2020年陕西省高考数学(文科)模拟试卷(3)

2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（3）
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）的元素个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（5分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1
3．（5分）已知m＞n，则下列不等式中一定成立的是（）
A．m+a＞n+b B．mc＞nc C．a﹣m＜a﹣n D．ma2＞na2 4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A．2B．3C．4D．5
5．（5分）函数y＝2sin x cos x+3的最小正周期为（）
A．B．πC．2πD．4π
6．（5分）“α＝“是“cosα＝“成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5分）设函数若f（a）＝a，则实数a的值为（）A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2 8．（5分）已知向量，且，则等于（）A．B．C．0D．1
9．（5分）有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中（例如图1中的扫地机器人）．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角
形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）＝的图象大致是（）
A．B．
C．D．
11．（5分）已知直线x＝0绕点（0，1）按逆时针方向旋转后所得直线与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2（a，b＞0）相切，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
12．（5分）在R上定义运算“♣”：x♣y＝x（1﹣y）．若存在实数x，使得不等式（x﹣m）♣（x+m）＞1成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）
C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若双曲线与有相同的焦点，则实数m＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝4，，且C 为锐角，则△ABC面积的最大值为．
15．（5分）已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为．圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为．
16．（5分）设定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式e x﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为．
三．解答题（共5小题）
17．设等差数列{a n}满足a3＝﹣6，a10＝8．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的序号n的值．
18．如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC上一点，且＝k（0＜k＜1）．
（1）当k＝时，证明：BD⊥EF；
（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥D﹣FEB的体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
19．2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．
组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219
男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”
与性别有关？
（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
P（K2≤k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面积；
（3）求证：|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|．
21．已知函数，（a为常数，e为自然对数的底）．
（1）令，a＝0，求μ'（x）和f'（x）；
（2）若函数f（x）在x＝0时取得极小值，试确定a的取值范围；
[理]（3）在（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x﹣3y+m＝0、3x﹣2y+n＝0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．
四．解答题（共1小题）
22．在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（0≤θ＜2π，ρ＞0），M为该曲线
上的任意一点．
（1）当|OM|＝时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|最大值．
五．解答题（共1小题）
23．已知f（x）＝|2x+3a2|．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）+|x﹣2|≥3的解集；
（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．
2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）的元素个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：A∪B＝{1，2，3，4，5}
A∩B＝{3，4}
∴∁U（A∩B）＝{1，2，5}
故选：C．
2．（5分）已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1
【解答】解：＝＝＝﹣i，
∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，
∴a＝0，b＝1，
∴a+b＝1，
故选：D．
3．（5分）已知m＞n，则下列不等式中一定成立的是（）
A．m+a＞n+b B．mc＞nc C．a﹣m＜a﹣n D．ma2＞na2
【解答】解：∵m＞n，则取m＝1，n＝0，a＝0，b＝2，c＝0，可排除A，B，D．对C，∵m＞n，∴﹣m＜﹣n，∴a﹣m＜a﹣n，故C正确．
故选：C．
4．（5分）我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：系统抽样的抽取间隔为＝6．
