全国高考数学复习微专题：定积分

定积分

一、基础知识

1、相关术语：对于定积分

()b

a

f x dx ⎰

（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数

（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：

()2b

a

x tx dx +⎰

中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2b

a

x tx dt +⎰的被积函数为

()2f t xt x =+

2、定积分

()b

a

f x dx ⎰的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴

上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，

()b

a

f x dx ⎰

才表示面积。()b

a

f x dx ⎰可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积

的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：

（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'

F x f x =，那么

()()()()|b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：

()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-= ()sin f x x = ()'cos f x x = ()cos f x x = ()'sin f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'x f x e = ()log a f x x = ()'1ln f x x a =

()ln f x x = ()'

1f x x

= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3

f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4

x ，但()'

43

4x

x

=，而()3

f x x =，

所以原函数为()4

14

F x x C =

+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则

()2F x x C =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所

以求定积分时，()F x 不需加上常数。

（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x 轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质：假设()(),b

b

a

a

f x dx

g x dx ⎰

⎰存在

（1）

()()b

b

a

a

kf x dx k f x dx =⎰

⎰

作用：求定积分时可将()f x 的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化()f x 的复杂程度 （2）

()()()()b

b b

a

a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰

⎰⎰

作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如

()2

222

221

1

1

1

11x x dx x dx xdx dx ++=++⎰

⎰⎰⎰

（3）

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰，其中a c b <<

作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。

5、若()f x 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 （1）若()f x 为奇函数，则()()00a

a f x dx a -=>⎰

（2）若()f x 为偶函数，则

()()()00a

a

a

f x dx f x dx a -=>⎰

⎰

6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域

（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数()(),f x g x （3）若[],x a b ∈时，始终有()()f x g x ≥，则该处面积为

()()b

a

f x

g x dx -⎡⎤⎣⎦⎰

7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况

（1）构成曲面梯形的函数发生变化

（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数-下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。 二、典型例题：

例1：已知函数()(

)2

1,101

x x f x x ⎧+-≤≤⎪

=<≤，则()11f x dx -=⎰（ ）

A. 3812π-

B. 3412π+

C. 44

π+ D. 3412π-

思路：()f x 在[](]1,0,0,1-的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：

()(

)1

2

11

1f x dx x dx --=++⎰

⎰

⎰

，而()()0

2

2

01

1

11

113

3

x dx x --+=

+=

⎰

，对

于0⎰无法找到原函数，

从而考虑其几何意义：()2210y x y y =⇒+=>

，

⎰

为单位圆面积的14，

即04π=⎰，所以()111433412

f x dx ππ-+=+=⎰

答案：B

小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分

（2

运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同

例2：4

cos2cos sin x

dx x x

π

=+⎰

（ ）

A.

)

2

1- B.

1

C. 1

D. 2-

思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。

()22cos2cos sin =cos sin cos sin cos sin x x x

f x x x x x x x

-==-++，所以：

()(

)440

cos sin sin cos |

1x x dx x x ππ

-=+=⎰

答案：C

例3：设()2x

f x =，则

()4

4

f x dx -=⎰

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