定每人只分配一次任务， 而每项任务只能由一个人完成，每人未完成每项任务的 工时耗费如表所示，问如何分配使完成任务的总工时耗 费最少？
表 零件机床 甲 乙 丙 丁 零件 A 4 9 8 6 1 任务分配工时耗费表 B 1 8 4 5 1 C 8 4 6 7 1 D 2 7 3 2 1 机床 1 1 1 1
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
0 2 1 0//
// 0
7
4
0
4
0 2
2
2 4 // 0 0
第四章 整数规划
D、目标函数为最大的任务分配问题
如果目标函数为MAX型，则不属于标准的任务分配模型，不 能直接运用匈牙利解法求解，这就需要先对max模型进行变换， 然后再求解。 例：有甲、乙、丙、丁4人分别操作4台机器，每个工人操作不 同机器时的产值如表，求对4个工人分配不同机器时总产 值最大的方案。
分配问题与匈牙利法
C (95 c ij )
解: M＝95，令
10 0 C ＝ 13 9
0 1 X＝ 0 0
3 8 12 5
22 17 16 15
5 0 5 7
0 0 1 0
《运筹学匈牙利法》课件
总结
匈牙利算法的优缺点和适 用范围
匈牙利算法具有较高的精度和效 率，但受数据结构限制，应用对 象有一定局限性。
匈牙利算法的进一步研究 方向
运筹学在日常生活中的重 要性和应用前景
未来可继续深入探究匈牙利算法 和其他优化算法在实际问题中的 应用，完善算法理论和算法应用。
随着科技的不断发展，运筹学在 日常生活中的应用前景越来越广 泛，对提高效率和优化资源分配 具有重要意义。
的权值之和达到最大。
解决方案
匈牙利算法
匈牙利算法是解决二分图匹 配问题最经典的算法之一， 在求解最大权匹配和最小路 径覆盖问题方面都有广泛应 用。
拓展匈牙利算法
拓展匈牙利算法是一种扩展 了匈牙利算法的新算法，可 以有效解决复杂数据结构中 的匹配问题。
Байду номын сангаас
应用案例分析
将匈牙利算法应用于实际问 题的案例分析，深入了解如 何应用该算法求解实际问题， 加深理解和应用。
匈牙利法的目的和意义
匈牙利法可以帮助我们有效解决 二分图匹配问题，例如任务分配、 稳定婚姻问题等。
问题解析
1
最小路径覆盖问题
指在一个有向无环图（DAG）里选出尽
最大权匹配问题
2
可能少的路径，这些路径覆盖了DAG图 上的每个点恰好一次。
是一类用二分图描述的优化问题，给定
一个二分图，找到一个匹配使得匹配边
《运筹学匈牙利法》PPT 课件
运筹学匈牙利法是一种优化算法，用于解决二分图匹配问题。本课件将介绍 匈牙利法的背景、意义、解析以及应用案例分析。
背景介绍
运筹学在实际生活中的应用 匈牙利法的提出背景
运筹学的方法广泛应用于物流、 交通、能源、金融等领域，帮助 优化资源分配，提高效率。
分配问题(指派问题)与匈牙利法(课堂PPT)
1
0
0
0
0
整体解题思路总结
34
整体解题思路总结
例题：
单位：小时
人1 人2 人3 人4 人5
工作1 4
8
7 15 12
工作2 7
9 17 14 10
工作3 6
9 12 8
7
工作4 6
7 14 6 10
工作5 6
9 12 10 6
35
例题：
整体解题思路总结
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
0
2
3
4
0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0
0
0
0
1
27
分配方案A=7+9+6+6+6=34
⑩再次寻找独立零元素
逐列检验
4 8 7 15 12
7 9 17 14 10
6
9
12
8
7
6 7 14 6 10
6
9
12
10
6
0 3 0 11 8
（1）逐行检验
对只有一个未标记的零元素的行，用记号O将该零元素圈起，然后 将被圈起的零元素所在列的其他未标记的零元素用记号/划去。
重复行检验，直到每一行都没有未被标记的零元素或至少有两个未 被标记的零元素为止。
表示此事已不能由 其他人来做
（此人已不能做其他事）
0 13 7 0
6
0
6
9
表示此人只能做该事
0
4
1
4
3
匈牙利算法 ppt课件
