高一数学必修1集合知识点总结

高一数学必修1集合知识点总结
集合的含义与表示知识点总结
一、课标要求
《课程标准》对本课内容的要求是:能够了解集合的含义,知道常用数集的表示方法,了解集合元素的三个性质,会用适当的方法表示集合.集合知识是整个高中学习的基础,使学生掌握和使用数学语言表述数学问题的基础.通过学习集合知识,可以使学生更好的理解数学中的集合语言,可以使学生逐步运用集合的观点和思想分析数学问题.
二、本节知识要点
（1）集合的含义与表示;
（2）元素与集合之间的关系与表示;
（3）集合元素的三个基本性质;
（4）常用数集的表示;
（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;
（6）集合的分类.
三、集合的含义与表示
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.
四、元素与集合之间的关系与表示
a a
元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.
a∉
a∈a a A A
要求会判断元素与集合之间的从属关系.
五、集合元素的三个基本性质
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
确定性给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.
互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.
在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.
无序性 集合中的元素是没有顺序的.
如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.
六、常用数集的表示
自然数集N ; 正整数集N +或N *; 整数集Z ; 有理数集Q ; 实数集R .
七、集合的两种表示方法
集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn 图法）.
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举{}法.
用列举法表示集合时要注意以下几点:
（1）元素之间必须用逗号隔开;
（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;
（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;
（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;
（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个a {}a a {}a 元素的集合.二者具有从属关系,及.
a a A ∈ 列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.
描述法
定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,(){}x P I x ∈其中为集合的代表元素,I 表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有x x ()x P 的共同特征.
第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.
注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.
{}0322=--=x x x A {}062<-=x x B 用描述法表示集合时要注意以下几点:
（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;
（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;
（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示{}n x Z x 2=∈n 为或;
{}Z n n x Z x ∈=∈,2{}Z x n x x ∈=,2（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.
如集合,也可以写作.
{}02=+∈x x R x {}02=+x x x （5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;
（6）所有描述的内容都要写在大括号内;
（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.
当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.
例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解. ⎩
⎨⎧=-=+152y x y x 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.
解:解二元一次方程组得: ⎩⎨⎧=-=+152y x y x ⎩
⎨⎧==12y x 用列举法表示为,用描述法表示为. (){}1,2()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x 提示:与表示的是两个不同的集合.
(){}1,2(){}2,1例2. 指出集合与集合的区别.
{}12-=x y x (){}12,-=x y y x 注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其(){}x P I x ∈中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点x 集）.
解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的{}12-=x y x 12-=x y 取值范围,所以R ;
{}=-=12x y x 集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有(){}12,-=x y y x 12-=x y
点的坐标.
例3. 用合适的方法表示下列集合:
（1）文房四宝;
（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;
（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.
解:（1）;
{}砚纸墨笔,,,（2）;
{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,（3）.
(){}0,0,><y x y x 且例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:
（1）方程的所有实数根组成的集合;
022=-x （2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.
解:（1）列举法:;
{}2,2-描述法:或.
{}022=-∈x R x {}022=-x x （2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;
描述法:.
{}1511<<∈x Z x 八、集合的分类
集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集
含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作.
∅ 如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即012=+x {}012=+∈x R x .
{}∅==+∈012x R x 九、重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
02=++c bx ax
（1）当时,方程可化为的形式:
0=a 0=+c bx ①当时,方程有唯一一个实数根; 0≠b b
c x -=②当时,方程有无数个实数根;
0,0==c b ③当时,方程没有实数根;
0,0≠=c b （2）当时,原方程为关于的一元二次方程:
0≠a x ①若,则方程有两个不相等的实数根;
042>-=∆ac b ②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数042=-=∆ac b 根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若,则方程没有实数根.
042<-=∆ac b 提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.
例4. 已知集合.
{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122（1）若A 中只有一个元素,求的值;
a （2）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.
a 分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程的实数根组成的集0122=++x ax 合,该方程中含有参数,为含参方程.
a （1）集合A 中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方0122=++x ax 程可以说一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;
()0=a ()0≠a （2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没0122=++x ax 有实数根.
解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合0=a 012=+x 21-=x ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=21A 题意;
当时,∵只有一个实数根
0≠a 0122=++x ax ∴,解之得:
044=-=∆a 1=a 综上,当或时, A 中只有一个元素;
0=a 1=a （2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:或;
0=a 1=a 当A 中没有元素时,即方程没有实数根
0122=++x ax ∴,解之得:
044<-=∆a 1>a
综上,当或≥1时,A 中至多有一个元素.
