平面直角坐标系中的伸缩变换87067
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1.1.2、平面直角坐标系中的伸缩变换
1.1.2平面直角坐标 系中的伸缩变换
• 教学目标： （1）学会用坐标法来解决几何问题。 （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系， 知道图形之间是可以类与类变换的。 （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换 公式。 • 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。 • 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
20 18 16 14 18 16 14 3 6
图1
3 6 月份
图2
月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感 觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是 两图中坐标轴选择的长度不一样。
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴 或y轴的单位长度，将会对图形产生影响同。
例1、在下列平面直角坐标系中，分别作出以 原点为圆心，6为半径的圆。
P
3
4
O
1
2
5
6
x
1 持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来的 , 那么 2 正弦曲线y sin x就变成曲线y sin 2 x.
图1 4
二、伸缩变换（形状发生了变化） 由 y = f(x) (a > 0且a ≠1) 的由图象得到
1、y = f(ax) 的由图象
1）当a >1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ， a 2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍， a
在现实生活和生产实际中，需要处理大量数据和资料， 统计图是很需要工具。一般情况下，绘制统计图都需要借 助平面直角坐标系，当绘制者在x轴与y轴上选择不同的单 位长度时，统计图就会产生不同的效果，如果选择适当， 可以清晰地反映出事物的特征。如果选择不好，会使人产 生误解。例如，某银行信用卡贷款由1995年3月的15.924 亿元上升到1995年6月的18.281亿元，可以用图1和图2来 贷款/亿元 表示增长幅度。 贷款/亿元
• 教学目标： （1）学会用坐标法来解决几何问题。 （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系， 知道图形之间是可以类与类变换的。 （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换 公式。 • 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。 • 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
20 18 16 14 18 16 14 3 6
图1
3 6 月份
图2
月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感 觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是 两图中坐标轴选择的长度不一样。
在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴 或y轴的单位长度，将会对图形产生影响同。
例1、在下列平面直角坐标系中，分别作出以 原点为圆心，6为半径的圆。
P
3
4
O
1
2
5
6
x
1 持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来的 , 那么 2 正弦曲线y sin x就变成曲线y sin 2 x.
图1 4
二、伸缩变换（形状发生了变化） 由 y = f(x) (a > 0且a ≠1) 的由图象得到
1、y = f(ax) 的由图象
1）当a >1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ， a 2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的 1 纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍， a
在现实生活和生产实际中，需要处理大量数据和资料， 统计图是很需要工具。一般情况下，绘制统计图都需要借 助平面直角坐标系，当绘制者在x轴与y轴上选择不同的单 位长度时，统计图就会产生不同的效果，如果选择适当， 可以清晰地反映出事物的特征。如果选择不好，会使人产 生误解。例如，某银行信用卡贷款由1995年3月的15.924 亿元上升到1995年6月的18.281亿元，可以用图1和图2来 贷款/亿元 表示增长幅度。 贷款/亿元
1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换(北师大版)
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二
【变式训练 2】
伸缩系数为 =
2
对曲线
8
2
−
4
= 1向轴进行伸缩变换,
1
, 所得的曲线方程为
2
1
解析:伸缩变换为
' = ,
2
' = ,
即
.
= 2',
= ',
(2')2 '2
'2 '2
∴
−
= 1, 化简得
−
= 1.
8
4
2
4
2
1
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的 2 .
分析:(1)常规描点法画椭圆;(2)改变y轴上的单位长度;(3)改变x轴
上的单位长度.
-5-
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换
题型一
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
题型二
解:(1)建立平面直角坐标系,使 x 轴与 y 轴具有相同的单位长
的单位长度,从而对图形产生影响.其特点是坐标系和图形产生了
改变,而图形对应的方程不产生变化.
2.图形的伸缩变换是坐标轴中x轴和y轴的变化,可以利用“五点作
图法”进行转化,画出相应图形,再研究其性质.
【做一做1】 将一条直线作伸缩变换后得到的图形的形状可能
是(
).
A.直线
B.圆 C.椭圆 D.抛物线
解析:直线在伸缩变换中图形的形状是不会产生变化的.
