21.2.2公式法1求根公式的推导

3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
写出一元二次方程的根：
2a
x1 = ______ ，x2 = ______ 。 (b)当∆=0时，代入求根公式： 写出一元二次方程的根：
x1

x2


b 2a
x1 = x2 = ______ 。
(b)当∆<0时，方程实数根。
【归纳】
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次 方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用 希腊字母“Δ ”表示它，即Δ =b2-4ac.
【归纳】
当Δ ＞0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个不相 等的实数根； 当Δ =0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个相等 的实数根； 当Δ ＜0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)无实数根.

3
2

4



1 4


4.
x 3 4 32,
21
2Biblioteka Baidu
x1
2 2
3 , x2

32. 2
3 3x2 6x 2 0
解： a 3,b 6, c 2.

2 2
结论：当 △ b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个 相等的实数根.
例（ 2 3）5x2 3x x 1 解：原方程可化为：
5x2 4x 1 0
a 5, b 4, c 1
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
请用配方法解一元二次方程2x2+4x+1=0.
【解析】移项，得 2x2+4x=-1，
二次项系数化为1，得 x2+2x=- 1 ，
2
配方，得 x2+2x+1=- 1 +1，
2
(x+1)2= 1 ,
2
x+1= 2 或 x+1=- 2 ,
2
2
所以，x1=-1+
2 2
或
x2=-1-
2 2
.
回顾与复习
用配方法解一元二次方程的步骤:
则：方程有两个不相等的实数根
x b b2 4ac (4) 36 4 6
2a
25
10
即：x1

46 10
1,
x2

46 10


1 5
结论：当 △ b2 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
练习
解下列方程：
1 x2 x 6 0; 2 x2 3x 1 0;
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0;
5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x 2x 4 5 8x.
x1 b
b2 2a

4ac
,
x2

b

b2 4ac ; 2a
（2）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
b
x1

x2

; 2a
（3）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）没有实数根．
结论：当 △ b2 4ac＞0 时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
例2(2)2x2 2 2x 1 0
解： a 2,b 2 2, c 1
△ b2 4ac (2 2)2 4 21 0
则：方程有两个相等的实数根：
x1

x2


b 2a


2 2 22
移项:把常数项移到方程的右边; 系数化为1:将二次项系数化为1; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 开方方; :根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否 研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程 的实数根呢？
新课导入
【归纳】
当Δ ≥0时,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的实数根可写为
x b b2 4ac 2a
的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的 求根公式.
直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
学习是件很愉快的事
公式法
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
a 1,b 8, c 17
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0 ∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。
解 a 1, b 4, c 7
△ b2 4ac 42 41 (7) 44 0.
方程有两个不相等的实数根：
x b b2 4ac 2a
4 44 4 2 11 .
2 1
2
2 11
x1 2 11或x2 2 11
二次项系数化为1，得 x2 b x c . aa
配方 即
x2

b a
x


b 2a
2


c a


b 2a
2
,

x

b 2a
2


b2 4ac 4a2
.
②
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）当 b2 4ac 0 时，一元二次方程ax2 bx c 0 （a 0）有实数根．
解：（1） a 1,b 1, c 6.
b2 4ac 12 41 6 25.
x 1 25 1 5 ,
21
2
x1 ２, x2 －3.
2 x2 3x 1 0
4
解： a 1,b 3, c 1 .
4
b2 4ac
一元二次方程的一般 形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
如果使用配方法 解出一元二次方程一 般形式的根，那么这 个根是不是可以普遍 适用呢？
任何一元二次方程都可以写成一般形式
ax2 bx c 0 （a 0）. ①
你能否也用配方法得出①的解呢？
移项，得
ax2 bx c.