第1页
指派问题（分配问题） (Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
第2页
任务 E
J
98004 06365
第25页
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第26页
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第27页
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
第13页
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
第4页
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)
指派问题（分配问题） (Assignment Problem)
例5 有一份中文说明书，需翻译 成英、日、德、俄四种文字，分 别记作E、J、G、R，现有甲、 乙、丙、丁四人，他们将中文说 明书翻译成英、日、德、俄四种 文字所需时间如下，问应该如何 分配工作，使所需总时间最少？
第2页
任务 E
J
98004 06365
第25页
然后划去所在的列的其他0元素， 记作Ø。
50202 23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第26页
➢从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
52 0 2
23000
10 5 7 2
98004
Ø 6365
第27页
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
➢给只有一个0元素的列（或行）的0 元素加圈，记，然后划去所在的 行（或列）的其他0元素，记作Ø。
➢反复进行上述两步，直到所有的0 元素都被圈出和划掉为止。
第13页
➢若还有没有划圈的0元素，且同行 （或列）的0元素至少有二个，从剩有 0元素最少的行（或列）开始，比较这 行各0元素所在列中0元素的数目，选 择0元素少的那列的0元素加圈，然后 划掉同行同列的其他0元素，可反复进 行，直到所有的0元素都被圈出和划掉 为止。
第4页
引入0-1变量xij=1分配第i人去完 成第j 项任务，xij=0不分配第i人去完
成第j 项任务。
分配问题的数学模型：
Min Z= cijxij
s.t. xij =1 (j=1,2……n) xij =1 (i=1,2……n)
xij 0或1
(i=1,2…..n; j=1,2……n)
第一课图论课件匈牙利算法与最优匹配算法
x5
y1 y2 y3
y4
y5
G=(X, Y)
解：取初始匹配 M=｛x1y2, x2y3｝。 x1 x2 x3 x4 x5 (a) S=｛x3｝,T=Φ;
y1 y2 y3
y4
y5
G=(X, Y)
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(b ) N(S)= ｛y2, y3｝,N(S)≠T, 取y2 ∈N(S)-T
(4) 若y是M饱和的，设yz ∈ M,置S=S∪｛z｝, T=T∪ ｛y｝,转(3);否则，存在(u, y)交错路是M可扩路P,置 M=MΔE(P),转(1).
(5) 若X-S=Φ,停止；否则转(2).
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、最优匹配算法
(c) y3为M饱和点，x2y3 ∈ M。此时，置S=S∪｛x2｝
T=T∪｛y3｝。
(b ) N(S)= ｛y2, y3｝ =T，所以，G无完美匹配。
(5) 、匈牙利算法复杂性分析
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
1) 、最多循环|X|次可以找到完美匹配； 2) 、初始匹配最多扩张|X|次可以找到完美匹配； 3) 、每次生长树的生长至多2|X|-1次。 所以，算法复杂性为O(|X|3),是好算法。
2、偶图中寻找最大匹配
问题：在一般偶图上求最大匹配M.
