对一个积分不等式的探究
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第２２卷 第２期 ２０１９ 年 ３ 月
高 等 数 学 研 究 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS
doi:１０．３９６９/j．issn．１００８Ｇ１３９９．２０１９．０２．００８
Vol．２２,No．２ Mar．,２０１９
对一个积分不等式的探究
余晓虎
(东南大学 交通学院,南京 ２１１１８９)
０
０
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx．
０
Hale Waihona Puke Baidu
０
不 等 式 (１)中 等 号 成 立 ．
(b)任意的正实数a,若b＞ba,如图１(b)所示,由
y ＝ ln(１＋x)单调递增,可知
b
b
∫ ∫ adx ＜ ln(１＋x)dx,于是
ba
ba
∫ ∫ ∫ ab ＝ a(ex２ －１)dx＋ ba
＝ F(b０)．
为了计 算 函 数 值 F(b０),做 变 量 替 换 x ＝ eu２
－１,
∫ ∫ b０
ea２－１
ln(１＋x)dx ＝
ln(１＋x)dx
０
０
∫ ＝ a２u２eu２du, ０
用分部积分,
∫ ∫ aex２dx ＝aea２ － a２x２ex２dx,
０
０
第２２卷 第２期
余晓虎:对一个积分不等式的探究
摘 要 本 文 解 释 一 个 不 等 式 的 几 何 意 义 ,介 绍 不 等 式 的 三 种 证 明 方 法 ． 关 键 词 极 值 ;积 分 不 等 式 ;变 限 积 分 ;Young 不 等 式 中图分类号 O１７１ 文献标识码 A 文章编号１００８ １３９９(２０１９)０２ ００２２ ０２
０
０
不等式左 边 表 示 边 长 为a,b 的 长 方 形 面 积．由
定积分的几何意义,不等式 右 边 是 两 块 曲 边 梯 形 S１
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx 和S２ ＝ b ln(１＋y)dy 之和,考
０
０
虑到则y ＝ex２ －１和y＝ ln(１＋x)互为反函数, 我们将两块曲 边 梯 形 画 在 同 一 个 坐 标 系 中 (如 图 １
个试题的解答,但事 后 总 觉 得 巧 妙 有 余,简 洁 不 够,
没有揭开问题的本质,于 是,希 望 得 到 更 优 美 的,且
富有启发 性 的 解 答,经 过 一 段 时 间 的 思 考,理 解 了
试题的几何意义,发 现 利 用 几 何 意 义 给 出 的 证 明 方
法自然优美,在东南 大 学 数 学 学 院 张 勤 老 师 的 提 醒
１ 引 言
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,
其中 Young不等式是著名的积分不等式之一．虽然
高等数学课程中并没 有 介 绍 这 个 不 等 式,但 在 高 等
数学竞赛中会涉及这 个 不 等 式,来 引 导 同 学 们 拓 展
知识面．我在 参 加 东 南 大 学 ２０１８ 年 高 等 数 学 竞 赛
下,学习 Young不等式后,对试题的理解更加透彻．
收稿日期:２０１８ ０８ ０６ 修改日期:２０１８ １１ ２６ 作者简介:余 晓 虎 (１９９８－ ),男,本 科 生 在 读．Email:１００３４７５６１９＠
qq．com
本文介绍试题的三种 证 明 方 法,解 释 试 题 中 不 等 式 的几何意义．
２ 试题的证明方法
第一种证明方法 固定 不 等 式 中a,将b 看 成
[０,＋ ¥)上的变量．
∫ ∫ 令F(b)＝a(b＋１)－ aex２dx－ b ln(１＋x)dx,
０
０
b∈ [０,＋ ¥]
则 由F′(b)＝a－ ln(１＋b)＝０,得到惟一驻点b０ ＝ea２ －１,再由
F″(b)＝－２(１＋b)１ln(１＋b)＜ ０, 可知函数 F(b)在b０ ＝ ea２ －１ 处有最大值F (b)max
b
ln(１＋x)dx＋ adx ＜
０
０
ba
∫ ∫ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx．
０
０
(c)任 意 的 正 实 数 a,若 b ＜ ba, 记 ab ＝
２３
由此得到
∫ ∫ F(b０)＝a(b０ ＋１)－ aex２dx－ b０ ln(１＋x)dx
０
０
∫ ∫ ＝aea２ － (aea２ － a２x２ex２dx)－ a２u２eu２du