1
2
3
平面直角坐标系中的伸缩变换教学设计
平面直角坐标系中的伸缩变换一、教学目标1.通过实例x y sin =到x y 2sin =的变换，体会平面直角坐标系的压缩变化；2.通过实例x y sin =到x y sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸长变换；3.通过实例x y sin =到x y 2sin 3=的变换，体会平面直角坐标系的伸缩变换；4.通过例2的演练，会求给出方程所对应图形经过伸缩变换后的图形；5.通过练习，会求平面直角坐标的伸缩变换；6.通过解决问题的过程，体会变换等思想。
二、教学过程1.复习回顾问题1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x 。
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换。
问题2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?在正弦曲线上任取一点P(x, y),保持横坐标x 不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx 。
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换。
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x?是上述1，2的“合成”，先保持纵坐标y 不变，将横坐标x 缩为原来的1/2；在此基础上再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x 。
即在正弦曲线y=sinx 上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y)经变换得到点为P ’(x ’, y ’)，坐标对应关系为:⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 321，，①我们把①式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
2.新课探究设),(y x p 是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎪⎩⎪⎨⎧>=>=)0(,)0(,''μμλλϕy y x x ：② 的作用下，点),(y x p 对应到点)','('y x p ，称ϕ为平面直角坐标系中的左边伸缩变换，简称伸缩变换。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 （1） 0, 0
（2）把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变 换得到；
y
1
2 1
x (5)
y
3
将(5)代入2x 3y 0,得到经过伸缩变换
后的方程为x y 0
所以，经过伸缩变换{x 2x 后，直线 y 3y
2x 3y 0变成直线x y 0
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的 图形的方程是x2 y2 1
49 所以，经过伸缩变换{x 2x 后，圆x2 y2 1
y 3y 变成椭圆x2 y2 1
49
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭 圆。
思考： 在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换
8
6
4
2
-10
-5
-2
-4
5
10
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
人教A版高中数学选修4-4课件 1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换课件1
x
y
3x后，
y
曲线C变为 x2 9 y2 9，求曲线C的方程并画出图
形.
2.解：将xy
3x y
代入
x2 -9y2 =9
得9x2 -9y2 =9 即x2 -y2 =1
课堂小结：
(1)体会坐标法的思想，应用坐标法解 决几何问题；
(2)掌握平面直角坐标系中的伸缩变换.
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x， y)对应P′ (x′， y′).
称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换.
注 (1) 0, 0
(2)把图形看成点的运动轨迹， 平面图形的伸缩变换可以用坐标 伸缩变换得到；
(3)在伸缩变换下，平面直角坐 标系不变，在同一直角坐标系下 进行伸缩变换.
例2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
x'
y
'
3x, y
后，曲线C变为曲线
x '2 9 y '2
9,
求曲线C的方程并画出图象.
随堂练习
x' x
2、经过伸缩变换
y
'
1 9
y
后，曲线变为
x2 - 9 y2 1,求原方程
典型例题3
已知原曲线方程及变换后曲线方程，求伸缩变换
例3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列 图形变换的伸缩变换： (1)直线x－2y=2变成直线2x′ － y′=4. (2)曲线x2－y2－2x=0变成曲线 x '2 16 y '2 4x 0.
