人工智能第四章(1)

无论论域是有限的还是无限的，连续的 还是离散的，扎德都用如下记号作为模 糊子集的一般表示形式：
这里的积分号不是数学中的积分，也不 是求和，只是表示论域中各元素与其隶 属度对应关系的总括，是一个记号。
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1
µ B (u) ≤ µ A(u )
µ B (u ) = µ A(u )
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例：设U={ u1,u2,u3 } A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3
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2 普通集合上的“关系”
例3、设U={ 红桃， 红桃，方块， 方块，黑桃， 黑桃，梅花 } V={ A，2，3，4，5，6，7，8，9，10， J, Q, K } 求 U× V 解： U×V ＝ { ( 红桃 ， A) ， （ 红 桃 , 2 ） ， …… ， （梅花, K） }，共52个元素。 个元素。
例:设有模糊集： 设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/ u5 且λ分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的 λ截集、 截集、核及支集。 核及支集。
A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5
解： （1）λ截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
模糊推理
含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。它 的一般表示形式为： x is A 或者 x is A (CF) 其中，A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集 及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所 论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既 可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模 糊语言值。
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模糊匹配与冲突消解
在模糊推理中，知识的前提条件中的A与证据中的A’不一定 完全相同，因此首先必须考虑匹配问题。例如： IF x is 小 THEN y is 大 (0.6) x is 较小 两个模糊集或模糊概念的相似程度称为匹配度。常用的计 算匹配度 匹配度的方法主要有贴近度 贴近度、 匹配度 贴近度、语义距离及 语义距离及相似度等。 相似度 1. 贴近度 设A与B分别是论域U={u1,u2,…,un}上的两个模糊集，则它们 的贴近度定义为： (A,B)= [A·B+(1-A⊙B)] /2 其中 A• B =∨(µ A(ui ) ∧ µB (ui )) 内积 U A⊙ ⊙ B =∧(µ A(ui ) ∨ µB (ui )) 外积 U
例：设有论域： 设有论域：U={高山， 高山，刘水， 刘水，秦声 } 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“ 以表示他们分别对“学习 好”的隶属程度。 的隶属程度。 假设他们的平均成绩分别为： 假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分， 设映射为平均成绩除以100。则有隶属度： 则有隶属度：
µ F 称为F的隶属函数， µ F (u ) 称为u对A的隶属度。
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2 普通集合上的“关系”
笛卡尔乘积 设U与V是两个集合， 是两个集合，则称 U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V } 为U与V的笛卡尔乘积。 笛卡尔乘积。 若R是U×V上的一个子集， 上的一个子集，则称R为从U到V的 一个关系 一个关系。 关系。记为： 记为： 对于U×V中的元素(u,v) ，若(u,v) ∈R，则 称u与v有关系R，否则， 否则，称u与v没有关系R。
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3 模糊关系
对于有限论域U={u1, u2 ,…, um }， V={v1, v2 ,…, vn },则U对V的模糊关系的隶属函数 可以用m×n阶模糊矩阵R来表示，即 R=(rij)m×n
3 模糊关系
例：设有一组学生U: U={ 张三， 张三，李四， 李四，王五 } 他们对球类运动V: V={ 篮球， 篮球，排球， 排球，足球， 足球，乒乓球 } 有不同的爱好， 有不同的爱好 ， 其爱好程度可以用下面的模糊关系来表 示：
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5
模糊推理
模糊语言值是指表示大小、长短、多少等程度的一 些词汇。如：极大、很大、相当大、比较大。模糊 语言值同样可用模糊集描述。 模糊数：如果实数域R上的模糊集A的隶属函数µA(u) 在R上连续且具有如下性质，则A为一模糊数： （1）A是正规模糊集，即存在u属于R，使得µA(u)=1。 （2）A是凸模糊集，即对于任意实数x，a<x<b,有 µA(x) (x)>=min{µ µA(a) (a), µA(b) (b)}。 直观上看，模糊数的隶属函数的图形是单峰的，在 在峰顶时隶属度达到1。
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3
3 模糊关系
在普通集合上定义的“关系”都是确定 性关系，u和v或者有某种关系，或者没 有这种关系。 但是，在现实世界中，很多事物的关系 并不是十分明确的，如：人与人之间的 相像关系，人与事物之间的爱好关系等。
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集， 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为 µ R (u , v)
∑ (µ
i =1 n i =1
n
A
(ui ) − µ A ) × ( µ B (ui ) − µ B )
n
A
[∑ ( µ A (ui ) − µ A )2 ] × [∑ ( µ B (ui ) − µ B )2 ]
i =1
(2) 算术平均法
r ( A, B ) =
∑ min{µ
i =1 n
A
1 n 1 n µ A = ∑ µ A (ui ), µ B = ∑ µ B (ui ) n i=1 n i =1
对 于 一 般 的 模 糊 子 集 A 可 表 示 为 A={µ1, µ2, …,µn },其中µi表示论域中第i个元素对 A的隶属度。 的隶属度。
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1.3模糊集的扎德表示法 若U为离散域，即论域U是有限集合时， 模糊集合可以表示为： “/”不是表示相除，它只是一个记号， 1
其分母是论域中的元素，分子是该 元素对模糊子集F的隶属度。
∑ (µ
i =1
n
A
(ui ) − µ B (ui )) 2
q 1
(3)明可夫斯基距离
1 n d ( A, B ) = [ × ∑ | µ A (ui ) − µ B (ui ) | ]q , q ≥ 1 n i=1 (4)切比雪夫距离
d ( A, B ) = max | µ A (ui ) − µ B (ui ) |