0=a a 例5. 实数集A 满足条件:,若,则
. A ∉1A a ∈A a ∈-11（1）若,求A ;
A ∈2（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;
（3）求证:. A a
∈-11分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性. （1）解:∵, ∴ A ∈212≠A ∈-=-12
11∵ ∴ 11,1≠-∈-A ()A ∈=--21111∵ ∴ 121,21≠∈A A ∈=-22111∴﹛2 , , ﹜; =A 1-2
1（2）解:A 不能为单元素集合.
理由如下:若A 为单元素集合,则有,整理得: a
a -=
11012=+-a a ∵ ()031412<-=⨯--=∆∴方程没有实数根
012=+-a a ∴A 不能为单元素集合;
（3）证明:若,则 A a ∈A a ∈-11∴. A a
a a a ∈-=-=--11111
11
习题1. 已知集合.
{{}0232=+-=x ax x A （1）若A 为空集,求的取值范围;
a （2）若A 中只有一个元素,求的值;
a （3）若A 中至多有一个元素,求的取值范围.
a
集合间的基本关系知识点总结
本节知识点
（1）Venn 图,表示集合的图示法;
（2）子集的含义及表示;
（3）集合相等;
（4）真子集的含义及表示;
（5）空集的含义及其性质;
（6）子集、真子集个数的确定.
知识点一 Venn 图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.
关于Venn 图:
（1）Venn 图的边界是封闭的曲线,它可以是椭圆、圆、矩形,也可以是其它的封闭曲线;
（2）用Venn 图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.
知识点二 子集的含义及表示
子集反映的是集合之间的包含关系.
一般地,对于两个集合A , B ,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作（或B A ⊆）,读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.
A B ⊇对子集的理解:
（1）的Venn 图表示:
B A ⊆
（2）的符号表述:对任意的,都有.
B A ⊆A x ∈B x ∈（3）若集合A 中存在不属于集合B 的元素时,则集合A 不是集合B 的子集.
子集的性质:
（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集,即）;
∅⊆∅（2）传递性:若,则.
C B B A ⊆⊆,C A ⊆子集的应用
根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围.
若,在未指明A 非空时,要分两种情况进行讨论:
B A ⊆①;
∅=A ②.
∅≠A 知识点三 集合相等
如果集合A 是集合B 的子集（）,且集合B 是集合A 的子集B A ⊆（）,此时集合A 与集合B 的元素是一样的,集合A 与集合B 相等,叫做A B ⊆.
B A = 上面也即互为子集的两个集合相等.
集合的符号表述:若,且,则.
B A =B A ⊆A B ⊆B A =如何证明两个集合相等
对于两个集合A , B ,若要证明,只需证明与均成立即可. B A =B A ⊆A B ⊆如何判断两个集合相等
（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同,且都含有相同的元素,则这两个集合相等.
（2）当两个集合为无限集时,若两个集合的代表元素满足的条件一致,则两个集合相等.
注意:集合相等与集合的形式无关,形式不同的两个集合也可以相等.
如.
{}{}2,130=<<∈x Z x 知识点四 真子集的含义及表示
如果集合,但存在元素,且,我们称集合A 是集合B 的真子集,
B A ⊆B x ∈A x ∉记作（或）,读作“A 真含于B ”（或“B 真包含A ”）.
B A ≠⊂A B ≠⊃
对真子集的理解:
（1）的Venn 图表示:
B A ≠⊂
（2）的符号表述:若,且,则. B A ≠⊂B A ⊆B A ≠B A ≠⊂（3）若,则B 中至少存在一个A 中没有的元素.
B A ≠⊂（4）规定是任何非空集合的真子集,即若,则.
∅∅≠A A ≠⊂∅子集与真子集的关系
若,则或.
B A ⊆B A =B A ≠⊂知识点五 空集的含义及其性质
不含任何元素的集合叫做空集,记作.
∅空集的性质:
（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.
（2）空集的只有一个子集,是空集,即它本身.
（3）空集是任何非空集合的真子集,即若,则.
∅≠A A ≠⊂∅重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.
知识点六 子集、真子集个数的确定
若集合A 含有个元素,则集合A :
n （1）含有个子集;
n 2（2）含有个非空子集;
12-n
（3）含有个真子集;
12-n （4）含有个非空真子集.
22-n 知识点七 关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;
{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥.
