边界元通用大规模快速算法研究
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Ａｐ ． ｒ ２０１ ０
文 章 编 号 ：０ ７—１４ （ ００ ０ ０ ７ ０ １０ ４ Ｘ ２ １ ） ２— １８— ４
文 献 标 志 码 ： Ａ
边 界 元 通 用大 规 模 快 速 算 法研 究
王 鹏 ， 王海涛 ， 于溯源
（ 清华大学 核能与新能源技术研究院 ， 北京 １０ ８ ） ００ ４
摘 要： 针对传统边界元法受计算效 率的限制 ， 不适合求解大规模问题的问题 ， Ａ Ａ（ｄｐｉｅｃｏｓａｐｏｉ 将 Ｃ ａ ａｔ ｒｓ ｐ ｒｘ ｖ — ｍ ｔ ｎ 算 法用于边 界元 法 的大规模 快速求解 ， ａｉ ） ｏ 分析使用 Ａ Ａ算 法的边界元 求解计算复 杂度和求解 流程 ， Ｃ 数 值研究 Ａ Ａ算法 的计算精度和适用 的求解范 围 ， 与其他算 法 比较 。结果 表 明， Ｃ Ｃ 并 Ａ Ａ算 法与传 统求解 算法
呈 ２次或更高的增长速度 ， 将很快达到计算机的 求解能力上 限。因此 ， 传统边界元法不适合处理 大规模 问题 。
为提高 边界 元 法 的求 解 效 率 ， 边界 元 法 与 将 求解具 有类 似特 征物理 场 的快速算 法结 合成 为近 年来 边 界 元 的 主 要 研 究 方 向 之 一 。１８ 年 ， ９６
算复杂度和求解流程 ， 研究 Ａ Ａ算法的计算精度 Ｃ 和适 用 的求解 范 围 ， 并与 其他算 法 比较 。
收 稿 日期 ：０９— ９—１． ２０ ０ ２
作者简介： 王
鹏 （９ ５一） 男 ， １８ ， 河南南阳人 ， 清华大学核能与新能源技术研究 院博士研究生
第３ ２卷 第 ２期
与有限元法相 比， 边界元法只需在结构表面 离散 网格 Ｊ且 易 于 处 理 无 限域 ， ， 因此 适 用 于声 场、 电磁场和温度场等多种物理场 的数值计算 。 例如 在结 构振 动 噪声 仿 真 中 ， 界元 法 可用 于 内 边 域和外域声场计算 ， 并可与有 限元结构计算耦合 分析 Ｊ 。传统边 界元 法形 成 的线 性 代数 方 程组 Ａ Ｂ中的系数矩阵Ａ通常是满阵 ， Ｘ＝ 对于某些物
速多极算法 的基 础上进 一 步提 出新 型快 速 多极 算 法， 引入 了指数 展开 的概 念 ， 将该 算 法对 三维 问题 的求解 速度大 幅度 提高 。从 ２ 纪 ９ ０世 ０年代 末 至今 ， 快速 多极 算 法 和 边界 元 法 结 合 的快 速 多 将 极 边界元 法 的研究 有 了很 大 的进展 ， 并用 于声 场 、 电磁场 、 弹性 场和 温 度 场 等 多个 物 理 领域 的大 规 模 数值 仿 真 。快 速 多 极 边 界 元 法 的 求 解 效
ＢＲ Ｅ Ａ Ｎ Ｓ和 Ｈ Ｔ 出树代码算法 ， Ｕ 提 将多粒子场 的计算量降至 Ｏ Ｎ ｌ Ｎ） ９７年， Ｒ Ｅ Ｇ Ｒ （ 。１８ ｇ Ｇ ＥＮ Ａ Ｄ 和 Ｒ Ｋ ＬＮ 提 出 快 速 多 极 算 法 （ａｔｍ ｈｐｌ Ｏ ＨＩ ｆｓ ｕｉｏ ｅ
大规模快速求解 ， 使用 Ａ Ａ算法的边界元求解计 Ｃ
第３ ２卷 第 ２ 期
２１ 年 ４月 ００
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工Hale Waihona Puke Baidu程 版
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （Ｎ Ｏ Ｍ ＴＯ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
Ｖｏ ＿ ２ Ｎ ． ｌ３ ｏ ２
理场 问题如 弹性 力 学 来 说 ， 是 非 对 称 的。满 阵 Ａ 的存储 量 级 是 ０（ ） 其 中 ， ， Ⅳ为 边 界 元 方 程 的 未知量个 数 。使用 直接算 法 如高斯 消去 法 、Ｕ分 Ｌ