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(1) (2) (3) (4)
√√√ √ 0 √√√ √ 5 √ √ √ √ -2 √√√ √ 3 √×√ √ √√√ √ 8 ××√ √ √×√ √
max Z 3 x1 2 x 2 5 x 3
x1 2 x 2 x3 2 (1)
x x
1 1
4 x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
译俄文 4 15 13 9 xij =0或1 (i=1,2,3,4; j=1,2,3,4)
4、指派问题的匈牙利解法
第1步：变换指派问题的系数矩阵（cij），使各行
各列中都出现0元素
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；
(2)再从所得新系数矩阵无零元素的列中减去该列的最小元素。
2 15 13 4 2
译日文：
44
min f
ci jxi j译德文：
i1 j1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
0 13
6
0
0 5
0
1
7 0
6
9
3 2
0
0
0 0 0 1
x ij
0
1
1 0
0 0
0
0
0 0 1 0
2 15 13 4
10
4
14
15
9 14 16 13
7
8 11
9
例2 有甲、乙、丙、丁四个工人，要分别派他们
完成四乡不同的任务，分别记作A、B、C、D。他们完成各
项任务所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时 间最少？
0 13
6
0
0 5
0
1
（1）从有唯一的零元素的行或列开
7 0 始确定独立零元素，并用 0 表示，
6
9
并划掉其所在行或列的其他零。直 到尽可能多的零元素都被圈出和划
3 2 掉为止。
0
0
（2）若独立零元素的数目m等于矩 阵的阶数n，那么这指派问题的最优
解已得到。若m < n, 则转入下一步。
设n 个人被分配去做n 件工作，每人只能完成一项任务，
每项任务只能由一人完成。已知第i 个人去做第j 件工作的的
效率为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应如何分配
才能使总效率（ 时间或费用）最高？
n
n
min Z
c ij x ij
1分配i第 个人取完j成 项第 任务
xij
满足约束条件（是∨ 否×） (1) (2) (3) (4)
过滤 条件
√√√ √ 0
√√√ √ 5
-2
3
3
√√√ √ 8
1
6
max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3
x 1 2 x 2 x 3 2 (1)
x1 x1
4
x2 x2
x3
Hale Waihona Puke 4 3(2) (3)
4 x 2 x 3 6 (4)
n
0不分配i个 第人取完j成 项第 任务
x ij
j1
i1 j1
1 ( i 1 .2 . .n )
n
x ij 1 ( j 1 . 2 . . n )
i1
x ij 0 或 1( i , j 1 . 2 . . n )
典型问题
例1：有一份说明书，要分别译成英、日、 德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个 人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译 不同文字所需要的时间（小时）如表所示。 规定每项工作只能交与其中的一个人完成， 每个人只能完成其中的一项工作。
工作 人 甲 乙 丙 丁
译英文 译日文 译德文 译俄文
2 10 15 4 13 14 4 15
97 14 8 16 11 13 9
问：如何分配，能使所需的总时间最少？
设 xij=
1 若第i项工作交与第j个人完成 0 若第i项工作不交与第j个人完成
建立模型
译英文： x11+ x12 + x13 + x14 =1
10
4
14
15
4
9 14 16 13 9
7
8 11
9
7
0 13 11 2
6
0
10
11
0 5 7 4
0
1
4
2
42
第2步：进行试指派，即确定独立零元素
在变化后的效率矩阵中找尽可能多的独立0元素，若
能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解 矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。
x
1
,
x
4 2,
x2 x3
x3 0或
6 1
(4)
二、0－1 整数规划——隐枚举法
首先，找到一个可行解，并计算其目标函数值；然后，以其目标值作为 一个过滤条件，优于其值的再判断约束条件，直到找到最优解。
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
2、指派问题的假设 ▪被指派者的数量和任务的数量是相同的 ▪每一个被指派者只完成一项任务
▪每一项任务只能由一个被指派者来完成
▪每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本 ▪目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小
3、指派问题模型 （The Model for Assignment Problem）
x 1 , x 2 , x 3 0 或 1
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
mZ a 2 x x 2 3 x 1 5 x 3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
运筹学匈牙利法优秀课件
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值
√√√ √ 0 √√√ √ 5 √ √ √ √ -2 √√√ √ 3 √×√ √ √√√ √ 8 ××√ √ √×√ √
max Z 3 x1 2 x 2 5 x 3
x1 2 x 2 x3 2 (1)
x x
1 1