第一讲 坐标系
1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x？ y
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
换
x’=3x
y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
后，
课堂小结：
（1）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8
4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
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涸、泪渐干？洛月躲在屋里，手心冒汗。她遵照 的意思，取闺房中现成的红染料浸出水，趁人看不见打进泥土中，芙蓉树吸了，汁液中便 流着红色，又从断口中渗出来。洛月在做这事时，只以为吓唬吓唬那些敢挖树的人，没想到会惊动到老太太，闹得这么大。老太太看过了 那些“血泪”，甚至闻了闻，问嘉颜：“留了么？”嘉颜道：“留了一份，送到外头验了。”老太太道：“快把树请回土里去，好生照料 着。”众人应着。老太太进宝音屋里来。宝音倚在床边，长发在颈后以丝巾束住，简洁柔婉，纤细双肩披袭淡色长衣，见老太太进来，忙 叫乐韵扶她行礼。老太太叫止了。嘉颜不听，在地上行了大礼，依次对大太太二太太也施礼毕，呜咽：“惊动这么多长辈，毓笙心下惭愧 死了。”第二十四章 芙蓉泣血移宝屋（2）“糊涂孩子，”老太太看着乐韵把 扶回床上坐着，“那树有异常，又关你什么事？”宝音道： “总是毓笙院子里出的事……”老太太听宝音说话，不带咳喘，气息撑得下来，虽还娇弱，遣词行句倒比从前还得体了些，再仔细看她脸 上，气色也见好些，眸光温润内敛，更非从前那恹恹抱恙的目光，不由惊奇道：“笙儿，你身体见好？”宝音答道：“多托外婆的福，多 亏大舅母、二舅母关心照料，自从用了于大夫新药之后，笙儿自己觉得是一天天爽利起来。”老太太又问：“昨天晚上，可惊着你了不 成？”宝音便有些迟疑：“笙儿一早起来，听丫头们讲说，半夜有什么声音……还觉奇怪呢，怎么笙儿似乎没听着什么。”老太太便问丫 头：“昨晚你们听见什么？”乐韵对答如流：“是听见怪声，像有人哭，婢子惊醒回来，看姑娘睡得熟熟的，不敢惊动。幸好那怪声持续 时间不长，很快就止息了。早上，听其他人也说这事，不是婢子一个人错听，这才不敢瞒了，便照实禀报了姑娘。”老太太抚摸着宝音的 手：“可怜见的。”宝音的手温暖，不湿、不燥。老太太很欣慰，这是一双健康的手。若真有恶鬼闹事，屋主人怎还会如此健康？老太太 放心多了，宝音看着老太太，一脸依恋和求助：“外婆，其实，昨晚……”又不敢说下去。老太太鼓励她：“昨晚怎么了？说呀？”宝音 悄悄抬起一点眼皮，又不敢说。老太太便命大太太二太太：“没什么事了，你们先回罢。我这儿同孩子说会儿话。”大太太二太太便告退， 并乐韵都送客出去了，屋里只剩下老太太和宝音。老太太道：“好孩子，有什么话，你信得过外婆，但说出来，不妨事！”宝音感戴道： “这事，笙儿想来想去，也只有同外婆讲，人家说不定怎么笑话我呢！外婆一直明达，想必不会斥责笙儿。”“绝不会斥责的。”老太太 答应她，“你讲罢！”宝音道：“其实昨晚，笙儿做了个梦，有人青裙粉帔，似乎是——极
最新平面直角坐标系中的伸缩变换教学讲义ppt
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
得到 (x)2(y)21,
即
故所求的伸缩变换为 x 1x, y 1y.
3
2
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 36 2x2 36 2y23,6 ①
→
(adj.)高兴的;满意的
→
(v.)使满意
14.history
→
(adj.)
基础自主梳理
·形容词
15.lolcoaclally →
(advs.)uddenly 16.spuodpduelnarit→y
将①式与4 x2 + 9 y2 = 36比较, 得
1/3,1/2
.
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 36 2x2 36 2y23,6 ①
将①式与4 x2 + 9 y2 = 36比较, 得
1/3,1/2
故所求的伸缩变换为 x 1x, y 1y.
x y
2x 3y
①
(1) 2 x + 3 y = 0 ; (2) x2 + y2 = 1.
解:
(1)
由伸缩变换
x y
2x 3y
① 得到
解:
(1)
1.1.2平面上的伸缩变换
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? y
1
y=sinx
2
3
O
x
1
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
两者的对应关系：
x
y
1 2 y
x
①
通常把 ① 叫做
平面直角坐标 系中的一个坐 标压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变。
两者的对应关系：
x y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平面
直角坐标系中的一个 坐标伸长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换.
例：在直角坐标系中，求下列方程所 对应的图形经过伸缩变换
x’=x y’=3y 后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
1.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 2.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的
一个坐标伸缩变换。
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x? y
1
y=sinx
2
3
O
x
1
y=sin2x
横坐标缩短为原来的1/2，纵坐标不变。
伸缩前点的坐标：(x, y)
伸缩后点的坐标：(x′, y′)
两者的对应关系：
x
y
1 2 y
x
①
通常把 ① 叫做
平面直角坐标 系中的一个坐 标压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?
y 2
y=3sinx
1
y=sinx
2
O
x
1
2
纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变。
两者的对应关系：
x y
x 3y
②
通常把 ② 叫做平面
直角坐标系中的一个 坐标伸长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换.
