高中数学--立体几何中的外接球问题的分析

立体几何中的外接球问题的分析

1.问题呈现

题目 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面,若S ABC -O SC ⊥ABC ,则球的表面积为 .

1,120SC AB AC BAC ===∠=︒O 2.分析与解

分析：根据球的对称性，画出球和平面的截面圆，构建利用勾股定理求出球ABC Rt ∆的半径.

图1

解：如图1所示，设 的外接圆的圆心为，由题可知

ABC ∆'O ,则,所以球心在的正上方，且

1120AB AC BAC ==∠=︒，'1O B =O 'O

，所以外接球的半径，所以球的表面积为11'22OO =SC =r ==O 245S r ππ==3.举一反三

题1 已知四棱锥的顶点都在球上，底面是矩形，平面平P ABCD -O ABCD PAD ⊥面，为正三角形，,则球的表面积为

ABCD PAD ∆24AB AD ==O A. B. C. D.323π32π64π643

π

解 如图2，将四棱锥补为一个三棱柱,因为为正三角P ABCD -PAD QBC -PAD ∆

形，,所以的半径为2AD =PAD ∆O

,所以球的表面积为R ==O 26443ππ=

图2

题2 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为，则该球的体积为 .

解 如图3所示，正四棱锥的外接球的球心在它的高上，设球的半径P ABCD -O 1PO

为,底面边长为，所以,在中，,即R 4AC ='Rt AO O ∆222''OA O O O A =+,所以，所以球的体积 ()22242R R =-+52R =3412536

V R ππ==

图3

题3 在半径为5的球面上有不同的四点,若,则平面,,,A B C D AB AC AD ===被球所截得图形的面积为 .

BCD 解法1 如图4所示，过点作平面的垂线,连接,设所在截面A BCD 'AO ',OO OB BCD ∆

的半径为，因为所以在中，由余弦定理知：r 5,OA OB AB ===ABO ∆

,所以所以2222cos BO AB AO AB AO BAO =+-⨯⨯∠cos BAO ∠=

中，，所求面积sin BAO ∠='Rt ABO ∆4r BAO =∠=216S r ππ==

图4

解法2 如图4所示，过点作平面的垂线,连接,设所在截面A BCD 'AO ',OO OB BCD ∆

的半径为，.

r ''5OO AO ==

在中，,则，解得，所求'Rt AO B ∆222''AB O B O A =+(22205r =+4r =面积216S r ππ==