ｍ ｔｏ ，ＭＭ） ， ｅ ｄＦ ｈ Ｊ将此类 问题 的计算量进一步 降至
Ｏ Ｎ） ９ ７年 ， Ｒ Ｅ Ｇ Ｒ 和 Ｒ Ｋ Ｉ 在 快 （ 。１９ Ｇ ＥＮ Ａ Ｄ Ｏ ＨＬＮ
解法等求解该方程组所需计算量级为 Ｏ Ⅳ ） 使 （ ３； 用迭代算法如共轭梯度法 （ Ｇ 、 Ｃ ） 广义极小残差法 （Ｍ Ｅ） Ｇ Ｒ Ｓ 等求解计算量级为 Ｏ ） 其 中， （ ， 为 迭代收敛 步数 ， 常近似看做 是远小 于 Ⅳ 的常 通
数 。可 以看 出 ， Ⅳ增 加 时 ， 统边 界 元 法无 论 当 传 使用 直接解 法还 是 迭 代 解 法 ， 其存 储 和 计 算 量均
率与边界元的未知量呈线性关系 ， 因此 ， 边界元法 能够求解大规模 问题。但该算法的难点是与特定 物理 问题 相关 ， 要 针 对不 同物 理 场 的基 本 解 寻 需
找 特 定 的 展 开 格 式 。２ ０ ０ ３年 ， Ｅ Ｅ Ｄ Ｒ Ｂ Ｂ Ｎ Ｏ Ｆ和 Ｒ Ａ Ａ Ｏ 提 出了 Ａ Ａ算 法 ¨ 用 于 对 秩 很 小 ＪＳ Ｎ Ｗ Ｃ ， 的矩 阵进行 快速 向量 内积 分解 和存储 。考虑 到使 用树结 构递 归分 解求解 域 后每两 个相距 较远 的树
相 比， 在求解效率上有数量级 的提高 ， 同时可以控 制精度 ， 能够在单台普通微机上完成大规模 复杂结构 的边 界 元数值仿真。 关键词 ： 边界元 ；Ａ Ａ算法 ；大规模 问题 ；声场 ；电磁场 Ｃ 中图分类号 ：Ｂ １ ；Ｐ １ Ｔ １５ Ｔ ３９ Ｄ Ｉ１ ．９ ３ｊｉ ｎ １０ Ｏ ：０ ３６ ／． ｓ．０ ７—１４ ．００ ０ ．０ ｓ ４ Ｘ ２ １ ．２ ０３
节点包含的边界单元集合形成的系数子矩阵的秩
很小 ， 因此 可将 Ａ Ａ算法 用于递 归 的子矩 阵 的快 Ｃ
速近似和存储 ， 而可用于边界元大规模快速求 从
解 ， 与物理 背景 无关 。 且
笔 者介 绍 了声 场 、 电场 和温 度 场 等多 类 物 理 场 的边 界积分 方程 ， Ａ Ａ算法 用 于边界 元法 的 将 Ｃ
文 章 编 号 ：０ ７—１４ （ ００ ０ ０ ７ ０ １０ ４ Ｘ ２ １ ） ２— １８— ４
文 献 标 志 码 ： Ａ
边 界 元 通 用大 规 模 快 速 算 法研 究
王 鹏 ， 王海涛 ， 于溯源
（ 清华大学 核能与新能源技术研究院 ， 北京 １０ ８ ） ００ ４
摘 要： 针对传统边界元法受计算效 率的限制 ， 不适合求解大规模问题的问题 ， Ａ Ａ（ｄｐｉｅｃｏｓａｐｏｉ 将 Ｃ ａ ａｔ ｒｓ ｐ ｒｘ ｖ — ｍ ｔ ｎ 算 法用于边 界元 法 的大规模 快速求解 ， ａｉ ） ｏ 分析使用 Ａ Ａ算 法的边界元 求解计算复 杂度和求解 流程 ， Ｃ 数 值研究 Ａ Ａ算法 的计算精度和适用 的求解范 围 ， 与其他算 法 比较 。结果 表 明， Ｃ Ｃ 并 Ａ Ａ算 法与传 统求解 算法
呈 ２次或更高的增长速度 ， 将很快达到计算机的 求解能力上 限。因此 ， 传统边界元法不适合处理 大规模 问题 。
为提高 边界 元 法 的求 解 效 率 ， 边界 元 法 与 将 求解具 有类 似特 征物理 场 的快速算 法结 合成 为近 年来 边 界 元 的 主 要 研 究 方 向 之 一 。１８ 年 ， ９６
算复杂度和求解流程 ， 研究 Ａ Ａ算法的计算精度 Ｃ 和适 用 的求解 范 围 ， 并与 其他算 法 比较 。
收 稿 日期 ：０９— ９—１． ２０ ０ ２
作者简介： 王
鹏 （９ ５一） 男 ， １８ ， 河南南阳人 ， 清华大学核能与新能源技术研究 院博士研究生
第３ ２卷 第 ２期
与有限元法相 比， 边界元法只需在结构表面 离散 网格 Ｊ且 易 于 处 理 无 限域 ， ， 因此 适 用 于声 场、 电磁场和温度场等多种物理场 的数值计算 。 例如 在结 构振 动 噪声 仿 真 中 ， 界元 法 可用 于 内 边 域和外域声场计算 ， 并可与有 限元结构计算耦合 分析 Ｊ 。传统边 界元 法形 成 的线 性 代数 方 程组 Ａ Ｂ中的系数矩阵Ａ通常是满阵 ， Ｘ＝ 对于某些物
