3-5二维随机变量函数的概率分布1

( 0, i 1,2,3,4,5)
x0 x0
1 e x Xi的分布函数为: F x 0
随机变量函数的分布
5个电子装置并联时,若有一个工作，则整机就工作 1.整机的寿命 M max X1 , X 2 X 3 , X 4 X 5
M的分布函数为：
5 i 1
n i 1
1 P X 1 x， X 2 x， ， X n x

1 1 PX 1 x1 PX 2 x1 PX n x
随机变量函数的分布
例4 设随机变量X和Y相互独立，X~B(1,p), Y~B(1,p)
0 p 1，令 min X， Y ， max X， Y ， 试求随机变量
离散型随机变量、
§3.4 多维随机变量函数的分布
一般情形求随机变量函数分布 的方法 和的分布 最值分布
随机变量函数的分布
一、二维随机变量函数的概念
定义： 设Z=g(X,Y)是定义在随机变量(X,Y)一切可能取值(x,y)
的集合上的函数，如果对于(X,Y)每一对取值(x,y)，另一个 随机变量Z相应地取值为z=f (x , y),于是确定一个随机变量 Z，称Z为(X,Y)的函数。记为：Z=g(X,Y).
e z e x dx e z 1 e z
0
0
1
随机变量函数的分布
例3: 设随机变量X和Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0,1) 令Z=X+Y,试求随机变量Z的密度函数. 解 由题意知: f X x fY x

1 2

x2 e 2

z

利用分布函数与密度函数的关系,对FZ(z)求导, 得Z=X+Y的密度函数:
f Z z FZ z

同理可得
f Z z

f x， z x dx

（1） （2）
f z y， y dy
随机变量函数的分布
如果随机变量X,Y相互独立,则有
1.离散型随机变量和的分布 例 1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为
Y X 1 2 0 1/4 1/8 1 0 5/8
令: Z=X+Y, 试求随 机变量Z的分布律.
解
由随机变量X,Y的取值,知Z的可能取值是1,2,3.
1 P Z 1 PX 1， Y 0 ； 4

P 0， 1 PX 0， Y 1 PX 1， Y 1
P{ X 0}P{Y 1} P{ X 1}P{Y 0}
2 p(1 p)
随机变量函数的分布
同理 P 1， 0 P () 0 p2 P 1， 1 PX 1， Y 1 于是ξ和η的联合分布律与ξ和η的各自边缘分布律:
概率密度。
1.求 Z g X， Y 的分布函数FZ z ，
FZ z PZ z
2, 求 Z g X， Y 的密度函数f Z z FZ z .
g x , y z
f ( x, y)dxdy
随机变量函数的分布
二、和Z=X+Y的分布

z
O
x
x y z
f x， y dxdy
x z z
dx f ff x，u yxdydx x dx du xx， du ，u

作变换： u x , y
随机变量函数的分布
F ( z ) du f x， u x dx
随机变量函数的分布
在实际问题中，常常会遇到需要求随机变量函数的
分布问题。例如：在下列系统中，每个元件的寿命 分别为随机变量 X,Y ，它们相互独立同分布。我们 想知道系统寿命 Z 的分布。
1）
2）
Z min( X , Y ) Z max( X , Y )
3）
Z X Y
这就是求随机变量函数的分布问题。
说明： 二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维随机变量，
若设(X,Y)的联合概率密度函数为z=f (x, y),则二维随机变量
(X,Y)的函数Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量.
随机变量函数的分布
解题步骤：
已知二维随机变量(X,Y)的联合密度为f (x, y), g(x , y)是二元连续函数，欲求随机变量 Z=g (X,Y)的
X1, X2,…, X5独立同分布
x0 x0
F ( x )5 FM ( x ) Fi x
(1 e x )5 0
其概率密度函数为：
5 1 e x 4 e x fM ( x ) 0


x0 x0
随机变量函数的分布
1.M maxX ,Y 的分布．
FX z FY z
FM z PM z PX z ,Y z F z , z
X与Y相互独立
2.N minX ,Y 的分布．
FN z PN z 1 PN z 1 PX z ,Y z
5个电子装置串联时, 有一个不工作，则整机就不工作 2.整机的寿命 N min X1 , X 2 X 3 , X 4 X 5 N的分布函数为：
5 i 1
FN x 1 1 Fi x
f Z z f X x fY z x dx