０
０
＝ ０． 所 以,当b∈ [０,＋ ¥)时,F(b)≤F(b０)＝０ ,
试题结论得证．
上述计算 F(b０)的 方 法 还 可 以 简 化．将 F(b０) 看成a 的函数,令 F(b０)＝ G(a),则 G′(a)＝０,故
培 训 时 ,就 遇 到 一 个 这 样 的 证 明 题 :
试题 设a ≥０,b ≥０ 试证:
∫ ∫ a(b＋１)≤ aex２dx＋ b ln(１＋x)dx (１)
０
０
当时,我 和 大 多 数 同 学 一 样,应 用 一 元 函 数 极
值、变限积分导数和 积 分 技 巧 等 知 识 [１],给 出 了 这
OnanIntegralInequality
YU Xiaohu
(SchoolofTransportation,SoutheastUniversity,Nanjing２１１１８９,China)
Abstract Foraninequality,thisarticledescribesitsgeometricmeaningandpresentsthreeproofs． Keywords extremum,integralinequality,variablelimitintegral,Younginequality
所 示 )． 对于任意的正实数a,(i)若b＝ba ＝ea２ －１,如
图 １(a)所 示 ,
下面我们用二重积分证明上述直观的结论． 证明(a)任意的正实数a,若b ＝ba ＝ea２ －１, 如 图 １(a)所 示 ,
∬ ∬ ∬ ab ＝ dxdy ＝ dxdy＋ dxdy
S１＋S２
S１
S２
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ ba ln(１＋y)dy
F(b０)＝ G(a)＝ G(０)＝０． 类似地,可将a 看作变量,按照上述证明思路得
出相同的结果．
第二种证明方法 首先探讨不等式的几何意
义 ．将 题 中 不 等 式 改 写 为
∫ ∫ ab ≤ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx
０
０
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋y)dy． (２)
高 等 数 学 研 究 STUDIESIN COLLEGE MATHEMATICS
doi:１０．３９６９/j．issn．１００８Ｇ１３９９．２０１９．０２．００８
Vol．２２,No．２ Mar．,２０１９
对一个积分不等式的探究
余晓虎
(东南大学 交通学院,南京 ２１１１８９)
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∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx．
０
Hale Waihona Puke Baidu
０
不 等 式 (１)中 等 号 成 立 ．
(b)任意的正实数a,若b＞ba,如图１(b)所示,由
y ＝ ln(１＋x)单调递增,可知
b
b
∫ ∫ adx ＜ ln(１＋x)dx,于是
ba
ba
∫ ∫ ∫ ab ＝ a(ex２ －１)dx＋ ba
＝ F(b０)．
为了计 算 函 数 值 F(b０),做 变 量 替 换 x ＝ eu２
－１,
∫ ∫ b０
ea２－１
ln(１＋x)dx ＝
ln(１＋x)dx
０
０
∫ ＝ a２u２eu２du, ０
用分部积分,
∫ ∫ aex２dx ＝aea２ － a２x２ex２dx,
０
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第２２卷 第２期
余晓虎:对一个积分不等式的探究
摘 要 本 文 解 释 一 个 不 等 式 的 几 何 意 义 ,介 绍 不 等 式 的 三 种 证 明 方 法 ． 关 键 词 极 值 ;积 分 不 等 式 ;变 限 积 分 ;Young 不 等 式 中图分类号 O１７１ 文献标识码 A 文章编号１００８ １３９９(２０１９)０２ ００２２ ０２
０
０
不等式左 边 表 示 边 长 为a,b 的 长 方 形 面 积．由
定积分的几何意义,不等式 右 边 是 两 块 曲 边 梯 形 S１
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx 和S２ ＝ b ln(１＋y)dy 之和,考
０
０