例：在直角坐标系中，求下列方程所 对应的图形经过伸缩变换
x’=x y’=3y 后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
1.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 2.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 x’=3x 后， y’=y
y
1
2
O
x
1
1
x′= 2x y′=3y
通常把 ③ 叫做平
3
面直角坐标系中的
一个坐标伸缩变换。
定义： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
高中数学课件：平面直角坐标系中的伸缩变换
由上所述可以发现，在伸缩变换(4)下， 直线仍然变成直线，而圆可以变成椭圆。
思考： 在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
第十四页，编辑于星期一：点 二十八分。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应 的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。 （1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
x’=x 2
y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸长变换。
第六页，编辑于星期一：点 二十八分。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。
第七页，编辑于星期一：点 二十八分。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 的 1 ，在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍2 ，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=12 x 3 y’=3y
通常把 3 叫做平面直角坐标系中的
一个坐标伸缩变换。
第八页，编辑于星期一：点 二十八分。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任 意一点，在变换
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
4
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
2x 3y 0变成直线x y 0
第十二页，编辑于星期一：点 二十八分。
(2)、将(5)代入x2 y2 1,得到经过伸缩变换后的 图形的方程是 x2 y2 1
49 所以，经过伸缩变换{x 2x 后，圆x2 y2 1
y 3y 变成椭圆 x2 y2 1
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
8 6
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8 6
4
2
5
10
-2
-4
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 2 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=
1 2
x
y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
例2、在平面直角坐标系中 ，求下列方程所 x 2 x 对应的图形经过伸缩变 换{ 后的图形。 y 3 y (1)、 2x 3y 0 (2)、x y 1
2 2
1 x x x 2x 2 (5) 解： (1)由伸缩变换 { 得到{ 1 y 3 y y y 3 将(5)代入2 x 3 y 0, 得到经过伸缩变换 后的方程为x y 0 x 2 x 所以，经过伸缩变换 { 后，直线 y 3 y 2 x 3 y 0变成直线x y 0
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换 ( 0) x' x 4 : ( 0) y' y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
4
2
-10
-5
5
10
-2
-4
在正弦曲线上任取一点P（x,y）， 保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原 来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=x 2 y’=3y
通常把 2 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
8 6
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在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 的 ，在此基础上，将纵坐标变为原 2 来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) x’=
1 2
x
y’=3y 通常把 3 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
例2、在平面直角坐标系中 ，求下列方程所 x 2 x 对应的图形经过伸缩变 换{ 后的图形。 y 3 y (1)、 2x 3y 0 (2)、x y 1
2 2
1 x x x 2x 2 (5) 解： (1)由伸缩变换 { 得到{ 1 y 3 y y y 3 将(5)代入2 x 3 y 0, 得到经过伸缩变换 后的方程为x y 0 x 2 x 所以，经过伸缩变换 { 后，直线 y 3 y 2 x 3 y 0变成直线x y 0
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点，在变换 ( 0) x' x 4 : ( 0) y' y
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
平面直角坐标系中的伸缩变换
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
的作用下，点P(x,y)对应 P' (x', y') 称 为平面直角坐
标系中的伸缩变换。
注 : （1）λ>0,μ>0
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩 变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同 一直角坐标系下进行伸缩变换。
坐标伸长变换
8
6
4 2
- 10
-5 -2 -4
5
10
-6
-8
设P( x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，保持
横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到
点P '
(
x'
,
y'
),那么{
x' x y' 3 y
(2)
我们把(2)式叫做平面直角坐标系中的一个坐标
伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写 出其坐标变换
平面直角坐标系的伸缩变换
定义：设点P( x, y)是平面直角坐标系中的
任意一点，在变换
φ：{ yx
λ μ
x( y(
λ μ
0) 0)
的作用下，点P( x, y)对到应点P( x, y)，称 为
平面直角坐标系中的坐 标伸缩变换简称伸缩变 换
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变
换
:
压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y sin x得到曲线y 3sin x?
