概率论和统计中常用的收敛极限小结

概率论和统计中的收敛总结
概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：
以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。

强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。

以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。

它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。

概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。

依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。

特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X，由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x 都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。

分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，
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分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。

中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。

大样本统计中也要讨论各种统计量依分布收敛的问题。

分布淡收敛设{F n(x)，n≥1}为分布函数列，而F(x)为一非降右连续函数（不一定是
分布函数），若对F(x)的每一个连续点x都有，则称F n淡收敛于F。

上述各种收敛之间有如下蕴含关系（A=>B表示由A可推出B）,若r′≥r≥1,则有:。

此外，依概率收敛于常数与依分布收敛于常数是等价的。

当是独立随机变量序列{Y j,j≥1}的部分和时，X n依分布收敛、依概率收敛和以概率1收敛三者是等价的。

随着概率论的发展，上述收敛概念还推广到取值于一般可测空间（见测度论）的随机元（见随机过程）序列的各种收敛性。

例如随机过程序列的分布弱收敛（见随机过程的极限定理），巴拿赫空间随机元序列的收敛等。