高一数学专题1-数形结合思想

数形结合思想

一．作图、识图、用图技巧

(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换． 描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．

(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．

(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． (4)利用基本函数图象的变换作图

①平移变换：

y ＝f (x )――→h >0，右移|h |个单位

h <0，左移|h |个单位y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移|k |个单位k <0，下移|k |个单位y ＝f (x )＋k . ②伸缩变换： y ＝f (x )错误!y ＝f (ωx )， y ＝f (x )

――→01，纵坐标伸长到原来的A 倍y ＝Af (x )．

③对称变换：

y ＝f (x )――→关于x 轴对称

y ＝－f (x )， y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )， y ＝f (x )

――→关于直线x ＝a 对称y ＝f (2a －x )，

y ＝f (x )――→关于原点对称

y ＝－f (－x )． f (x )――→关于原点对称

y ＝－f (－x )．

二、通法归纳与感悟

1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像；

(3)方程(多指二元方程)及方程的曲线；

(4)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (5)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．

2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则

在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则

在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则

就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．

三、利用数形结合讨论函数零点、方程的解或图像的交点

利用数形结合求方程解应注意两点

(1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解． (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．

1． (2013·长沙模拟)若f (x )＋1＝1

f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内

g (x )＝

f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )

A. ⎣⎡⎭⎫0，1

2 B. ⎣⎡⎭

⎫1

2，＋∞ C. ⎣⎡⎭

⎫0，13 D. ⎝⎛⎦

⎤0，12 [解析]D 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，

∵当x ∈(0,1]时，f (x )＝x ，∴f (x ＋1)＝x ＋1. 而由f (x )＋1＝1f x ＋1，可得f (x )＝1

f x ＋1－1

＝

1

x ＋1

－1(x ∈(－1,0])． 如图所示，作出函数f (x )在区间(－1,1]内的图像，

而函数g (x )零点的个数即为函数f (x )与y ＝mx ＋m 图像交点的个数，显然函数y ＝mx ＋m 的图像为经过点P (－1,0)，斜率为m 的直线．

如图所示，f (1)＝1，故B (1,1)．直线PB 的斜率k 1＝1－01－－1＝1

2；直线PO 的斜率为k 2＝

0.由图可知，函数f (x )与y ＝mx ＋m 的图像有两个交点，则直线y ＝mx ＋m 的斜率k 2

⎤0，1

2. 2. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1,1] 时，f (x )＝1－x 2

，函数g (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

lg x ，x >0，

0，x ＝0，

－1x ，x <0，

则函数h (x )＝

f (x )－

g (x )在区间[－5,5]内零点的个数是

( )

A ．5

B ．7

C ．8

D ．10 解析:C

依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f(x)与函数y ＝g(x)的图像，结合图像得，当x ∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8.

3.已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()x g x f

=有两学科网个不相等的实根，

则实数k 的取值范围是

（A ）），（210（B ）），（12

1（C ）），（21（D ）），（∞+2

答案：B

4．(文)已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．10 [答案] C

[分析] 由f (x ＋1)＝f (x －1)可知f (x )为周期函数，结合f (x )在[－1,1]上的解析式可画出f (x )的图象，方程f (x )＝lg x 的解的个数就是函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象的交点个数． [解析] 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．

由方程f (x )＝lg x 知x ∈(0,10]时方程有解，画出两函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象，则交点个数即为解的个数．又∵lg10＝1，故当x >10时，无交点．∴由图象可知共9个交点．

答案B

5