如图，在正弦曲线 y sin x上任取一点P( x, y), 保持横坐标x不变，将纵坐标 y伸长原来的3倍， 那么正弦曲线y sin x就变成曲线y 3sin x
平面直角坐标系中的伸缩变换
探 究 结 果：
探 究 结 果：
探 究 结 果：
知 识 梳 理： 平面直角坐标系中的伸缩变换定义
例 题：
例 题：
例 题：
思考
• 【思考1】 伸缩变换一定会改变点的坐标和所在象限位置吗？
• 【思考2】 在伸缩变换下，圆是否可以变成椭圆？椭圆是否可以 变为圆？直线、双曲线、抛物线变成什么曲线？
• 【下面我们带着这两个“思考”完成“练习”后进行总结：】
【练 习】
【练 习 解 析】
【练 习 解 析】
思 考 小结
• 【思考1】 伸缩变换一定会改变点的坐标和所在象限位置吗？
• 【思考2】 在伸缩变换下，圆是否可以变成椭圆？椭圆是否可以 变为圆？直线、双曲线、抛物线变成什么曲线？
思考
【思考3】 如果我们对图形的伸缩变换加上“周期性”，那 么变换后的图形是怎么样的呢？
第二步，通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
探究
• 探究(1) 如何由y＝sin x的图象得到y＝sin 2x的图象？ • 探究(2) 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin x的图象？ • 探究(3) 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？
例 题：坐标系中的伸缩变换
一、复习巩固
• (1)平面直角坐标系的概念 在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，
简称直角坐标系． • (2)对应关系：
平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x，y) 之间一一对应． • (3)坐标法解决几何问题的“三部曲”：
第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素， 将几何问题转化为 代数 问题；
直角坐标系中的伸缩变换课件PPT
03 伸缩变换的矩阵表示
二维伸缩变换的矩阵表示
总结词
描述二维平面上的点通过伸缩变换后的坐标变化。
详细描述
在二维直角坐标系中，伸缩变换可以通过一个矩阵来表示。假设原点为 $(x, y)$， 经过伸缩变换后变为 $(x', y')$，则变换矩阵可以表示为
二维伸缩变换的矩阵表示
• $\begin{pmatrix}
02
在直角坐标系中，设原点为 $O(0,0)$，点$P(x,y)$经过伸缩变 换后变为点$P'(x',y')$，则变换公 式为：$x' = kx, y' = ky$，其中 $k$为伸缩系数。
伸缩变换的性质
伸缩变换保持点之间 的距离不变，即 $|OP| = |OP'|$。
伸缩变换可以同时对 x和y进行放大或缩小， 但比例系数必须相同。
伸缩变换的理论研究
01
02
03
理论框架
深入探讨伸缩变换的基本 原理、数学表达和推导过 程，建立完善的理论框架。
性质研究
研究伸缩变换的性质，如 线性、可逆性、连续性和 可微性等，并探讨其在不 同坐标系下的表现。
几何意义
从几何角度解释伸缩变换， 探究其在图形、曲线和曲 面等几何对象上的应用和 表现。
伸缩变换的应用研究
02 伸缩变换在直角坐标系中 的应用
横向伸缩变换
总结词
在直角坐标系中，横向伸缩变换 是指沿x轴方向的伸长或缩短。
详细描述
横向伸缩变换通过乘以一个大于1 的系数来增加x轴上的长度，或者 乘以一个小于1的系数来减小x轴 上的长度。这种变换不会改变点 在y轴上的坐标。
纵向伸缩变换
总结词
纵向伸缩变换是指沿y轴方向的伸长或缩短。
高二数学平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
在伸缩变换(4)下，椭圆是否可以变成圆？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x’=x; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列 图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变 为曲线x’2+y’2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
二.平面直角坐标系中的伸缩 变换
思考： （1）怎样由正弦曲线y=sinx得到 曲线y=sin2x? y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)， 保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 1 的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
2
上述的变换实质上就是一个坐标的 压缩变换，即：
换
x’=3x
y’=y 曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的 方程并画出图形。
后，
课堂小结：
（1）掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业： P8
4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）
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x y
2x 3y
①
(1) 2 x + 3 y = 0 ; (2) x2 + y2 = 1.
