运用相似三角形解题的方法

运用相似三角形解题的方法

河南 刘生武 靳红

一、 寻找法

例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 的外接圆的

上任一点，连结AD 、BD ．求证：BE AE BD AB

=． 分析：要证BE AE BD AB

=，可利用相似三角形，怎样找相似三角形呢？比的前项BE 和AE 是△ABE 的两条边，比的后项BD 和AB 是△ADB 的两条边，所以我们只要证明△ABE ∽△ADB 就可以了．

证明：∵AB=AC ∴∠ABE=∠C ，

∵∠D=∠C ，∴∠ABE=∠D ，

又∵∠BAD=∠BAE

∴△ABE ∽△ADB ∴BE AE BD AB

= 如果这个题的结论是改成证明

BE BD AE AB =，则应该把等式左边比的前项和后项看成一个三角形的两条边，而把等式右边的前项和后项看成另一个三角形的两条边；或者交换比例内项的位置也可以．

二、 构造法

有时，题目里面没有现成的相似三角形，就需要添线构造了．

例2：如图2，AD 是△ABC 的高， AE 是△ABC 的外接圆直径．求证：AB·AC ＝AD·AE ． 分析：AB·AC ＝AD·AE 改成比例式就是AB AE AD AC

=，根据寻找法需要证明△ABE ∽△ADC ，但图形中没有△ABE ，因此需要连结BE ，构造出△ABE ，然后证明相似就

可以了．

构造法是平面几何中一种十分重要的方法，不仅在相似形中用得着，而

且在其它方面应用也非常广泛．

三、 过渡法

有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过

渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．

1、等线段过渡法

例3：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．

分析：DE 2＝BE·CE 改成比例式为DE CE BE DE

=，但线段DE 、BE 、CE 在同一直线上，构造不出相似三角形．因EF 垂直平分AD ，连结AE ，则有

DE ＝AE ，要证的比例式可化为AE CE BE AE

=．由此只需要证明△ABE ∽△CAE 即可．

2、等比过渡法

例4：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于

点F ．求证：AB DF AC AF

=． 分析：显然此题不能找出直接得到这个比例式的两个相似三角

形．但由已知条件易证

AB BD AC AD =，这就转化为证明比例式BD FD AD AF

=． 只须证明△AFD ∽△DFB 即可．

3、等积过渡法

例5：如图5，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的

高，G 是DC 延长线上一点，过B 作BE ⊥AG ，垂足为E ，交CD 于点F ．

求证：CD 2＝DF·DG ．

分析：CD 2＝DF·DG 中的线段CD 、DF 、DG 位于同一条直线上，按常规

方法难以奏效．考虑到CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，可得CD 2＝AD·BD ，

因此可转化为证明AD·BD ＝DF·DG ．这可由△ADG ∽△FDB 证得．

四、假借法

例6：如图6，从圆外一点P 作切线PA ，从PA 的中点B 作割线

BCD ，连结PC 、PD ，分别交圆于E 、F ．

求证：FE ∥PA ．

分析：要证FE ∥PA ，当然会想到证明∠E=∠BPC ，因为∠D=∠E ，

自然也可以想到证明∠D=∠BPC ．问题是，怎么证明这两个角相等．从

图形上不难看出∠D 是△BPD 的内角，∠BPC 是△BCP 的内角，因此，

若能证明这两个三角形相似，问题就可以解决了．由切割线定理得BA 2

＝BC·BD ，所以BP 2＝BC·BD ，改成比例式为BP BD BC BP

=，又∠PBC 是公共角，所以这两个三角形确实相似．接着就不难证明FE ∥PA 了．

利用相似三角形证明垂直，方法与证平行差不多，我们也举一例．

例7：如图7，BD 、CE 分别是△ABC 的高，点O 是△ABC 外接圆的圆心．求证：AO ⊥DE ． 证明：延长AO 交⊙O 于点F ，连结CF ，

则∠ACF=90°.

∵∠AEC=∠ADB=90°, ∠BAC=∠BAC,

∴△ADB ∽△AEC. ∴AD AB AE AC

= ∴△ADE ∽△ABC.

∴∠ADE=∠ABC.

∵∠F ＋∠FAC=90°，∠F=∠ABC ，

∴∠ADE ＋∠FAC=90°，

∴AO ⊥DE.

五、分拆法

例8：如图8，P 是等边三角形ABC 的外接圆的上的一点．求证：

PA 2＝AB 2＋PB·PC ．

分析：由已知条件，不难得出△ADB ∽△ABP ，从而AB 2＝PA·AD ，

因此要证原式成立，只需要证明PA 2＝PA·AD ＋PB·PC ，因为AD 是PA 的

一部分，因此我们可以把PA 分成AD 和PD 两部分，则PA 2＝PA （AD ＋PD ）

＝PA·AD ＋PA·PD ，下面证明PA·PD ＝PB·PC 可以通过证明△PAC ∽△PBD 而得到．

六、转换法

例9：如图8，P 是等边三角形ABC 的外接圆的上的一点，PA 交BC 于点D ．求证：111PB PC PD

+=． 分析：111PB PC PD +=可以转换为1PD PD PB PC

+=，要证明这个等式，关键是要把两个比换成后项相同，而前项之和恰好等于后项．注意到△PDB ∽△CDA ，△PDC ∽△BDA ，所以PD DC PB AC =，PD DB PC AB =，问题就转化为证明1DC DB AC BC

+=，因为AB ＝AC ＝BC ，上式又可以转化为1DC DB BC BC

+=，这个等式的成立是显而易见的． 运用相似三角形解题的方法是平面几何中最为有效的方法之一，其关键是寻找相似的三角形．简单的图形一眼就能看出来，稍为复杂的图形，还要将条件和结论联系起来，按照上述所列举的方法，综合考虑．