模糊子集F完全由其隶属函数所刻画。隶属函数 µ F 把U 中的每一个元素都映射为[0,1]上的一个值，表示该元 素隶属于F的程度，值越大表示隶属的程度越高。当µ F 的值仅为0或1时，模糊子集F就退化为一个普通的集合， 隶属函数也就退化为特征函数。
µA(高山)=0.98，µA(刘水)=0.72，µA(秦声)=0.86 模糊集A={ 0.98, 0.72, 0.86 }
1 × ∑ ( µ A (ui ) + µ B (ui )) 2 i=1
(5) 指数法
r ( A, B ) = e
−
(3) 几何平均最小法
r ( A, B ) =
∑|µ A (ui )−µ B ( ui )|
i =1
n
∑ min{µ
i =1
n
A
(ui ), µ B (ui )}
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∑
i =1
n
µ A (ui ) × µ B (ui )
2
µ (5) = 0.2; µ (10 ) = 0.5; µ ( 20) = 0.8;
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∑ 也不是表示相加，它只是一个记号。
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µF(ui)/ui 表示 ui对模糊集 F的隶属度。 的隶属度 。 当某 个隶属度为0时，可以略去不写。 可以略去不写。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。 它们是相同的模糊集。
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：
模糊集的笛卡尔乘积
模糊集A和B的 笛卡尔乘积为： 笛卡尔乘积为：
A× B =
U ×V
∫
min( µ A (u ), µ B (v) /(u, v))
A
B
U与V可以是相同的论域，此时，称R为U上的模糊关系。
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4
模糊关系的合成
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模糊关系的合成
设 R1 与 R2 分别是 U×V 及 V×W 上的两个模糊 的合成是指从U到W的一个模 关系， 关系，则R1与R2的合成是指从 糊关系， 糊关系，记为： 记为：R1°R2 其隶属函数为
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匹配度举例 A• B =∨(µ (u )∧ µ (u ))
A⊙ ⊙ B =∧(µ (u ) ∨ µ (u )) 设U={a,b,c,d} U A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/d B=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d 贴近度： A·B=(0.3∧0.2)∨(0.4∧0.5)∨(0.6∧0.6)∨(0.8∧0.7) =0.7 A⊙B=(0.3∨0.2)∧(0.4∨0.5)∧(0.6∨0.6)∧(0.8∨0. 7)=0.3 (A,B)=1/2[A·B+(1-A⊙B)]=1/2[0.7+(1-0.3)]=0.7
A =(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3
=0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3
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2
λ
截集是把模糊集向普通集合转化的一个重 要概念。
1.5 模糊集的截集
µA(u)
µA(u) µA(u)>0} µA(u)=1}
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1.5 模糊集的截集
0.5
B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：A∩B, A∪B及 A
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A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3
解：
A∩B =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 A∪B =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3
µR1°R2 (u,w)= { µR1 (u,v) µR2 (v,w) }
例：设有如下两个模糊关系： 设有如下两个模糊关系： 方法： 0.4 0.5 0.1 取R1的第i行元素分别与R2 的第j列的对应元素相比 R1= 0.2 0.6 0.2 较，两个数中取其小者， 然后再在所得的一组最 小数中取最大的一个， 0.5 0.3 0.2
A i B i
匹配度举例
设U={a,b,c,d} 1 d ( A, B) = × ∑ | µ (u ) − µ (u ) | n A=0.3/a+0.4/b+0.6/c+0.8/d 1 d ( A, B) = | µ (u ) − µ (u ) | du b−a ∫ B=0.2/a+0.5/b+0.6/c+0.7/d 海明距离： d(A,B)=1/4×(|0.3-0.2|+|0.4-0.5|+|0.60.6|+|0.8-0.7|)=0.075 (A,B)=1-d(A,B)=1-0.075=0.925
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模糊知识的表示
（1）模糊产生式规则的一般形式是： IF E THEN H (CF,λ) 其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的 模糊结论；CF是知识的可信度因子，它既可以是一个确定 的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。λ是匹配度的阈 值，用以指出知识被运用的条件。例如： IF x is A THEN y is B (CF,λ) （2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为 x is A’ 或者 x is A’ (CF) （3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配；如 果匹配，如何利用知识及证据推出结论。
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2. 语义距离 (1)海明距离 1 n d ( A, B ) = × ∑ | µ A (ui ) − µ B (ui ) | n i=1 1 b d ( A, B ) = | µ A (u ) − µ B (u ) | du b − a ∫a (2)欧几里得距离
d ( A, B ) = 1 × n
1≤i ≤n
匹配度为：1-d(A,B)
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3. 相似度 (1) 最大最小法
r ( A, B ) =
(4) 相关系数法Leabharlann ∑ min{µ ∑ max{µ
i =1 n i =1 n
n
A
(ui ), µ B (ui )} (ui ), µ B (ui )} (ui ), µ B (ui )}
r ( A, B ) =
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
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模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。 模糊命题