第4章__控制算法(1)模拟调节器的离散化方法

u (t )dt
kT
( k 1)T
e(t )dt
u (kT ) u(kT T ) aTu( kT ) Te( kT )
它的Z变换
U ( z ) z U ( z ) aTu ( z ) TE ( z ) U ( z) T 1 D( z ) 1 1 z 1 E ( z ) 1 at z a T
再按照本节介绍的离散化方法将模拟控制器离散化为数字控 制器。
转换成数字控制器一般采用以下两种方法
差分法
z变换设计法
5
4.1.0 基本设计方法 模拟系统设计——模拟系统原理框图为：
r(t) +
R(s) -
模拟控制器 D(s)
u(t)
被控对象 G(s)
y(t) Y(s)
由于人们首先熟悉模拟系统的设计，同时研究了许多方便的设 计方法，因此，很多情况我们首先设计模拟控制系统，然后再 转换成数字控制系统 ——主要是控制器GC(s)的转换。
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表4-1 一部分控制系统选择采样周期的经验数据
被控制量 流量 压力 液位 温度
采样周期（S） 1~5 3~10 6~8 15~20
备注 优选1S 优选5S 优选7S 优选纯滞后时间
成分
15~20
优选18S
伺服电动机运动控制等没有给出。（5mS~20mS）
其它控制依据使用要求。被控物理量的特征，按上述原则选。
U ( z) 1 D( z ) E( z) 2 z 1 a T z 1
令
2 z 1 2 1 z s 1 T z 1 T 1 z
1
(4.3)
30
则D(z)与模拟调节器GC(s)具有相同的形式。 ——可认为从s平面到z平面的映射函数为
D( z ) GC ( s)
故一般不用前向差分法。
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（2） 后向差分法
后向差分法也是一种数值积分，即用kT时刻的值所形成的 矩形面积近似积分项。后向差分法将s平面的稳定区域映射为z 平面的一个以σ=1/2，ω=0为圆心，1/2为半径的圆。
u (kT ) u[( k 1)T ] a
经后项差分可写成
kT
( k 1)T
D( z ) GC ( s)
z 1 s T
这样的映射是否稳定？ ——也就是说，如果稳定的模拟控制器GC(s)，变换到Z域 是否仍然稳定？
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前向差分法对系统稳定性的影响 对于公式4.6
z 1 s T
(5.7 )
因 T>0
模拟系统稳定，——要求系统极点位于S左半平面
即
z 1 Re ( s) 0 Re( ) 0 Re( z 1) 0 T
2 2
也就是
1 0 即 1
2 2 2 2
S平面稳定的极点，映射到Z平面在单位圆内。 双线性变换是稳定的。
离散化方法 。
经前向差分可写成
u (kT ) u[( k 1)T ] au[( k 1)T ]T e[( k 1)T ]T (1 aT )u[( k 1)T ] e[( k 1)T ]T
18
它的Z变换为：
U ( z ) (1 aT ) z U ( z ) Tz E ( z )
1
24
类似于前向差分法，如果令
1 z s T
1
(4.9)
则 D(z) 在形式上与 GC(s) 相同，可认为从 s 平面到 z 平面的映 射函数为：
D( z ) GC ( s)
s
1 z T
1
(4.10)
下面来讨论后向差分法对稳定性造成影响？
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后向差分对稳定性的影响 类似于前向差分法
2 z 1 s T z 1