虑到则y ＝ex２ －１和y＝ ln(１＋x)互为反函数, 我们将两块曲 边 梯 形 画 在 同 一 个 坐 标 系 中 (如 图 １
个试题的解答,但事 后 总 觉 得 巧 妙 有 余,简 洁 不 够,
没有揭开问题的本质,于 是,希 望 得 到 更 优 美 的,且
富有启发 性 的 解 答,经 过 一 段 时 间 的 思 考,理 解 了
试题的几何意义,发 现 利 用 几 何 意 义 给 出 的 证 明 方
法自然优美,在东南 大 学 数 学 学 院 张 勤 老 师 的 提 醒
１ 引 言
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,
其中 Young不等式是著名的积分不等式之一．虽然
高等数学课程中并没 有 介 绍 这 个 不 等 式,但 在 高 等
数学竞赛中会涉及这 个 不 等 式,来 引 导 同 学 们 拓 展
知识面．我在 参 加 东 南 大 学 ２０１８ 年 高 等 数 学 竞 赛
下,学习 Young不等式后,对试题的理解更加透彻．
收稿日期:２０１８ ０８ ０６ 修改日期:２０１８ １１ ２６ 作者简介:余 晓 虎 (１９９８－ ),男,本 科 生 在 读．Email:１００３４７５６１９＠
qq．com
本文介绍试题的三种 证 明 方 法,解 释 试 题 中 不 等 式 的几何意义．
２ 试题的证明方法
第一种证明方法 固定 不 等 式 中a,将b 看 成
[０,＋ ¥)上的变量．
∫ ∫ 令F(b)＝a(b＋１)－ aex２dx－ b ln(１＋x)dx,
０
０
b∈ [０,＋ ¥]
则 由F′(b)＝a－ ln(１＋b)＝０,得到惟一驻点b０ ＝ea２ －１,再由
F″(b)＝－２(１＋b)１ln(１＋b)＜ ０, 可知函数 F(b)在b０ ＝ ea２ －１ 处有最大值F (b)max
b
ln(１＋x)dx＋ adx ＜
０
０
ba
∫ ∫ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx．
０
０
(c)任 意 的 正 实 数 a,若 b ＜ ba, 记 ab ＝
２３
由此得到
∫ ∫ F(b０)＝a(b０ ＋１)－ aex２dx－ b０ ln(１＋x)dx
０
０
∫ ∫ ＝aea２ － (aea２ － a２x２ex２dx)－ a２u２eu２du
０
０
＝ ０． 所 以,当b∈ [０,＋ ¥)时,F(b)≤F(b０)＝０ ,
试题结论得证．
上述计算 F(b０)的 方 法 还 可 以 简 化．将 F(b０) 看成a 的函数,令 F(b０)＝ G(a),则 G′(a)＝０,故
培 训 时 ,就 遇 到 一 个 这 样 的 证 明 题 :
试题 设a ≥０,b ≥０ 试证:
∫ ∫ a(b＋１)≤ aex２dx＋ b ln(１＋x)dx (１)
０
０
当时,我 和 大 多 数 同 学 一 样,应 用 一 元 函 数 极
值、变限积分导数和 积 分 技 巧 等 知 识 [１],给 出 了 这
OnanIntegralInequality
YU Xiaohu
(SchoolofTransportation,SoutheastUniversity,Nanjing２１１１８９,China)
Abstract Foraninequality,thisarticledescribesitsgeometricmeaningandpresentsthreeproofs． Keywords extremum,integralinequality,variablelimitintegral,Younginequality
所 示 )． 对于任意的正实数a,(i)若b＝ba ＝ea２ －１,如
图 １(a)所 示 ,
下面我们用二重积分证明上述直观的结论． 证明(a)任意的正实数a,若b ＝ba ＝ea２ －１, 如 图 １(a)所 示 ,
∬ ∬ ∬ ab ＝ dxdy ＝ dxdy＋ dxdy
S１＋S２
S１
S２
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ ba ln(１＋y)dy
F(b０)＝ G(a)＝ G(０)＝０． 类似地,可将a 看作变量,按照上述证明思路得
出相同的结果．
第二种证明方法 首先探讨不等式的几何意
义 ．将 题 中 不 等 式 改 写 为
∫ ∫ ab ≤ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋x)dx
０
０
∫ ∫ ＝ a(ex２ －１)dx＋ b ln(１＋y)dy． (２)