数值分析10_4。4高斯型求积公式

Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式，于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积，它对于Q(x)能准确立即
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8
即
b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ，从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
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19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-
f
15 5
8 9
f
0
5 9
f
15 5
0.718251799
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
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2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数
x
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
x2 0
x2 1
，结合第一式和第三式得
x2 0
x2 1
1. 3
取
x0
1 3
,
x1
1 3
得
A0 A1 1
于是得到求积公式
1 f xdx f 1 f 1
1
3 3
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3
它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有 1次代数精度。
一般地，考虑带权求积公式
其中
为2n+2个待定参数，适当选择这些参
i 2,3, , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
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2
例 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽
ik
或可证得 Ak
1 xk2
2 [Pn1(xk )]2
, k 0,1,L , n
高斯-勒让德求积公式的余项为
R[ f ] 22n3[(n 1)!]4 f (2n2) ( ) , (1,1)
(2n 3)[(2n 2)!]3
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14
当n=0时，一次Legendre多项式x的零点为0， Ak 为2；
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6
定理 1 对于插值求值公式
其节点
是Gauss点的充分必要条件是多项式
与任意不超过n次多项式 P(x)带权正交,即
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7
证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 P(x) x n1
的次数不超过 2n+1。因此,如果 x0 , x1, xn 是Gauss点，则求积公
ex f xdx 0
n
Ak f xk
k 0
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21
其中
Ak
[(n 1)!]2 xk [Ln1(xk )]2
截断误差为
(k 0,1,L , n)
R[ f ] [(n 1)!]2 f (2n2) ( ) , (0, )
(2n 2)!
书上表4.6给出了部分高斯-拉盖尔求积公式的 节点和系数。
e x2
的零点，
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23
系数
Ak
2n2 (n 1)!
[Hn1(xk )]2
截断误差
(k 0,1,L , n)
R[
f
]
(n 1)! 2n1(2n
2)!
f
(2n2)
(
)
,
(, )
书上表4.7给出了部分高斯-埃尔米特求积 公式的节点和系数。
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24
数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。
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4
定义 如果上述求积公式具有2n+1次代数精度，则
称该公式高斯型求积公式，称
其
节点为高斯点，系数 Ak 称为高斯系数。
如果象前面例子那样，直接利用代数精度的概念去求n+1 个Gauss点和n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程 组。方程组是可解的，但当n稍大时，解析的求解就很难，数 值求解非线性方程组也不容易。所以下面从分析Gauss点的 特性着手研究Gauss公式的构造问题 。
(2n 2)!
b a
x
2 n1
x
dx
,
(a,b)
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12
由前面的讨论知，正交多项式的零点就是高斯点，因此取不同的正交多项式就得到不同 的高斯型求积公式。
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
在区间[-1，1]上取权函数 x 1, ，取正交多项式为Legendre多
项式
Pn1
x
1
4.368939556
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20
3.高斯-拉盖尔求积公式
将插值型求积公式中的区间[a,b]换成区
间[0， ]，权函数取为 x ex ，取节点xk k 0,1,L ,n
为n+1次拉盖尔多项式
Ln1
x
ex
d n1 dxn1
xn1e x
的零点，称这样的高斯型求积公式为高斯-拉盖尔 求积公式，其表示式为
d n1
n 1 !2n1 dxn1
x2 1 n1
以n+1次Legendre多项式的零点 xk k 0,1,L , n 为Gauss点的求积公式为
1 f xdx 1
n
Ak f xk
k 0
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中
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13
系数Βιβλιοθήκη 1 nAk 1i0
x xi dx , xk xi
b a
x lk2
x
dx
n
Ailk2 xi Ak 0
(k 0,1,L , n)
i0
即高斯系数全为正，从而算法是稳定的。
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11
定理3 设 f xC[a,b] ,则高斯型求积公式是 收敛的。 定理4 设 f xC2n2[a,b] ，则高斯型求积公 式的截断误差为
R[ f ]
f (2n2)
Chebyshev求积公式如下
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18
1 1
1 1 x2
f
xdx
n
n 1 k0
f
xk
,
对于n=1, 二次Chebyshev多项式为 2x2 1 ，二点
Gauss-Chebyshev求积公式为
1 1
1 1 x2
f
xdx
2
f
1 f 2
1 2
对于n=2,三次Chebyshev多项式为 4x3 3x ，三点
1 1
f
xdx
5 9
f
15 5
8 9
f
0
5 9
f
15 5
.
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15
x Guass-Legendre求积公式中的Gauss点和求k 积系数见书上A表k 4-4。
对于一般区间[a，b]上的求积，如果用Gauss-Legendre求积公式，那么
必须作变量替换
x 1 a b 1 b at
量高。 1
f (x)dx A0 f (x0 ) A1 f (x1)
1
解 按代数精度的概念，分别令 f x 1, x, x2 , x3 时
上式左边与右边分别相等，有
A0 A1 2,
A0 x0 A1 x1 0,
A x A x 2
0
0
2 2,
1
1
3
A x A x 3
0
0
3 0.
1
1
由第二式和第四式可得
2
2
使 x [a , b ] 时，t [1,1] ，并有
b
a
f
xdx
b 2
a
1
1
f
1 2
a
b
1 2
a
btdt
对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。
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例 用Gauss-Legendre求积公式(n=1,2)计算积分 I 1 x2exdx 0
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换x=(1+t)/2,得
由此可见，求积公式对于一切次数不超过2n+1
的多项式均能准确成立。因此， xk k 0,1, n
是Gauss点，定理得证。
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由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。
。 推论 n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点
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5
由插值余项
R[ f ]
b x
a
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)dx
知插值型求积公式的代数精度不可能低于n，另一方
面，若取
n
f
x
2 n1
x
x xi 2
i0
则有截断误差
R[ f ] 0
说明插值型求积公式的代数精度不可能达到2n+2,高 斯型求积公式是具有最高阶代数精度的求积公式。
当n=1时，二次Legendre多项式
P2 x
1 2
(3x 2
1) ,
零点为 x0
1 3
,
x1
1
3,
Ak 为1（k=0,1)
;
当n=2时，三次Legendre多项式
P3 x
1 2
(5 x 2
3x),
零点为 x0
x 15
5
,
x1
0,
2
15 ，以此为Gauss点，可构造出具有
5
五次代数精度的3点Gauss-Legendre求积公式
利用正交多项式得出Guass点 x0 , x1 , xn
后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为
Ak
b
a
xlk
x dx,
k
0,1,
n
其中lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。
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10
定理2 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 确成立，若取 f (x) lk2 (x),其中lk (x) 是n次拉格 朗日插值基函数，有
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4. 高斯-埃尔米特求积公式
高斯-埃尔米特求积公式是全无穷区间上的高 斯型求积公式
e x2 f
n
x dx Ak f
xk
k 0
其中节点 xk k 0,1,L , n为 (, ) 上带权 x ex2
正交的n+1次埃尔米特多项式
Ln1
x
(1)n1ex2
d n1 dxn1
式对于 Pxn1x是准确成立的，即有
b xPx a
n
xdx
n 1
Ak Pxk
x n1 k
。 k 0
但 n1xk 0,k 0,1,2 n 故结论成立
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 n1 x
除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 f
( x)
I 1 x2exdx 1 1 (t 1)2e1t / 2dt
0
8 1
令 f t 1 t 2 e1t/ 2 对于n=1,由两点Gauss-Legendre公式有
I
1 8
f
(
1 ) f 3
1 3
0.71194774
对于n=2,由三点Gauss-Legendre公式有
I
1 5 8 9