解:
(1)
由伸缩变换
x y
2x 3y
① 得到
解:
(1)
由伸缩变换
x y
2x 3y
x
1 2
x
y
1 3
y
① 得到
xy0.
解: (1) 由伸缩变换
x 2x
y
3
y
得到
x
y
1 2 1 3
x y
ysinx
复习回顾
问题1：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y= sin 2x的图象.
问题2：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得
到函数 ysinx的图象.
复习回顾
问题1：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y= sin 2x的图象.
问题2：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得
49
所以,
经过伸缩变换
x
y
2x 3x
后,
解: (2) 代入 x2 + y2 = 1 ,得到经过伸缩
变换后的图形的方程是
x2 y2 1.
49
所以,
经过伸缩变换
x
y
2x 3x
后,
圆 x2 + y2 = 1变成椭圆
x2 y2 1. 49
例 (1) 在同一平面直角坐标系中, 求满 足下列图形变换的伸缩变换: 曲线 4 x2 + 9
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
得到 (x)2(y)21,
即
故所求的伸缩变换为 x 1x, y 1y.
3
2
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 32 6 x 2 36 2y 2 3,6 ①
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 32 6 x 2 36 2y 2 3,6 ①
将①式与4 x2 + 9 y2 = 36比较, 得 .
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 32 6 x 2 36 2y 2 3,6 ①
平面直角坐标系中 的伸缩变换
复习回顾
问题1：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y= sin 2x的图象.
ysinx
复习回顾
问题1：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y= sin 2x的图象.
ysinx
复习回顾
问题1：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y= sin 2x的图象.
将①式与4 x2 + 9 y2 = 36比较, 得
1/3,1/2
.
x x
解:
(1)
设伸缩变换为
y
y
,
代入
x2 y2 1 得到 (x)2(y)21,
即 32 6 x 2 36 2y 2 3,6 ①
将①式与4 x2 + 9 y2 = 36比较, 得
1/3,1/2
故所求的伸缩变换为 x 1x, y 1y.
①
P(x,y)
定义: 设点P( x, y )是平面直角坐标
系中的任意一点, 在变换
: x y xy(( 00)).
①
的作用下, 点 P( x, y) 对应到点 P(x,y) ,
称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,
简称伸缩变换.
例2 在平面直角坐标系中, 求下列方程
所对应的图形经过伸缩变换 后的图形
到函数 ysinx的图象.
问题3：如何由正弦函数 y= sin x 的图象得 到函数 y =A sin x的图象
定义: 设点P( x, y )是平面直角坐标 系中的任意一点, 在变换
P(x,y)
定义: 设点P( x, y )是平面直角坐标
系中的任意一点, 在变换
: x y xy(( 00)).
解: (2) 代入 x2 + y2 = 1 ,得到经过伸缩 变换后的图形的方程是
解: (2) 代入 x2 + y2 = 1 ,得到经过伸缩
变换后的图形的方程是
: (2) 代入 x2 + y2 = 1 ,得到经过伸缩
变换后的图形的方程是
x2 y2 1.
y2 = 36 变成曲线 x2y2 1.
x 3x
y
y
例 (1) 在同一平面直角坐标系中, 求满 足下列图形变换的伸缩变换: 曲线 4 x2 + 9
y2 = 36 变成曲线 x2y2 1.
(2) 在同一平面直角坐标系中, 经过伸缩变
换
x y
3 x后, y
曲线C变为 x29y2 9
, 求曲线C的方程.
3
2
(2) x2y21.
作业与预习
(2) x2y21.
作业与预习
(2) x2y21.
作业与预习
作业： P8 4, 5 预习： 极坐标系（书本P9-P11）
代入2 x + 3 y = 0 ,得到经过伸缩 变换后的图形的方程是
xy0.
xy0.
解: (1) 由伸缩变换
x 2x
y
3
y
得到
x
y
1 2 1 3
x y
代入2 x + 3 y = 0 ,得到经过伸缩 变换后的图形的方程是
xy0.
x 2x
所以, 经过伸缩变换
y
3x
后, 直线
2 x + 3 y = 0 变成直线 xy0.