速多极算法 的基 础上进 一 步提 出新 型快 速 多极 算 法， 引入 了指数 展开 的概 念 ， 将该 算 法对 三维 问题 的求解 速度大 幅度 提高 。从 ２ 纪 ９ ０世 ０年代 末 至今 ， 快速 多极 算 法 和 边界 元 法 结 合 的快 速 多 将 极 边界元 法 的研究 有 了很 大 的进展 ， 并用 于声 场 、 电磁场 、 弹性 场和 温 度 场 等 多个 物 理 领域 的大 规 模 数值 仿 真 。快 速 多 极 边 界 元 法 的 求 解 效
ＢＲ Ｅ Ａ Ｎ Ｓ和 Ｈ Ｔ 出树代码算法 ， Ｕ 提 将多粒子场 的计算量降至 Ｏ Ｎ ｌ Ｎ） ９７年， Ｒ Ｅ Ｇ Ｒ （ 。１８ ｇ Ｇ ＥＮ Ａ Ｄ 和 Ｒ Ｋ ＬＮ 提 出 快 速 多 极 算 法 （ａｔｍ ｈｐｌ Ｏ ＨＩ ｆｓ ｕｉｏ ｅ
大规模快速求解 ， 使用 Ａ Ａ算法的边界元求解计 Ｃ
第３ ２卷 第 ２ 期
２１ 年 ４月 ００
武 汉 理 工 大 学 学 报 ・信 息 与 管 理 工Hale Waihona Puke Baidu程 版
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｔ ＩＦ Ｒ Ａ ＩＮ＆Ｍ Ｎ Ｇ Ｍ Ｎ Ｎ ＩＥ ＲＮ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＷＵ （Ｎ Ｏ Ｍ ＴＯ Ａ Ａ Ｅ Ｅ ＴＥ ＧＮ Ｅ ＩＧ
Ｖｏ ＿ ２ Ｎ ． ｌ３ ｏ ２
理场 问题如 弹性 力 学 来 说 ， 是 非 对 称 的。满 阵 Ａ 的存储 量 级 是 ０（ ） 其 中 ， ， Ⅳ为 边 界 元 方 程 的 未知量个 数 。使用 直接算 法 如高斯 消去 法 、Ｕ分 Ｌ
ｍ ｔｏ ，ＭＭ） ， ｅ ｄＦ ｈ Ｊ将此类 问题 的计算量进一步 降至
Ｏ Ｎ） ９ ７年 ， Ｒ Ｅ Ｇ Ｒ 和 Ｒ Ｋ Ｉ 在 快 （ 。１９ Ｇ ＥＮ Ａ Ｄ Ｏ ＨＬＮ
解法等求解该方程组所需计算量级为 Ｏ Ⅳ ） 使 （ ３； 用迭代算法如共轭梯度法 （ Ｇ 、 Ｃ ） 广义极小残差法 （Ｍ Ｅ） Ｇ Ｒ Ｓ 等求解计算量级为 Ｏ ） 其 中， （ ， 为 迭代收敛 步数 ， 常近似看做 是远小 于 Ⅳ 的常 通
数 。可 以看 出 ， Ⅳ增 加 时 ， 统边 界 元 法无 论 当 传 使用 直接解 法还 是 迭 代 解 法 ， 其存 储 和 计 算 量均
率与边界元的未知量呈线性关系 ， 因此 ， 边界元法 能够求解大规模 问题。但该算法的难点是与特定 物理 问题 相关 ， 要 针 对不 同物 理 场 的基 本 解 寻 需
找 特 定 的 展 开 格 式 。２ ０ ０ ３年 ， Ｅ Ｅ Ｄ Ｒ Ｂ Ｂ Ｎ Ｏ Ｆ和 Ｒ Ａ Ａ Ｏ 提 出了 Ａ Ａ算 法 ¨ 用 于 对 秩 很 小 ＪＳ Ｎ Ｗ Ｃ ， 的矩 阵进行 快速 向量 内积 分解 和存储 。考虑 到使 用树结 构递 归分 解求解 域 后每两 个相距 较远 的树
相 比， 在求解效率上有数量级 的提高 ， 同时可以控 制精度 ， 能够在单台普通微机上完成大规模 复杂结构 的边 界 元数值仿真。 关键词 ： 边界元 ；Ａ Ａ算法 ；大规模 问题 ；声场 ；电磁场 Ｃ 中图分类号 ：Ｂ １ ；Ｐ １ Ｔ １５ Ｔ ３９ Ｄ Ｉ１ ．９ ３ｊｉ ｎ １０ Ｏ ：０ ３６ ／． ｓ．０ ７—１４ ．００ ０ ．０ ｓ ４ Ｘ ２ １ ．２ ０３
节点包含的边界单元集合形成的系数子矩阵的秩
很小 ， 因此 可将 Ａ Ａ算法 用于递 归 的子矩 阵 的快 Ｃ
速近似和存储 ， 而可用于边界元大规模快速求 从
解 ， 与物理 背景 无关 。 且
笔 者介 绍 了声 场 、 电场 和温 度 场 等多 类 物 理 场 的边 界积分 方程 ， Ａ Ａ算法 用 于边界 元法 的 将 Ｃ