{}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 以上结论雅慧你要熟记在心,在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,并注意分类讨论（如关于空集的讨论）.
例1. 已知集合,,若,求实数的取{}41>-<=x x x A 或{}32+≤≤=a x a x B A B ⊆a 值范围.
分析:这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题,注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.
因为,集合B 中含有参数,所以分为两种情况:①;②.对于A B ⊆∅=B ∅≠B 这种情况,要借助于数轴来完成对参数的约束,从而可以确定参数的取值∅≠B 范围.
最后需要说明的是,参数的取值范围要表示成集合的形式.
解:∵,,∴分为两种情况:
A B ⊆{}32+≤≤=a x a x B ①当时,,解之得:;
∅=B 32+>a a 3>a ②当时,则有:或,解之得:或≤3. ∅≠B ⎩⎨⎧-<++≤1332a a a ⎩
⎨⎧>+≤4232a a a 4-<a a <2综上,实数的取值范围为. a {}24>-<a a a 或
集合的基本运算知识点总结
本节知识点:
（1）并集. （2）交集. （3）全集与补集. （4）德·摩根定律.
知识点一 并集
自然语言 一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A
与集合B 的并集,记作,读作“A 并B ”.
B A 符号语言 .
{}B x A x x B A ∈∈=或, 图形语言（用Venn 图表示并集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.
（1）A 与B 有公共元素,相互不包含
（2）A 与B 没有公共部分
（3） （4）
B A ≠⊂A B ≠⊂
（5）
B A =对并集的理解
（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 或集合B 的元素组成的.
（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“”分为三种情况:
B x A x ∈∈或,①,但; ②,但; ③,且.
A x ∈
B x ∉A x ∉B x ∈A x ∈B x ∈（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.
并集的性质
性质
说明
A B B A =并集运算满足交换律
()()C B A C B A =并集运算满足结合律
A A =∅ 任何集合与空集的并集等于这个集合本身
A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身
若,则
B B A = B A ⊆并集运算与子集关系的转化
,
()B A A ⊆()B A B ⊆任何集合都是该集合与另一个集合的并集
求并集的方法
（1）求两个有限集的并集 按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.
（2）求两个无限集的并集 借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.
知识点二 交集
自然语言 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A
与集合B 的交集,记作,读作“A 交B ”.
B A 符号语言 .
{}B x A x x B A ∈∈=且, 图形语言（用Venn 图表示交集） 图中阴影部分表示两个集合的并集.
如下页图所示.
A
A B
B A B
（1）A 与B 有部分公共元素
（2）A 与B 无公共元素, ∅=B A
（3）若,则（4）若,则（5）
A B ≠⊂B B A = B A ≠⊂A B A = B A B A == 对交集的理解
（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.
（3）当集合A 与集合B 没有公共元素时,不能说集合A 与集合B 没有交集,而是交集为空集,.
交集的性质
性质
说明
A B B A =交集运算满足交换律 ∅=∅ A 任何集合与空集的交集都是空集
A A A = 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身
()()C B A C B A =交集运算满足结合律
()()()C B C A C B A =
()()()C B C A C B A =满足分配律
若,则
A B A = B A ⊆交集运算与子集关系的转化
()()B B A A B A ⊆⊆ ,两个集合的交集是其中任何一个集合的子集
求交集的方法
（1）求两个有限集的交集 按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.
（2）求两个无限集的交集 借助于数轴进行计算.两个集合的解集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.
知识点三 全集与补集
全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这
个集合为全集,记作U .
补集 对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A
相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即
C U A .
{}A x U x x ∉∈=且,用Venn 图表示为:
对补集的理解
（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.
（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“C U A ”有三层意思: ① C U A ;
{}A x U x x ∉∈=且,② C U A 是U 的一个子集,及(C U A ); U ⊆③ C U A 表示一个集合.
补集的性质
①(C U A ); ②(C U A ); ③ C U (C U A ); U A = ∅=A A =④ C U U ; ⑤ C U .
∅=U =∅
U
4
3
2
1
B A 知识点四 德·摩根定律
知识点五 重要结论
如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示; B A （2）②表示(C U B ); A （3）③表示(C U A ); B （4）④表示(C U A )(C U B ).
知识点六 集合中元素元素的个数
若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有个元素,那么有card(A ). m m =（1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card card(A )card(B )－card . ()=B A +()B A （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有
card card(A )card(B )－card －card －card ＋ ()=C B A +()B A ()C A ()C B card .
()C B A。