中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

2
x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E
解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究
王文彬
极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下：
§1.极点与极线的定义
A
1.1 几何定义
如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引
两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FG
F
N
E
P
交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.
若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.
由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点
H B
G M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M
点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.
事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.
图 1
1.2 代数定义
已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线
0 0
l : A x +
C y + y (
D x ) + (
E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.
0 0 0 0
x + x
事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)
0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.
特别地：
(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y
= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；
0 0
(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；
0 0
(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0
§2.极点与极线的基本结论
定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；
(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点
弦所在直线)；
(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.
证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -
，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率
Cy + E
Ax + D Ax + D
为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =-
0 0 0 0
( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 Γ 上 ， 故 有 0
0 0
Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点
M
x + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)
Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，
处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .
0 0 0 0
(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为
M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点
1 1
2 2
M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=
F
1 1 1 1
Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点
2
2
2
2
P 在切线上，所以有
Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 1
0 1
1
1
Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，
0 2
0 2
2
2
P
观察这两个式子，可发现点
M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线
1
1
2
2 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，
N
图 2
又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为
Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .
(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在
1
1
2
2
这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和
1
1
1
1
Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，
2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有
T
.
1
1
1
1
Q(m,n)
2
2
2
2
观察两式可发现
S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线
1
1
2
2
Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，
S
图 3
又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点
0 0 0 0 0 0
Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.
0 0 0 0
所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .
0 0 0 0
定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相
应的极线，反之亦然.
P
B
点 P 的极线
点 P 的极线
P
A
图 4(1)
即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.
图 4(2)
.
) 22 a 2 b 2 c
2
y 2 y
证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2 1
2 2 2
2 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( )
k
OC = +
p
y p py
§3.极点与极线在教材中的体现
极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2
= 1 ， 当 P( x , y ) 为 其 焦 点 F (c , 0 时
， 极 线 0 0
x x y y a 2 x 2 y 2
0 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2
= 1 ，当
x x y y a 2
P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果
0 0 p
圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变
0 0 0 0 p
为 x =- ，恰是抛物线的准线.
2
3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解
【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为
y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2
三点对应的极线方程分别是
p y 2
1 2
A
p
y 2 y 2
x =-
， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ，
1
2
C
O F
B
x
由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p
三条极线共点，将 x = -
代入后面两式得
2 图 5
1
p 2
1 p
2 y y 2 - p 2
y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1
⇒ y y = - p 2 . 1
2 1 2
2
2
作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明
这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px 的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C
在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点.
简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y)
1 1
2
2
p
，则 C (- , y 2
2 ，
从而 k O A = y 1 = x 1
2 p
y ，
1 -
2
2
=-
点.
3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与
圆锥曲线的位置关系问题来解决
【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为
何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？
(2)已知双曲线 x 2 -
是线段 AB 的中点？
y 2 2
= 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 P
x + 0
，故 ⎨
， ⎩ 2ky + y = 2 x ⎪⎪ 0
k 当 k ≠ 0 时， ⎨ ， 直 线 l 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 ⇔ P( x , y ) 在 抛 物 线 外
2
⎪ y = ⎩⎪⎪ 0 2
故 ⎨ ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ⎪(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2
⎪⎩ 2
. 解：(1)设点 P( x , -1), A( x , y ), B( x , y ) ，
A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ⎨ 1 0 x x = 2( y - 1) ⎩ 2 0
解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为
P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0
y ⎧
1 x = +
2 0 0
⎪ 0 k ⇔ y 2 > 4 x ⇔ 0 0 4 1 1 1
> 4( + 2) ，解得 -1 < k < 且 k ≠ 0 ；同理可求得当 k = -1 或 k = k 2 k 2 2
1
或 k = 0 时直线与抛物线只有一个公共点；当 k < -1 或 k > 时直线与抛物线没有公共点.
2
(2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0
⎧ y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 0