设抽到的最小编号x，
则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）＝48，
所以x＝3．
故选：B．
5．（5分）函数y＝2sin x cos x+3的最小正周期为（）
A．B．πC．2πD．4π
【解答】解：因为y＝2sin x cos x+3＝sin2x+3；
∴T＝＝π．
故选：B．
6．（5分）“α＝“是“cosα＝“成立的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解答】解：由α＝一定能推出cosα＝，当由cosα＝，则不一定推出α＝，故“α＝“是“cosα＝“成立的充分不必要条件，
故选：A．
7．（5分）设函数若f（a）＝a，则实数a的值为（）
A．±1B．﹣1C．﹣2或﹣1D．±1或﹣2
【解答】解：由题意知，f（a）＝a；
当a≥0时，有，解得a＝﹣2，（不满足条件，舍去）；
当a＜0时，有，解得a＝1（不满足条件，舍去）或a＝﹣1．
所以实数a的值是：a＝﹣1．
故选：B．
8．（5分）已知向量，且，则等于（）A．B．C．0D．1
【解答】解：向量，且，
所以•＝2m﹣4＝0，
解得m＝2；
所以＝（2，2），
所以＝﹣2•+＝8﹣0+8＝16，
所以|﹣|＝4，
所以•（+）＝+＝8+0＝8，
所以＝＝．
故选：B．
9．（5分）有一种“三角形”能够像圆一样，当作轮子用．这种神奇的三角形，就是以19世纪德国工程师勒洛的名字命名的勒洛三角形．这种三角形常出现在制造业中（例如图1中的扫地机器人）．三个等半径的圆两两互相经过圆心，三个圆相交的部分就是勒洛三角形，如图2所示．现从图2中的勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设圆半径为R，因为阴影部分面积为＝，勒洛三角形的面积为，
若从勒洛三角形内部随机取一点，
则此点取自阴影部分的概率为．
故选：D．
10．（5分）著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百
般好，隔裂分家万事休”如函数f（x）＝的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝＝﹣（）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除A，
又由x＞0时，有e x＞e﹣x，即有e x﹣e﹣x＞0，则有f（x）＞0，排除D，
当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C；
故选：B．
11．（5分）已知直线x＝0绕点（0，1）按逆时针方向旋转后所得直线与圆（x﹣a）2+
（y﹣b）2＝2（a，b＞0）相切，则的最小值为（）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：∵直线x＝0绕点（0，1）按逆时针方向旋转，
∴所得直线的斜率为﹣1，则直线方程为x+y﹣1＝0，
∵所得直线与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝2（a，b＞0）相切，
∴，即a+b＝3，
又∵a，b＞0，
∴＝（）×＝+++≥+2＝3，
当且仅当＝，即a＝1，b＝2时取等号，
∴的最小值为3．
故选：C．
12．（5分）在R上定义运算“♣”：x♣y＝x（1﹣y）．若存在实数x，使得不等式（x﹣m）♣（x+m）＞1成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）
C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
【解答】解：由题可知，
原不等式可化为（x﹣m）（1﹣x﹣m）＞1，
即存在实数x，使得x2﹣x﹣m2+m+1＜0成立，
故只需△＝1+4（m2﹣m﹣1）＞0，
解得m＜﹣或m＞．
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若双曲线与有相同的焦点，则实数m＝4．【解答】解：由双曲线，得，
则双曲线的焦点坐标为（）；
由双曲线，得，
则双曲线的焦点坐标为（，0），
∵双曲线与有相同的焦点，
∴，即m＝4．
故答案为：4．
14．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝4，，且C
为锐角，则△ABC面积的最大值为4．
【解答】解：因为c＝4，又，
所以，
又C为锐角，
所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
即，
即当时，△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
15．（5分）已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为．圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为．
【解答】解：由题意画出圆锥的轴截面，如图所示，则PO为圆锥的高，AC为圆锥内接正方体的面的对角线，
由题意可得OF＝，＝，PF＝3OF＝，所以PO＝＝2，
设正方体的棱长为a，则OO'＝a，A'C'＝a，O'C'＝a，
∵△PO'C'∽△POF，∴
即，∴＝＝a，解得：a＝，设正方体外接球的半径为R，则2R＝a，∴4R2＝3a2＝3×＝，
所以外接球的表面积为S＝4πR2＝，
故答案为：．
16．（5分）设定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式e x﹣1f（x）＜f（2x﹣1）的解为（1，+∞）．
【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，
故g（x）在R递增，
不等式e x﹣1f（x）＜f（2x﹣1），
即＜，
故g（x）＜g（2x﹣1），
故x＜2x﹣1，解得：x＞1，
故答案为：（1，+∞）
三．解答题（共5小题）
17．设等差数列{a n}满足a3＝﹣6，a10＝8．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求{a n}的前n项和S n及使得S n最小的序号n的值．
【解答】解：（1）∵等差数列{a n}满足a3＝﹣6，a10＝8．
d＝＝＝2，
∴a n＝a3+2（n﹣3）＝2n﹣12，
（2）{a n}的前n项和，
∴当n＝5或6时，S n取得最小值﹣30．
18．如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC上一点，且＝k（0＜k＜1）．
（1）当k＝时，证明：BD⊥EF；
（2）是否存在一个常数k，使得三棱锥D﹣FEB的体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积的，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．
又∵平面ABCD⊥平面ABE，∴EO⊥平面ABCD．
∵BD⊂平面ABCD，∴EO⊥BD，
∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
又∵OF∥AC，∴BD⊥OF，得BD⊥平面EOF．
