机械动力学

生产阻力的几种情况：
1、生产阻力为常数，例如起重机、轧钢机、刨床等。 2、生产阻力随位移而变化，例如活塞式的压缩机和泵、曲柄压力机 等。 3、生产阻力随速度而变化，例如鼓风机、离心泵、螺旋桨。 4、生产阻力随时间而变化，例如球磨机、揉面机等。
驱动力的几种情况：
1、驱动力是常数，例如以重锤作为驱动装置的情况； 2、驱动力是位移的函数，例如用弹簧作驱动件时； 3、驱动力是速度的函数，例如一般的电动机，机械特性均表示为输 出力矩随角速度变化的曲线。
第三章
单自由度机械系统动力学
§3.1 概 述
一、机构的平衡
机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各构
件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机械 在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题 （机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题:
第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实运
动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握通 过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分方 程来研究真实运动规律的方法。
Je
J1
1 J 2 i2
G1 g
r2
(0.00715
0.15
1 402
20 0.00252 )kg.m2 9.18
0.007256kg.m2
加载后，还应加上中午的等效转动惯量
J e
Je
GR2 g
1 r2
(0.007256
4000 0.12 9.81
1 402
)k g.m 2
0.009804kg.m2
义坐标 为一线性位移时Fi为一个力；
n——系统的广义坐标数。
利用拉格朗日方程进行系统的动力学分析时，先选定系统的广 义坐标，然后列出系统动能、势能和广义力的表达式，代入拉格朗 日方程中，即可导出系统的动力学方程。
二、单自由度机械系统的动力学方程
单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件做回转 运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。 整个系统的能量和机械功均可表示为这个广义坐标的函数。
§3.2 作用在机械上的力
一、作用在机械上的力的特征
在机械上作用的力：
驱动力 由原动机发出并传给驱动构件的力，此力在一个运动循环內作正
功。 生产阻力
完成有用功时作用于机械上的阻力，此功做负功。 重力
当构件的重心向上运动或向下运动时分别作负功或正功，在一个 循环内作功为零。 摩擦力
由运动副表面的摩擦产生的有害阻力，作负功。
四、动力学方程
另一种形式的动力学方程 根据动能定理，等效力矩所作的功W等于等效构件动能的增量，即
E W
若等效构件由转角 1运动到 2时，角速度相应的由 1变为2 ，
则上式可改写为
1
2
J
2
e2 2
1 2
J
2
e1 1
2 1
M
ed
该式称为能量形式的动力学方程
若等效构件作直线运动，其位移由S1变到S2时，角速度相应地由v1
t
t0
t t 000时0
(t)dt
0
三、等效转动惯量是变量，等效力矩是位置和速度的函数
❖用电动机驱动的刨床、插床、冲压机床以及往复式空气压缩机等机械属于这种情况。 这些机器中包含有速比不等于常数的机构，因而其转动惯量是变量，而驱动力是速度 的函数，生产阻力是是机器位置的函数，因此，等效力矩是机器的位置和速度的函数。
效力矩的等效构件称为原机械系统的等效动力学模型。 对于单自由度机械系统，只要确定了一个构件的运动，其他构
件的运动就随之确定，因此，通过研究等效构件的运动规律，就能 确定原机械系统的运动。
基本概念
1、等效构件 具有与原机械系统等效的质量或等效转动惯量、其上
作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应 构件的运动保持相同的构件。
变为v2，则
1
2
me2v22
1 2
me1v12
s2 s1
Feds
该式称为力矩（力）形式的动力学方程
五、等效转动惯量及其导数的计算
等效转动惯量计算式可改写为
Je
l
[mj
j 1
1 q2
(vS2jx
vS2jy
)
J
j
(
j
)2
q
]
由此式对q求导可得
dJe
dq
2 q3
l
[m j (vSjx aSjx
j 1
况下，由构件的重量产生的势能与动能相对数值也很小，因此拉格 朗日方程中的势能常常可以略去。
3、系统的广义力 设Fk（k=1,2，…，m）和Mj（j=1,2，…，n）分别为作用于机
械上的外力和外力矩，则这些力和力矩的功率为
m
n
P (Fkvk cosk ) (M j j )
k 1
j 1
式中：ωj——有外力矩Mj作用的构件的角速度； vk——外力Fk作用点的速度； αk——Fk与vk的夹角。
为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转 化为只有一个独立运动的等效构件，等效构件的运动与机构中相应 构件的运动一致。
等效转化的原则 等效构件的等效质量或等效转动惯量具有的动能等于原机械系
统的总动能； 等效构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率等于原机械系
统所有外力产生的瞬时功率之和。 把这种具有等效质量或等效转动惯量，其上作用有等效力或等
二、三相异步电动机的机械特性
如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称 为机械特性。AC段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速 时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而AD段的运转是 不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法 与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因此三相异步电动 机应在AC段工作。点B是电动机的额定工作点。
