汽车振动学第二章

频率不相等的简谐运动 之和，一般不再是简谐 振动。
当两频率ω 与p相近时会产生振幅呈周期性变化的合成振动，
Δ
拍振
3.2 有阻尼振系在正弦型扰力作用下 的振动
X 1 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
放大因子，它代表稳态振幅X与激 振力幅F0静止作用于弹簧上的静位
移之比。
k p m
2
p 2 x 0 x
s 2est，方程变为 2 p 2 0 设解为x e ，则x s 解为s ip，其中i 1，方程的通解为
st
x c1eipt c2 e ipt c1 (cos pt i sin pt) c2 (cos pt i sin pt) (c1 c2 ) cos pt (c1 c2 )i sin pt B cos pt D sin pt B、D由初始条件确定（ 0时，x x0 t B x0 D x0 p x0 x x0 cos pt sin pt p x x0 ）
2.1.3 等效粘性阻尼
等效粘性阻尼系数
x X sin(t )
粘性阻尼力为

x X cos(t )

Fc c x cX cos(t )
粘性阻尼在振动的一周期内所作的功为
Wc Fc x dt cX 2 2 cos 2 (t )dt cX 2
系统响应
x(t ) a
1 (2 ) 2 (1 ) (2 )
2 2 2
sin(t )
例 小车重 490 公斤，可以简化为用弹簧支在轮子 上的一个重量，弹簧系数50 公斤／厘米，轮子的重 量与变形都略去不计 。路面成正弦波形，可以表示 为y=Ysin(2πx / L)，其中Y=4 cm，L=10 米。试求小 车在以水平速度v=36 公里／小时行驶时，车身上下 振动的振幅，设阻尼可以略去不计．
θ ，定义速比i=
2
，求轴向轴转化的单轴振
2

1

系的等效刚度。
2.1.2 等效质量
保持动能在等效前后不变 例题2.4 如图，除质量块m 的质量外，还要考虑到弹 簧k的本身质量的影响，假 设该弹簧单位长度的质量 为常量ρ，弹簧长度为L， 求一个与之等效的单自由 度振系的等效质量m
e
例题2.5 如图（a），发动机 配气机构中，摇臂AB的转 动惯量为J，气门的质量为 mv,弹簧的质量为ms，不计 挺杆的质量和变形，试求简 化为（b）所示等效系统在 A点的等效质量。
0 0
T

2
等效粘性阻尼在一个周期内所做的功等于非粘性阻尼所作的功wd
ceX wd
2
wd ce X 2
例题2.7 试求如图所示干摩擦阻尼的等效粘性
阻尼系数。
x m
2.1.4 振动微分方程
牛顿第二定律
① ② ③ ④ 建立力学模型 取隔离体 进行受力分析 应用牛顿第二定律
2.1.4 振动微分方程
振动的隔离
主动隔振
采用隔振措施后，振源传给地基的力为
f (t ) kx c x kX sin(t ) cX sin(t 90) FT sin(t )

FT (kX ) 2 (cX ) 2 kX 1 (2 ) 2
λ=1时的放大因子称为品质因子
1 p Q 2
单位谐函数法求强迫振动
单位谐函数法是指作用在系统上的激励为复数形式的单位
幅值简谐激振力， 系统运动微分方程为
f c (t ) e

it
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cost i sin t

m x c c x c kxc eit
xc (t ) H ( ) f c (t )
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
1 T m(l ) 2 2 1 U k (a ) 2 2 d 1 1 2 [ m(l ) k (a ) 2 ] 0 dt 2 2 k a 2 可得 ＋ ( ) 0 m l a k 圆频率 p l m
假定摆球的微幅振动为 简谐振动 A sin( pt ) 则 max A， Ap cos( pt )， max Ap 1 1 m(c max ) 2 m c2 A2 p 2 2 2 1 1 U max k1 (a max ) 2 k 2 (b max ) 2 m gc(1 cos max ) 2 2 1 2 (k1a 2 A2 k 2b 2 A2 m gcA ) 2 由于 Tmax U max Tmax 可得 k1a 2 k 2b 2 m gc p m c2
思考
• 求固有频率
有阻尼自由振动
令
k p m
2
n
c 2m
相对阻尼系数
n p
过阻尼
x Be
( 2 1 ) pt ( 2 1 ) pt