4 x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
译俄文 4 15 13 9 xij =0或1 (i=1,2,3,4; j=1,2,3,4)
4、指派问题的匈牙利解法
第1步：变换指派问题的系数矩阵（cij），使各行
各列中都出现0元素
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；
(2)再从所得新系数矩阵无零元素的列中减去该列的最小元素。
2 15 13 4 2
译日文：
44
min f
ci jxi j译德文：
i1 j1
译俄文：
工作 人 甲 乙 丙 丁 甲：
乙：
译英文 2 10 9
7 丙：
译日文 15 4 译德文 13 14
14 8 丁：
16 11
x21+ x22 + x23 + x24 =1 x31+ x32 + x33 + x34 =1 x41+ x42 + x43 + x44 =1 x11+ x21 + x31 + x41 =1 x12+ x22 + x32 + x42 =1 x13+ x23 + x33 + x43 =1 x14+ x24 + x34 + x44 =1
任务
人员
A
B
C
D
甲
6
7
11
2
乙
4
5
9
8
丙
3
1
10
4
丁
5
9
8
2
0 13
6
0
0 5
0
1
7 0
6
9
3 2
0
0
0 0 0 1
x ij
0
1
1 0
0 0
0
0
0 0 1 0
2 15 13 4
10
4
14
15
9 14 16 13
7
8 11
9
例2 有甲、乙、丙、丁四个工人，要分别派他们
完成四乡不同的任务，分别记作A、B、C、D。他们完成各
项任务所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时 间最少？
0 13
6
0
0 5
0
1
（1）从有唯一的零元素的行或列开
7 0 始确定独立零元素，并用 0 表示，
6
9
并划掉其所在行或列的其他零。直 到尽可能多的零元素都被圈出和划
3 2 掉为止。
0
0
（2）若独立零元素的数目m等于矩 阵的阶数n，那么这指派问题的最优
解已得到。若m < n, 则转入下一步。
设n 个人被分配去做n 件工作，每人只能完成一项任务，
每项任务只能由一人完成。已知第i 个人去做第j 件工作的的
效率为Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假设Cij ≥0。问应如何分配
才能使总效率（ 时间或费用）最高？
n
n
min Z
c ij x ij
1分配i第 个人取完j成 项第 任务
xij
满足约束条件（是∨ 否×） (1) (2) (3) (4)
过滤 条件
√√√ √ 0
√√√ √ 5
-2
3
3
√√√ √ 8
1
6
max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3
x 1 2 x 2 x 3 2 (1)
x1 x1
4
x2 x2
x3
Hale Waihona Puke 4 3(2) (3)
4 x 2 x 3 6 (4)
n
0不分配i个 第人取完j成 项第 任务
x ij
j1
i1 j1
1 ( i 1 .2 . .n )
n
x ij 1 ( j 1 . 2 . . n )
i1
x ij 0 或 1( i , j 1 . 2 . . n )
典型问题
例1：有一份说明书，要分别译成英、日、 德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个 人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译 不同文字所需要的时间（小时）如表所示。 规定每项工作只能交与其中的一个人完成， 每个人只能完成其中的一项工作。
工作 人 甲 乙 丙 丁
译英文 译日文 译德文 译俄文
2 10 15 4 13 14 4 15
97 14 8 16 11 13 9
问：如何分配，能使所需的总时间最少？
设 xij=
1 若第i项工作交与第j个人完成 0 若第i项工作不交与第j个人完成
建立模型
译英文： x11+ x12 + x13 + x14 =1
10
4
14
15
4
9 14 16 13 9
7
8 11
9
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0 13 11 2
6
0
10
11
0 5 7 4
0
1
4
2
42
第2步：进行试指派，即确定独立零元素
在变化后的效率矩阵中找尽可能多的独立0元素，若
能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解 矩阵(xij)中的元素为1，其余为0，这就得到最优解。
x
1
,
x
4 2,
x2 x3
x3 0或
6 1
(4)
二、0－1 整数规划——隐枚举法
首先，找到一个可行解，并计算其目标函数值；然后，以其目标值作为 一个过滤条件，优于其值的再判断约束条件，直到找到最优解。
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
2、指派问题的假设 ▪被指派者的数量和任务的数量是相同的 ▪每一个被指派者只完成一项任务
▪每一项任务只能由一个被指派者来完成
▪每个被指派者和每项任务的组合有一个相关成本 ▪目标是要确定怎样进行指派才能使得总成本最小
3、指派问题模型 （The Model for Assignment Problem）
x 1 , x 2 , x 3 0 或 1
思考：如果将目标 函数变为下式会改 进吗？
mZ a 2 x x 2 3 x 1 5 x 3
三、指派问题的匈牙利法
指派问题（The Assignment Problem）
1、指派问题的形式表述
给定了一系列所要完成的任务（tasks）以及一系列完成 任务的被指派者（assignees），所需要解决的问题就是 要确定出哪一个人被指派进行哪一项任务
运筹学匈牙利法优秀课件
一、0－1 整数规划——枚举法
x1 . x2. x3
( 0. 0. 0 ) ( 0. 0. 1 ) ( 0. 1. 0 ) ( 1. 0. 0 ) ( 0. 1. 1 ) ( 1. 0. 1 ) ( 1. 1. 0 ) ( 1. 1. 1 )
满足约束条件（是∨ 否×） Z 值