图a
图b
等效参数的确定
1．等效质量和等效转动惯量 等效质量和等效转动惯量可以根据等效原则——
等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能来确 定。
2、等效力和等效力矩 等效力和等效力矩可以根据等效原则——等效力
或等效力矩产生的瞬时功率等于机械系统所有外力和 外力矩在同一瞬时的功率总和来确定。
（2）求等效转动惯量 加载前的等效转动惯量为
d
J
e
( )
2
2
M
e
(
,)d
求导
Je
d dt
2 2
dJe ( ) d
M e (,)
❖这个非线性方程一般不能用解析法求解，需用数值方法求解。
例1:
如图为一齿轮驱动的正弦机构，已知：z1=20, 转动惯量为J1；z2=60， 转动惯量为J2，曲柄长为l，滑块
3和4的质量分别为m3，m4 ,其质
1、系统的动能 设机械系统中的第i个构件做一般平面运动，启动能Eki可表示为
Eki
1 2
m v2 i si
1 2
J 2 Si i
式中：mi——构件i的质量； JSi——构件i相对于其质心的转动惯量； vSi——构件i质心的速度； ωi——构件i的角速度。
作平动的构件的动能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动 的构件则只含第二项。
心分别在C和D点，轮1上作用有
驱动力矩M1,在滑块4上作用有 阻抗力F4，取曲柄为等效构件，
求：图示位置时的等效转动惯
量Je及等效力矩Me。
解： 1）求J e
1 2
J
e
2 2
1 2
J112
1 2
J
2
2 2
1 2
m 3v32
1 2
m 4v42
J e J1(1 / 2 )2 J 2 m3 (v3 / 2 )2 m4 (v4 / 2 )2
第二，研究机械运转速度波动产生的原因及其调节方 法。
机械运转的三个阶段
1.起动阶段 原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。 2.稳定运转阶段 1）周期变速稳定运转：角速度ω≠常数，产生周期性波动，会在运动副
中产生附加动反力，需进行动力学分析。 2）等速运转：ω=常数的稳定运转。 3.停车阶段 原动件的速度从正常工作速度下降到零的阶段。 在启动和制动阶段是会产生较大的动载荷，需进行动力学计算。
例题 某起吊重物用的电动葫芦的电动机，型号为Y90L-4，额定功率
PH=1.5kW，同步转速n0=1500r/min，额定转速nH=1410r/min，求 该电动机在额定转速附近的机械性能。
解：在加载过程中电动机角速度只在额定角速度附近波动，可采用 直线形式的机械特性
例题
电动机型号Y100L2-4，额定功率PH=3kW，同步转速n0=1500r/min， 额定转速nH=1420r/min，最大转矩与额定转速之比λ=MK/MH=2.2，推导出三 相异步电动机机械特性图中AC段的机械特性。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。
电机铭牌上给出如下数据： 额定功率PH（kW），额定转速nH （r/min），同步转速n0（r/min）； 最大转矩MK与额定转矩MH的比值 λ=MK/MH； 启动转矩MD与额定转矩MH的比值
λ1=MD/MH
通过铭牌上得数据可确定机械特性曲线上四个特征点的坐标：A(MK,ωK), A(MH,ωH), A(0,ω0), A(MD,0)。
Je
d dt
2 2
dJe d
Me
M e ( ) M ed ( ) M er ( ) J ed / dt
分离变量 dt J e d / M e ( )
积分
d t t0 J e 0 M e ( )
t t000时0
t Je
d 0 M e ( )
= （t） d
dt
t
✓ d dt 0 (t)dt
= （t）
2. 等效构件的角加速度
d d d d dt d dt d
二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时
❖以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些 机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常 数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形 式的运动方程式求解比较方便。
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
§3.3 单自由度机械系统的动力学方程
一、拉格朗日方程
拉格朗日方程：
d dt
Fra Baidu bibliotek
( Ek qi
) Ek qi
Ep qi
Fi (i
1,2,...,n)
式中：Ek——系统的动能； Ep——系统的势能； qi——广义坐标，它是可以完全确定机械系统运动的一组独立
参数； Fi——广义力，当广义坐标为一角位移时Fi为一个力矩，当广
vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
机械系统全部构件的动能总和为
Ek
l i 1
Eki
l
i 1
(
1 2
mi
v
2
si
1 2
J
Si
2
i
)
式中l为活动构件总数
动能也可以表示为
Ek
1 2
J e q2
式中
J e
i
l 1
[mi
(
vSi )2 q
J
Si
(
i )
q
2
]
Je称为系统的等效转动惯量。 q 称为广义速度，是随时间变化的。
2、系统的势能 对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
J
e
2
1 2
J
e
2 0
0 M e d
tt0时0 ,，JeJe00
1 2
J e (
)
2 (
)
1 2
J
e0
2 0
0 M e ( )d
J
J e0 e (
)
2 0
2 J e ( )
0 M e ( )d
= （）
❖ ( ) d
dt
变换后积分
t
d
dt
t0
0 ( )
d
t t 0 0 ( )