e y , fY y 0,
y 0, y 0.
设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有
0 x 1, z x 0
f x f z x dx, 0 x 1, z x 0 不可能事件的概率等于0.
随机变量函数的分布
2.连续型随机变量和的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，其联合概率密度 函数为f (x , y), 令：Z=X+Y.试求随机变量Z的密度函 y 数fZ(z). 1.计算随机变量Z=X+Y的分布函数FZ(z).
FZ z PZ z PX Y z
2 2
x2 2
z x 2
随机变量函数的分布
结论1： 如果随机变量与Y相互独立，且X~N(μ 1, σ 12),
Y~N(μ 2, σ 22),令Z=X+Y,则Z ~N(μ 1 +μ 2,σ12 +σ 22). 结论2：如果随机变量X1, X2,…, Xn相互独立，且 Xi~N(μ i,σi2) (i=1,2,…,n), 又a1, a2,…, an为n个
f x， y f X x fY y .
于是,(1)(2)式可写为:
f Z z

f x f z x dx ;
X Y
f Z z



f X z y fY y dy
我们称上式为函数fX(x)与 fY(y) 的卷积.记为: fX(x)* fY(y).


0
1
pi
0 1
p j
1 p 2
0
2 p1 p 1 p 2
p2
1 1 p
2
p2
1 wenku.baidu.com p 2
因为0<p<1,所以: P 1， 0 0 P{ 1}P{ 0} 随机变量ξ和η不独立.
p 1 p
2 2
随机变量函数的分布
例5: 设有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xi (i=1,2,3,4,5)都服从参数为λ的指数分布. 1.若将这5个电子装置并联，组成整机，求此整机的 寿命M的分布。 2.若将这5个电子装置串联，组成整机，求此整机的 寿命N的分布。 的概率密度函数为: 解 Xi服从参数为λ的指数分布.
e x f x 0 x0 x0
随机变量函数的分布
FN x PN x
Pmin X 1， X 2， ， X n x 1 Pmin X 1， X 2， ， X n X与Y相互独立 x 1 PX 1 xPX 2 x PX n x
1 1 Fi x
1 1 FX z 1 FY y
X与Y相互独立
随机变量函数的分布
推论： 1, X2,…, Xn是相互独立的连续型随机变量， 设X
Xi的分布函数是Fi(x),令 M max X1， X 2， ， X n ，
N min X1， X 2， ， X n ， 试求随机变量M与N的分布函数.

随机变量函数的分布
PZ 2 PX 1， Y 1 PX 2， Y 0
1 1 0 ； 8 8
Y X 1 2 0
1 4 1 8
1
0
5 8
5 PZ 3 PX 2， Y 1 ； 8 由此得 Z=X+Y的分布律
Z P
1
2
3
1/4 1/8 5/8
X Y
随机变量函数的分布
f Z z

z
zx0
1
(1) 若z≤0,则fZ(z)=0 于是得随机变量X+Y的密度函数为 z (2) 若0<z<1, f Z z 1 e ( z x ) dx
0
1
x
00 z z0 z e z e x dx 1 e z f Z z 1 e 0 0 z 1 1 z (3) 若z≥1, f Zezz 1 e(z x ) dxz 1
n n 2 2 Z a i X i， 则 Z ~ N a i i， a i i i 1 i 1 i 1
实常数,令
n
随机变量函数的分布
三、极值分布
M maxX ,Y , N minX ,Y
设(X,Y)是二维独立随机变量，其联合分布函数 为F(x,y),边缘分布函数分别为FX(x)和FY(y).
解 设随机变量M与N的分布函数分别为FM(x)和FN(x).
FM x PM x
X与Y相互独立
P X 1 x， X 2 x， ， X n x
Pmax X 1， X 2， ， X n x

n
PX 1 xPX 2 x PX n x Fi x i 1
f Z z f X x * fY y
随机变量函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，X服从区间(0,1）上 的均匀分布，Y服从λ=1的指数分布.令Z=X+Y,试求 随机变量Z的密度函数. 解 由题意知:
1, 0 x 1, f X x 其它. 0,
ξ和η的联合分布律与ξ和η的各自边缘分布律，并 判断ξ和η是否相互独立. 解 由随机变量X与Y的取值都为0,1Y 的取值为0,1 min X， Y ， max X，
P 0， 0 PX 0， Y 0
P{ X 0}P{Y 0} (1 p) 2
x ,
设随机变量Z=X+Y的密度函数fZ(z),则有
1 f Z z f X x fY z x dx e e 2 dx 2 2 2 z u z x z 1 1 4 212 2 2 1 e e 2 du u x z du dx e e dx 2 2 2 22 2 2 2 2 z 2 1 2 2 e Z ~ N 0， 2． 2 2