(4.4)
考察该映射对稳定性的影响。
2 z 1 Re( s) Re( )0 T z 1 T 0 z 1 Re( )0 z 1
31
令z=σ+jω，带入
z 1 1 j Re( ) Re( ) z 1 1 j
1 j 2 Re( )0 2 2 ( 1)
当T很小时，上式中的积分项 U((kT) U((k-1)T) U((k-1)T)
U(kT)
T
T
T
15
当T很小时，积分项
kT
( k 1)T

u (t )dt
的u(t)变化很小，可以用下列三种方法之一近似 （1）u(k-1)值构成的矩形面积 （2） u(k)值构成的矩形面积 U((kT) ——前向差分 ——后向差分
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4.1.2 模拟化设计步骤
（1）设计模拟控制器 模拟控制器的设计——自控原理学过
根据要求的性能指标，配置零极点。
r(t) + R(s) 模拟控制器 D(s)
u(t)
被控对象 G(s)
y(t) Y(s)
当前使用最多的是PID控制算法。 对于PID控制算法，就变为主要是选择合适的比例系数、积 分系数、微分系数问题
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当然，按前面的假设，r(t)是模拟信号； e(t)=t(t)-y(t)也是模拟信号；
采样保持器、A/D转换是对e(t)进行的，也是可以的，不影响对 系统进行分析。
4
4.1 数字控制器的间接设计方法
数字控制器的间接设计法是先根据给定的性能指标及
各项参数，应用连续系统理论的设计方法设计模拟控制器，
（3）u(k-1)，u(k)构成的梯形面积——双线性变换 U((k-1)T) U((k-1)T) U(kT)
T
T
T
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上式右侧两项在数值上可用各种方法来处理，根据近似处理方 法的不同，就得到几种不同的离散化方法
– 前向差分法
– 后向差分法
– 双线性变换法
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（1）前向差分法
前向差分法是一种数值积分，即用(K-1)T时刻的值所形成的 矩形面积近似项积分 。 前向差分法有可能将S左半平面的稳定极点映射到Z平面单位 圆外成为不稳定极点，故实际应用中不能采用前向差分法作为
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（2）正确的选择采样周期
要用计算机实现控制器的功能，就需要选择采样周期，对 模拟控制器进行离散化描述。 采样周期的选择—— 教材64页给出了4点原则 （1）从条件品质考虑——希望采样周期短。一般在过渡过程 时间内，采样6~15次。 （2）从快速性和抗干扰考虑——希望采样周期短 （3）从成本和计算机的工作量考虑——希望采样周期长点 （4）从计算精度考虑——希望采样周期T不应太短，否则对于 有限的计算机字长，前后两次采样差值太小，反而导致调节作 用变弱。 表4-1给出了采样周期选择的一组数据
它的Z变换为：
1
1
U ( z) Tz 1 T D( z ) 1 E ( z ) 1 (1 aT ) z z 1 aT 1 z 1 a T 1 它与 前面的 模拟调节器 Gc ( s) 具有相似的形式 sa
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如果令
z 1 s T
(4.6)
在采用前向差分时。则模拟调节器GC(s)与数字调节器D(z)具 有相同的形式。 ——可认为公式 (5.7) 是从s平面到z平面的映射函数.
