21.4_二重积分的变量替换

vu 2
( x, y ) (u , v )

D
,y
vu 2
1 2 1 2
( D D )

u
o
u v
D
x
v v2 uv o u
1 2
1 2
1 2

D
e v 1 d u d v
2
ee
1
例6. 计算由 所围成的闭区域 D 的面积 S . 解: 令 u

2
)
二、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
x x(u , v) (u , v) D D T : y y (u , v)
v
D
o
u
T
满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上偏导数连续;
(2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v ) 0; (u , v )
原式
D
r d r d
2
d
0
0 re
a
2
a
r
2
dr
(1 e
x
2
)
由于 e
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
注:
利用此例可得到反常积分公式
0
事实上,

4

e
x
2
dx

2
D2 D D1
(1 e
R
2
)


4
/4

2
(1 e
D
q
u
D J d u d v 3 p d u a d v 3 (q p)(b a)
练习题
填空题: 1、 将 f ( x , y ) dxdy , D 为 x 2 y 2 2 x ,表示为极坐
D
标形式的二次积分,为_____________________. 2、 将 f ( x , y ) dxdy , D 为 0 y 1 x , 0 x 1 ,表
ri ri i ,
o
i
积 分 和 f ( x i , y i ) i
i 1
n

n
A
f ( ri co s i , ri sin i )ri ri i ,
i 1

D
f ( x , y ) d xd y

D'
f ( r co s , r sin ) rd rd .
2 R
2
)
/4
例3
2 2
计算 ( x y )dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
2 2
x y 2 y ， x y 4 y 及直线 x
y 3 x 0 所围成的平面闭区域.
3x 0
2
3 y 0，
解
y
2
2

3
x y 4y
x
2 2
r 4 sin
积 分 和 f ( x i , y i ) i ,
i 1 n
一、利用极坐标计算二重积分
i 1 2 ( ri ri ) i
2
1 2
ri i
2
r ri ri
i i
r ri i
D

1 2
( 2 ri r i ) r i i
z
被柱面 x y 2 a x
2
2

D
4a x y d xd y
2 2 2 D
(D如图)
o
2a
4
4 a r r d r d
2 2
y
0
2 acos
4a r r dr
32 3 a (
3
2
2
x
y D

2

1 2

2 acos 0
x 3 3 1 2 2 2 2 acos 2 2 2 2 4 a r d(4 a r ) ( 4 a r ) |0 3
极坐标系下的二重积分

D
f ( x , y ) d xd y

D'
f ( r co s , r sin ) rd rd .
如果积分区域可表示为 D’: j1()rj2(), ab, 则

D'
f ( r co s , r sin ) rd rd
a
3y 0
1

x y 2y
6 r 2 sin
3 6
( x y ) dxdy
2 2 D


d
4 sin 2 sin
r rdr 15 (
2
2

3 ).
例4. 求球体 所截得的立体（Viviani体）的体积.
解: 由对称性可知,体积等于第一挂限的4倍 V=4

b
a
f ( x)dx f ( x(t )) x '(t )dt
a
b
3、注意该公式中Jacobian有绝对值，这是因为 二重积分化为累次积分后下限总是小于上限。
面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v 二重积分的换元公式:
D f ( x, y ) d x d y
o
a
Leabharlann Baidu
b
r
讨论 区域如下图, 如何确定积分限?
r j ( )
(1)
D
(2)
D
r j ( )
b
a
r
o
r
o
(1) f ( r cos , r sin ) rdrd
D

b
a
d
2

j ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
(2) f ( r cos , r sin ) rdrd
§21.4 二重积分的变量替换
一、利用极坐标计算二重积分 二、二重积分的一般换元法
一、利用极坐标计算二重积分
极坐标变换
x = r cos ， y = r sin ， (0 r , 0 2 ) .
考虑有界可求面积区域D上的连续函数f在D的 二重积分，则对D的任一分割T，我们希望可以表示

D
f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J ( x, y )
cos ( r , ) sin
r sin r r cos

如果积分区域可表示为 D’: 1 (r) 2 (r) ,arb, 则

D'
f ( r co s , r sin ) rd rd
2 (r )

b a
rdr
2 (r )
1 ( r )
f ( r cos , r sin ) d .
D
1 (r )
f ( x, y ) d x d y
D
D
f (r cos , r sin ) r d r d
yx
例5. 计算
e
y x
所围成的闭域.
x
J
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 y
x y 2
解: 令 u y x , v y x , 则


2
例 1 写出 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形式，
D
其中积分区域 D {( x , y ) | 1 x y
1 x ,
2
0 x 1} .
解
在极坐标系下
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
x r cos y r sin
y
2
,v
x
2
,则
x by
2
x
y
y
y qx
2
p u q D : a v b
D
y px x ay
2
2
D
1 (u , v )
J
( x, y ) (u , v )


1 3
o
x
v
b
( x, y )
S
D d x d y
1
q b
a o p
1
y
D
定积分换元法D D 是一一对应的 , (3) 变换 T :
b
o
x
则
t d (x ) d t a, fy( x)x dxy f [j((x)]j v(),)y (tu, v)) j (,tv)) d u d v a f (u , J (u D f ( x ) d D
b
面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v 二重积分的换元公式:
D f ( x, y ) d x d y

D
f ( x(u , v), y (u , v)) J (u , v) d u d v
注记：1、如 J (u, v) 仅在D’的个别点或者一条直线上为0, 则换元公式成立。 2、此公式对应定积分:
b
d
j ( )
1
j 2 ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
r j 1 ( )
r j 1 ( )
r j 2 ( )
D
r j 2 ( )
D
b
o
a
r
b
o
a
r
极坐标系下的二重积分

D
f ( x , y ) d xd y

D'
f ( r co s , r sin ) rd rd .
f ( r ) rdr ；
4、 d
4 0
sec sec tan
f ( r cos , r sin ) rdr ；
x y 1
2 2
1 sin cos
,
x y 1

D
f ( x , y ) dxdy



2
d
0

1 1
f ( r cos , r sin ) rdr .
sin cos
例2 计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 解: 在极坐标系下 D : ,故 0 2
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 3、 将 dx
0 2 3x
f(
x
2
x
2
y ) dy
2
化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 4、 将 dx
0 1 x 0
f ( x , y ) dy
化为极坐标形式的二次积分
为______________________.
练习题答案

1、 2 d
2
2 cos 0
f ( r cos , r sin )rdr ；
1
2、 2 d
0
3
(cos sin ) 0
f ( r cos , r sin ) rdr ；
3、 d
4
2 sec 0
D

d
0

j ( )
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么? (1)
y
r j ( )
(2) y
o
r j ( )
D
D
x
o
x
( 2)
答: (1) 0 ;

2