又EF⊂平面EOF，∴BD⊥EF；
（2）解：＝，
，
∴k＝，
故存在常数k＝，使得三棱锥D﹣FEB的体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积的．
19．2017年3月18日，国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与，但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样，得到参与网络问卷调查的100人的得分（满分按100分计）数据，统计结果如表．
组别[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]女24415219
男141010128（1）环保部门规定：问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”．请列出2×2
列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为是否为“环保关注者”
与性别有关？
（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．附表及公式：K2＝，n＝a+b+c+d．
P（K2≤k0）0.150.100.050.0250.100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）2×2列联表如下：
非“环保关注者”“环保关注者”合计
女104555
男153045
合计2575100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值
，
所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下，可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的；
（2）由题意可知，利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人，男“环保达人”2人．设女“环保达人”3人分别为A，B，C；男“环保达人”2人为D，E．
从中抽取两人的所有情况为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），共l0种情况．
既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），共6种情况．
故所求概率为．
20．过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为
坐标原点，F1为左焦点．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面积；
（3）求证：|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|．
【解答】（1）解：由双曲线的方程得a＝，b＝，
∴c＝＝3，F1（﹣3，0），F2（3，0）．
∴直线AB的方程为y＝（x﹣3）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+6x﹣27＝0．
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣．
∴|AB|＝|x1﹣x2|＝•＝
（2）解：直线AB的方程变形为x﹣3y﹣3＝0．
∴原点O到直线AB的距离为d＝＝．
∴S△AOB＝|AB|•d＝××＝．…（8分）
（3）证明：如图，由双曲线的定义得
|AF2|﹣|AF1|＝2，|BF1|﹣|BF2|＝2，
∴|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|BF1|…（12分）
21．已知函数，（a为常数，e为自然对数的底）．
（1）令，a＝0，求μ'（x）和f'（x）；
（2）若函数f（x）在x＝0时取得极小值，试确定a的取值范围；
[理]（3）在（2）的条件下，设由f（x）的极大值构成的函数为g（x），试判断曲线g（x）只可能与直线2x﹣3y+m＝0、3x﹣2y+n＝0（m，n为确定的常数）中的哪一条相切，并说明理由．
【解答】解：（1），
（2）f'（x）＝（2x+a）e﹣x﹣e﹣x（x2+ax+a）＝e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]
＝e﹣x•（﹣x）•[x﹣（2﹣a）]，令f'（x）＝0，得x＝0或x＝2﹣a，
当a＝2时，f'（x）＝﹣x2e﹣x≤0恒成立，此时f（x）单调递减；
当a＜2时，2﹣a＞0，若x＜0，则f'（x）＜0，若0＜x＜2﹣a，
则f'（x）＞0，x＝0是函数f（x）的极小值点；（4分）
当a＞2时，2﹣a＜0，若x＞0，则f'（x）＜0，若2﹣a＜x＜0，则f'（x）＞0，
此时x＝0是函数f（x）的极大值点，
综上所述，使函数f（x）在x＝0时取得极小值的a的取值范围是a＜2
[理]（3）由（1）知a＜2，且当x＞2﹣a时，f'（x）＜0，
因此x＝2﹣a是f（x）的极大值点，f max（x）＝f（2﹣a）＝（4﹣a）e a﹣2，
于是g（x）＝（4﹣x）e x﹣2（x＜2）（8分）
g'（x）＝﹣e x﹣2+e x﹣2（4﹣x）＝（3﹣x）e x﹣2，
令h（x）＝（3﹣x）e x﹣2（x＜2），
则h'（x）＝（2﹣x）e x﹣2＞0恒成立，即h（x）在（﹣∞，2）是增函数，
所以当x＜2时，h（x）＜h（2）＝（3﹣2）e2﹣2＝1，即恒有g'（x）＜1，
又直线2x﹣3y+m＝0的斜率为，直线3x﹣2y+n＝0的斜率为，
所以由导数的几何意义知曲线g（x）只可能与直线2x﹣3y+m＝0相切
四．解答题（共1小题）
22．在新中国成立70周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（0≤θ＜2π，ρ＞0），M为该曲线上的任意一点．
（1）当|OM|＝时，求M点的极坐标；
（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|最大值．
【解答】解：（1）设点M在极坐标系中的坐标，
由ρ＝1﹣sinθ，得，，
∵0≤θ＜2π，
∴或
所以点M的极坐标为或
（1）由题意可设M（ρ1，θ），．
由ρ＝1﹣sinθ，得ρ1＝1﹣sinθ，．
＝＝＝
故时，|MN|的最大值为．
五．解答题（共1小题）
23．已知f（x）＝|2x+3a2|．
（1）当a＝0时，求不等式f（x）+|x﹣2|≥3的解集；
（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）+|x﹣2|＝|2x|+|x﹣2|≥3；
∴，得；，得1≤x≤2；，得x＞2；
∴f（x）+|x﹣2|≥2的解集为；
（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，即|2x+1|﹣|2x+3a2|＜2a恒成立；
又因为|2x+1|﹣|2x+3a2|≤|2x+1﹣2x﹣3a2|＝|3a2﹣1|；
所以原不等式恒成立只需|3a2﹣1|＜2a；
当a＜0时，无解；当时，1﹣3a2＜2a，解得；当时，3a2﹣1＜2a，解得；
所以实数a的取值范围是．。