中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

2

x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

王文彬

极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下：

§1.极点与极线的定义

A

1.1 几何定义

如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引

两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FG

F

N

E

P

交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线.

若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线.

由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点

H B

G M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M

点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.

事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法.

图 1

1.2 代数定义

已 知 圆 锥 曲 线 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线

0 0

l : A x +

C y + y (

D x ) + (

E y) +y 是圆锥曲线 Γ 的一对极点和极线.

0 0 0 0

x + x

事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此)

0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程.

特别地：

(1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y

= 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1；

0 0

(2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1；

0 0

(3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x + x) . 0 0

§2.极点与极线的基本结论

定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 Γ 上时，则极线 l 是曲线 Γ 在 P 点处的切线；

(2)当 P 在 Γ 外时，则极线 l 是曲线 Γ 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点

弦所在直线)；

(3) 当 P 在 Γ 内时，则极线 l 是曲线 Γ 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.

证明：假设同以上代数定义，对 Γ : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy ' + 2D + 2Ey ' = 0 ，解得 y ' = -

，于是曲线 Γ 在 P 点处的切线斜率

Cy + E

Ax + D Ax + D

为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =-

0 0 0 0

( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 Γ 上 ， 故 有 0

0 0

Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 Γ 在 P 点

M

x + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0)

Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，

处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .

0 0 0 0

(2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为

M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点

1 1

2 2

M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0=

F

1 1 1 1

Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点

2

2

2

2

P 在切线上，所以有

Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 1

0 1

1

1

Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ，

0 2

0 2

2

2

P

观察这两个式子，可发现点

M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线

1

1

2

2 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上，

N

图 2

又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为

Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 .

(3)设曲线 Γ 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在

1

1

2

2

这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和

1

1

1

1

Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，

2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有

T

.

1

1

1

1

Q(m,n)

2

2

2

2

观察两式可发现

S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线

1

1

2

2

Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上，

S

图 3

又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点

0 0 0 0 0 0

Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 上.

0 0 0 0

所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 .

0 0 0 0

定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相

应的极线，反之亦然.

P

B

点 P 的极线

点 P 的极线

P

A

图 4(1)

即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示.

图 4(2)