( k 1)T
u(t )dt e(t )dt
0 0
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( k 1)T
于是，可以得到
u[kT ] u[k 1)T ] a
当T很小时，上式中的积分项
kT
kT
( k 1)T
u(t )dt e(t )dt
( k 1)T
kT
( k 1)T
u(t )dt
用矩形面积u (kT ) T , 或u（ ( k 1 ）T ) T 或梯形面积 {u (kT ) u[(k 1)T ]} T / 2
kT
1 ( k 1)T e(t )dt 2 {e(kT ) e[( k 1)T ]}T
kT
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差分方程
U ( z ) z 1U ( z )
aT T [U ( z ) z 1U ( z )] [ E ( z ) z 1 E ( z )] 2 2
离散后的控制器脉冲传递函数
模拟控制器的离散化，有 差分法， 脉冲响应不变法 阶跃响应不变法 零极点匹配映射法 我们主要讨论差分法。
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差分法的基本思想
对于线性定常系统，假设其模拟调节器
1 Gc ( s ) sa
它对应的时域表达式
du (t ) au (t ) e(t ) dt
两边积分
t t du(t ) dt dt a u(t )dt e(t )dt 0 0 0
第4章 计算机控制系统的 控制算法
1
4.0 概 述
典型的计算机控制系统如图所示。
计算机控制系统 系统输入 r(t) 与系统输出 y(t) 比较后形成偏差 e(t) ， e(t) 经 采样保持器及模 /数转换器转换成数字量 e(kT) ，输入计算机， 由计算机实现数字控制器的运算规律，得到离散的控制量 u(kT) ，再经数 / 模转换及保持器转换为连续控制量 u(t) ，作 用到连续的被控对象上，以控制被控对象的输出y(t)。
Re( s) 0 ( 2 2 ) 0 1 2 1 2 2 （ ） －（ ） 2 2 2
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它就是
园方程
1 2 1 2 2 ( ) （ ） 2 2
经过4.9映射，S平面的稳定区域，被映射到Z平面的情况是：
它映射到圆心在σ=1/2，ω=0，半径为 ½的园。
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主要方法： 依据性能指标要求，可以基本确定闭环传递函数。 有了开环传递函数G(s) 有了闭环传递函数GB(s) 或叫做 Φ(s)
D( s ) G ( s ) ( s ) 1 D( s)G ( s)
设计过程就是寻找D(s)，使得在该调节器（控制器）的作用下， 闭环系统的性能满足我们的要求。 用该方法设计的是模拟调节器，要用计算机实现，需要进 行离散化处理。 对于模拟调节器，一般使用P、PI、PID调节器。 离散化方法：差分法、Z变换法。
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（3） 模拟控制器的离散化描述
按模拟方法设计的调节器，要用计算机来实现，需要对它 进行离散化处理，转变成能够用计算机程序来实现的方式。
差分方程是计算机容易实现的方式 。 对应于差分方程——传递函数Gc（S）就变为脉冲传递函 数D（Z）。
下面就讨论离散化方法
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4wk.baidu.com1.3 将模拟控制器转换为数字控制器的方法
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t
对于采样时刻t=kt的u(t)值，用采样时刻t=kt带入
kT kT du(t ) dt dt a u (t )dt e(t )dt 0 0 0 即 kT
u (kT ) u (0 ) a u (t )dt e(t )dt
同样可以得到
0 0
kT
kT
u[k 1)T ] u(0) a
Z为复数 z=σ+jω
Re( z 1) Re( 1 j ) 0 1 0 1
也就是S平面稳定的极点，映射到Z平面变为σ<1的平面。 如图所示。
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jω
jImz
σ<1
σ
σ=1 Rez
S平面
Z平面
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前向差分法有可能将S平面的稳定极点映射到Z平面的单 位圆外 ——原来设计的在模拟条件下稳定的系统，利用前向差分转变 为数字控制器后，系统可能变得不稳定。
1 z 1 z 1 Re( s ) Re( ) Re( )0 T Tz T 0 z 1 z 1 Re( ) 0 Re( )0 Tz z
对于复数z, z=σ+jω
z 1 j 1 2 2 j Re( ) Re( ) Re( ) 2 2 z j
2
设计计算机控制系统，主要是设计数字控制器，使图所示的闭 环控制系统既要满足系统的期望指标，又要满足实时控制的要 求。 注：现在的计算机控制系统：一般给定信号是数字信号
输出信号经传感器测量，变换后转换成数字信号，由计算机进 行比较产生数字 e(kt) ，经计算机的控制算法运算处理输出控制 信号u(kt)。u(kt)转换成模拟信号进行控制。
即： 使用后向差分，原来稳定的模拟控制系统变换为数字控制 系统后，仍然是稳定的。
27
-1
0
1/2
1
S平面
Z平面
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（3）双线性变换法
双线性变换法也称梯形法或Tustin法，是基于梯形面积 近似积分的方法。根据这个方法有
1 ( k 1)T u(t )dt 2 {u(kT ) u[(k 1)T ]}T