计算固体力学2-1

1 dθ 1 GA dw Π p (θ , w) = ∫ EI ( ) 2 dx + ∫ − θ dx − ∫ q( x) wdx 2 dx 2 k dx 0 0 0
l l l 2
dw −Qw + M 0 dx 0
l
l
注意：（1）横截面转角 θ 与梁的挠度 w 独立变化 （2） 在泛函中，θ 与 w只要求连续即可, 这样就将经典梁的 C1问题⇒C0问题
l l l
l
l
弯曲应变能
剪切应变能
事实上上述假设并不成立，所以引入截面剪切 修正因子k （如何确定k?)
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
(1)按均匀分布假设:
Q τ = = Gγ A
(2)按材料力学理论:剪应变和剪应力 在截面上按抛物线分布
2z 2 τ = τ max 1 − ( ) ＝Gγ h
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
单元挠度函数的Hermite插值：
w = ∑ H i( 0 ) (ξ ) wi + ∑ H i(1) (ξ )lθ i＝∑ N i ai
i =1 i =1 i =1 2 2 4
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其中:
H
(0) i
(ξ j ) = δ ij
∂H (ξ j ) = 0 ∂ξ
(0) i
H (ξ j ) = 0
(1) i
∂H i(1) (ξ j ) = δ ij ∂ξ
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
N1 = H1( 0 ) (ξ ) = 1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 N 2 = H1(1) (ξ )l = (ξ − 2ξ 2 + ξ 3 )l
(0) N3 = H 2 (ξ ) = 3ξ 2 − 2ξ 3 (1) N4 = H 2 (ξ )l = (ξ 3 − ξ 2 )l
1 GA ＝α ，上述过程 （3）在泛函中，若取 2 k
也可以按照罚函数方法理解
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
Timoshenko梁单元的主要 特点是挠度 w和截面的转 角θ各自独立插值 无量纲坐标变换：
2( x − xc ) ξ= l
−1 ≤ ξ ≤ 1
( x2 − x1 ) 其中： xc = 2
结点变量： wi , θ i
i = 1,2
§2.2 Timoshenko 梁单元
Timoshenko梁单元
w = ∑ N i wi
i =1
2
θ = ∑ N iθ i
i =1
2
(Lagrange插值)
−1 ≤ ξ ≤ 1
1 N1 = (1 − ξ ) 2
1 N 2 = (1 + ξ ) 2
§2.2 Timoshenko 梁单元
截面剪切变形能密度函数:
1 1 U γ = τγ = Gγ 2 2 2
假设变形后,横截面仍保持平面,即剪应变(剪应力) 沿横截面均匀分布,则应变能密度函数也均匀分布
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
考虑剪切变形引起泛函的变化：
dw 1 dθ 2 1 GA 2 Π p (θ , w) = ∫ EI ( ) dx + ∫ (γ ) dx − ∫ q( x) wdx − Q w + M 0 2 dx 2 k dx 0 0 0 0
1 e
− 12 − 6l 12
6l 2l 2 − 6l 4l 2
等效结点载荷: 对于均布载荷：
P = ∫ q( x) N ldξ + ...
q( x) = q
ql T P = [6 l 6 − l ] + ... 12
e
0
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
2
l
在泛函内w的最高阶导数m=2，所以为C1问题。
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
二结点单元 x1 ≤ x ≤ x2 长度： l = x 2 − x1 无量纲坐标变换：
ξ=
x − x1 l
0 ≤ξ ≤ 1
1 2
ξ
dw 结点变量： wi , θ i = ( )i , i = 1,2 dx
显然满足插值函数的要求
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
w＝∑ N i ai = Na e
i =1
4
其中:
N = {N1 N2 N3 N4}
w1 θ 1 e a = w2 θ 2
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
代入πp(w)式, 并由δπ p=0得:
经典梁理论的数学模型
d 4w 微分方程： EI 4 = q ( x ) dx x ∈ [0, l ]
边界条件：
dw =θ （1）固支边界： w = w , θ = dx d 2w （2）简支边界： w = w , M = − EI =M 2 dx
d 3ω （3）自由边界： M = M，Q = − EI 3 ＝Q dx
Ka = P
其中:
K
e ij
EI = 3 l
∫
0
l
d Ni dξ 2
2
d 2N dξ
2
j
d ξ ……
dN i dN i dξ 1 dN i = = dx dξ dx l dξ
d 2 Ni 1 d 2 Ni = 2 2 dx l dξ 2
§2.1 一维经典梁单元
C1单元插值模型
单元刚度矩阵:
6l 12 2 4 l EI Ke = 3 l 对称
Timoshenko梁单元
w = [N1 0 N 2 0] a e
θ = [0 N1 0 N 2 ] a e
a e = {w1 θ1 w2 θ 2 }
⊥
作业 9.1 9.2 9.3
谢谢！
∫ τdA = Q
A
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
要求：
U1 = ∫
A
Gγ 1 Gγ 2 dA = ∫ dA ＝ U 2 2k 2 A
2 2
得到：
6 5 k= 10 9
矩形截面 圆形截面
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
§2.1 一维经典梁单元
经典梁理论的数学模型
最小势能原理： 在一切许可的挠度函数中（满足位移边界条件 的单值连续函数），其真解使系统的总势能取 极小值。
πp =∫
L
0
L l 1 d w dw dx − ∫ qwdx − Q w + M EI 2 0 0 2 dx dx 0 2
第二章
梁单元
2004年3月1日
第二章 梁单元 §2.1 一维经典梁单元 §2.2 Timoshenko 梁单元 §2.3 二维相对自由度梁单元
§2.1 一维经典梁单元
经典梁理论的数学模型
Euler-Bernuli经典梁理论： 对于细长梁 h << l …… 基于中法线假定……
§2.1 一维经典梁单元
经典梁:
dw − θ＝0 dx
考虑剪切变形的梁:
dw − θ＝γ dx
由于考虑剪切变形的影响， 横截面转角 θ 与梁 的挠度 w 独立变化……
§2.2 Timoshenko 梁单元
考虑剪切变形的Timoshenko梁
考虑剪切变形引起泛函的变化：
πp =∫
L 0 L l 1 d w dw dx − ∫ qwdx − Q w + M EI 2 0 0 2 dx dx 0 2 2 l