0 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与
双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.
§4.极点与极线在各种考试中的深层体现
4.1 高考试题中的极点与极线
极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也
不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然 会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景
【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且
y
B
AF = λ F B(λ > 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线，
并设其交点为 P .
F
(1)证明 FP ⋅ AB 为定值；
(2)设 ∆ABP 的面积为 S ，写出 S = f (λ ) 的表达式，
并求 S 的最小值.
A
O
P
x
0 1 1
2 2
图 6
F , A, B 三点对应的极线方程分别为
y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y + y) ，由于
1 1
2
2
0 ⎧ x x = 2( y - 1) 1 2
，
两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) .
1
2
1
2
又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ⋅ AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 0
2
1
2
1
2
1
2
1 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB
对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得 AB = 4(1+ k 2) ，所
以
2
y + - 2
1 k 设 AB : y -
2 = k ( x - ) ， 可 化 为 = x ， 故 直 线 AB 对 应 的 极 点 为
2 = k k + ⎪⎪
3 2
⎪ k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2
⎪ y = 2
2
⎪⎩
2 2 2
4 2 4 4
FP ⋅ FA cos ∠AFP = = 2
4 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ⋅ FA FP
FP x 2 + ( x 2 - )2
4 4
1 1 x + x
FP ⋅ FB 同理 cos ∠AFP = =
S
∆ABP = 1 2
AB FP = 2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) .
显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 .
【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0
上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ，
且与抛物线分别相切于 A, B 两点.
(1)求 ∆APB 的重心 G 的轨迹方程； y
B
与 (2)证明 ∠PFA = ∠PFB .
解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ，
0 0 1 1 2 2
y + y
0 = x x 对比知直线 l : x - y - 2 = 0 对应的
0 A F
O
P l
x
1
极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应
2
图 7
1
的极线 AB 必恒过点 ( , 2) .
2
k
2
2 2 2
k k k
( , - 2 )， 将 直 线 AB 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2
x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ∆APB 的重心 G 的轨迹方程为
1
2
1
2
1
2
⎧
k ⎪ x =
1 ⎨
，消去 k 即得 y = (4 x 2
- x + 2) . k k 3 =
3 3
k k k
(2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以
1 1
2 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) .
1 1 1
2 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x +
1 1 2
1 1
2 1 1 FP ( x 2 + ) 1
x x +
1 2
FP ⋅ FB FP
1
4 .
所以有 ∠PFA = ∠PFB .
评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点
共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.
4.2 竞赛试题中的极点与极线
作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.
A B
2 a b 2 2a
y )2 】
(
评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点 评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 .
.
【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ∆ABC 为锐角三角形，以 AB 为直径的⊙ K
分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作⊙ K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作⊙ K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上.
R
R (-a,y 2)
y
C
C
P
Q
S
P
S (a,y 1)
Q
K
下面将圆加强为椭圆，并给出证明.
A
图 8
K B x
证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2
= 1 ，
- x y y
并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点
1 2
a( y 2 - b 2 ) 2b 2 y y
Q( , 2 ) ， 直 线 B Q: = - 2 ( x - a
， 同 理 我 们 可 以 得 到 直 线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2
y y - y 2 y y
AP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验
a y + y y + y
1 2 1 2
y - y
证其坐标满足直线 RS : y - y = 1
2 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得 简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.
【例 6】《中等数学》2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2
+ = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9
与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ， 过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程
x 2 y 2
25 9
= 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1
立即可得答案为 3x 2 y
+ = 1 .
25 9
【例 7 《中学数学》2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1
+ y 2 = 1 ， M ( , ) ，
2 2 2
过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N 的轨迹是
一条定直线.
1 1 x y
2 2 4 2
从例 6、例 7 可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐
2 mk m 评析：由定理 1 知，该定理中定点 M (m ,0) ，直线l : x = 即为一对极点与极线，从
4.3 一些结论中的极点与极线
圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【 】与文【3】所述的
圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如
【 定 理 】【 2 】
线 段 PQ 是 过 椭 圆 x 2 y 2 + a 2 b 2
= 1(a > b > 0) 长 轴 上 定 点
M (m ,0)( m ≠ 0, m ≠ ±a) 的弦，S , T 是长轴上的两个顶点，直线 SP , SQ 与直线 l : x = a 2 m
交
于 A( x , y ), B( x , y ) 两 点 ， 并 且 直 线 PQ 的 斜 率 k 存 在 且 不 为 零 ， 则 有
A A
B B
2b 2 m 2b 2 - a 2b 2
y + y =- , y y = . A B A B 2
这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结
论.
a 2
m
另一方面来说，该定理是【例 1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定 理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极 线的性质证明，文【3】则完全是定理 1 的一种特例.
定理 1 和定理 2 反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.
参考文献
【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6
【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3
【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7
【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5
【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6
【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8
【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12
【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10
【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.11
1 、数论是 人类 知识 最古 老的 一个 分支 ，然而 他的 一些 最深 奥 的秘 密
与其 最平 凡的 真理 是 密切 相连 的。

2 、数学 是研 究现 实 生活 中数 量关 系和 空 间形 式的 数学 。

3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

4、一个数学家越超脱越好。

5、数学是各式各样的证明技巧。

6、数学是锻炼思想的体操。

7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。

8、数学是研究抽象结构的理论。

9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。

它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。