De
临界阻尼
x ( B Dt)e
pt
小阻尼
例题
质量m=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧
支承在四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引
e
例题2.2 如图所示振系，水平刚杆的质量不计，
在它的左端有一个固定铰支座，质量和弹
簧在杆上的分布如图所示，将振系简化为C 处的单自由度振系，求振系的等效刚度k
e
例题2.3 两轴平行、速比为i的齿轮传动机构， 齿轮的转动惯量可忽略不计。轴Ⅰ的刚度 为k ，转角为θ ，轴Ⅱ的刚度为k ，转角为
1 1 2
用能量法确定等效刚度
实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等
效系统弹簧势能相等
1 2 U a U e ke x 2
例题2.1 如图所示弹簧-质量振动系统，滑轮
与绳索之间无相对滑动，滑轮对其中心的
转动惯量为J，其半径为r，绳索上还有一个
作上下振动的质量m，若选取滑轮的角位移
作为系统的运动坐标，求系统的等效刚度k
第二章 单自由度系统的振动
2.1 单自由度振动系统
单自由度振动系统指的是在振动过程中，
振系的任一瞬间形态由一个坐标即可确定 的系统。
m
2.1.1 等效刚度
刚度k的定义
使系统的某点沿指定方向产生单位位移
时，在改点同一方向上所要施加的力，就
称为系统在该点沿指定方向的刚度。
F k x
弹性元件为等截面直圆杆，质量忽略不计，在杆 上不同截面处的刚度均不相同。 Ql3 下端D点在力作用下的伸长变形为 x D EA 拉压刚度为 k D Q EA
实际传递的力幅与不平衡力幅的比值称为 力传递率 1 (2 ) 2 FT a F0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
• 被动隔离
隔振系数
X b a (1 2 ) 2 (2 ) 2 1 (2 ) 2
测振仪表
有运动方程 m c( x xs ) k ( x xs ) 0 x 令z x xs，并设基座的振动规律 xs Y sin t 为 则 m cz kz ms m Y 2 sin t z x Z
不平衡转子激发的振动
支座正弦激扰引起的的振动
xs a sin t
有运动方程 m c( x xs ) k ( x xs ) 0 x 即 m cx kx cxs kxs x 可写为 2px p 2 x 2pxs p 2 xs x p 2 i 2p H ( ) 2 p 2 i 2p 1 (2 ) 2 H ( ) (1 2 ) 2 (2 ) 2 23 arctan 1 2 (2 ) 2
xD l3
B点截面沿水平方向的弯曲挠度为 f B 弯曲刚度为
P 3EJ kB 3 fB l1
Pl1
3
3EJ
C点截面处绕纵轴线的扭转角为 M t l 2 C
扭转刚度为 k M t C C l2
GJ p GJ p
2.1.1 等效刚度
组合弹簧系统的等效刚度
2.1.1 等效刚度

p
，称为频率比
F0 1 完整解 x x1 x2 B sin pt D cos pt sin t 2 k 1 将初始条件 x0，x0 代入，即得 x0 F0 1 x sin pt x0 cos pt (sin t sin pt) 2 p k 1 p 若 x0 0，x0 0有 x F0 1 (sin t sin pt) k 1 2 p
起的静压缩量均为λ =15cm。为了能迅速地减
st
少汽车上下振动，在四个支承处均安装了减
振器，由实验测得两次振动后振幅减小到
10%，即A /A =10，试求：
1 3
1）振动的减幅系数和对数衰减率
2）衰减系数和衰减振动的周期
3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数
2.3 单自由度振系的强迫振动
• 正弦型激励 • 周期激励 • 任意激励
能量法
T：动能；U：势能 对振动系统：T U 常数 d (T U ) 0，可由此建立振动微分 方程 dt
例题2.11 半径为r，重力为mg的圆柱体 在半径为R的圆柱面内滚动而不滑动， 试求圆柱体绕其平衡位置作微小振动的 振动微分方程。
2.2 单自由度振系的自由振动
x k m
m kx x
k 固有圆频率 p m 固有频率 固有周期 f T p 1 2 2
1 m 2 f k
例题2.12 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，
梁的质量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸
住两个集中质量m 、m 。梁在静止时，断电
1 2
使m 突然释放，求随后m 的振动。
2 1
固有频率的求法
根据固有频率的定义来求
频率响应函数
复数响应与复数激振力之比
1 1 k H ( ) H ( ) e i k m 2 ic 1 2 i 2
频率响应函数的模称为幅频特性
1 k H ( ) (1 2 ) (2 ) 2
频率响应函数的相位差角称为相频特性
2 arctan 1 2
小车的固有频率 p
k 50 980 10 rad/s m 490 2vt x vt 10t m/s，所以y Y sin Y sin 2t ＝2 L 故小车强迫振动的振幅 为 Y 4 6.6 cm 2 2 1 2 1 10
无阻尼振系在正弦型扰力作用下的 振动
k
m kx F0 sin t x
kx
m x m
k p m
2
F0 p x sin t x m
2
F(t)
通解 x1 B sin pt D cos pt A sin( pt ) 特解可设为 x2 X sin t 将x2 代入原方程有 (m 2 k ) X sin t F0 sin t F0 F0 1 故 X 2 k m k 1 2 其中
单自由度系统的无阻尼 自由振动是一种简谐振 动
固有频率是系统本身的 性质，与初始条件无关 速度、加速度也是简谐 振动
可将解写为 x A sin( pt ) x0 2 A x0 p
2
振幅 初相位
arctan
px0 x0 (rad/s) k m (HZ) (s)
运动微分方程 J m gSsin 假定角不大，有sin m gS 0 J 可以通过周期计算转动 惯量
固有频率的求法
由等效质量和等效刚度来求
固有频率的求法
应用能量法来求
T：动能；U：势能 对振动系统： U 常数 T d (T U ) 0，可由此建立振动微分 方程 dt 若动能达到最大 max时取势能为 ，则动能为 时，势能必取得最大值 max T 0 0 U Tmax＝U max，可由此得到固有频率