第三章 解的存在唯一性
解的存在唯一性定理与逐步逼近法习题与解答
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法习题与解答1 求方程dxdy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ϕ 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==++=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++2 求方程dxdy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ϕ则 200200121)()(x xdx dx y x y x xx ==-+=⎰⎰ϕ 522200210220121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=⎰⎰ϕϕ dx x x x y x x ])20121([)(252003--+=⎰ϕ =1185244001160120121x x x x -+-3 题 求初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=41 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤41 令 )(0X ψ=0 ;)(1x ψ=y 0+⎰-xx x 0)0(2dx=31x 3+31; )(2x ψ =y 0+])3131([2132⎰-+-xx x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 yy x f ∂∂),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤322)12(*h L M +=24114 题 讨论方程：3123y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解；解：因为yy x f ∂∂),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而3123y 在y 0 σ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23又 因为y(0)=0 所以：y =x 23另外 y=0也是方程的解；故 方程的解为：y =⎪⎩⎪⎨⎧≥00023 x x x或 y=0;6题 证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数， 且满足不等式：f(t)≤k+⎰tds s g s f α)()(,βα≤≤t则有：f(t)≤kexp(⎰tds s g α)(),βα≤≤t证明：令R （t ）=⎰tds s g s f α)()(,则R '(T)=f(t)g(t)R '(T)-R(t)g(t)= f(t)g(t)- R(t)g(t) ≤kg(t)R '(T)- R(t)g(t)≤kg(t);两边同乘以exp(-⎰tds s g α)() 则有：R '(T) exp(-⎰tds s g α)()-R(t)g(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤ kg(t) exp(-⎰tds s g α)()两边从α到t 积分：R(t) exp(-⎰t ds s g α)()≤-⎰t ds s kg α)(exp(-⎰tdr r g α)()ds即 R(t) ≤⎰t ds s kg α)( exp(-⎰tsdr r g )()ds又 f(t) ≤1≤k+R(t) ≤k+k ⎰t s g α)(exp(-⎰tsdr r g )()ds≤k(1-1+ exp(-⎰t s dr r g )()=k exp(⎰stdr r g )()即 f(t) ≤k ⎰tdr r g α)(;7题 假设函数f(x,y)于（x 0,y 0）的领域内是y 的 不增函数，试证方程dxdy = f(x,y)满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多只有一个解； 证明：假设满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧有两个ψ(x),ϕ(x) 则满足：ϕ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ϕdxψ(x)= y 0+⎰xx x x f 0))(,(ψdx不妨假设ϕ(x) ψ(x)，则ϕ(x)- ψ(x)≥0而ϕ(x)- ψ(x)= ⎰x x x x f 0))(,(ϕdx-⎰xx x x f 0))(,(ψdx=⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx又因为 f(x,y)在（x 0,y 0）的领域内是y 的 增函数，则： f(x, ϕ(x))-f(x, ψ(x))≤0则ϕ(x)- ψ(x)= ⎰-xx x x f x x f 0))(,())(,([ψϕdx ≤0则ϕ(x)- ψ(x)≤0所以 ϕ(x)- ψ(x)=0， 即 ϕ(x)= ψ(x) 则原命题方程满足条件y(x 0)= y 0的解于x ≥ x 0一侧最多 只有一个解；。
第3章_第1节_解的局部存在唯一性定理(续)
(1)
–1
当 y0 0, 1时， 所给方程过点( x0 , y0 ) 的解(积分曲线)是 y( x ) x 1 y0 y ln y dy x0dx
由被积函数，知
积分
y0 y( x ) 0
y( x ) x 1 dy dx , 得 x0 y ln y
y0
ln ln y( x ) ln ln y0 x x0
证 f y ( x , y )在D上连续, 必有界
dy f ( x, y) (1) dx y( x0 ) y0
常数 L 0, 使
f y ( x , y) L (( x , y) D )
从而 ( x , y1 )，( x , y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使
f ( x , y )在D上关于y 满足 Lipschitz 条件
反例： 取 f ( x , y) y，
( x , y) D {( x , y) x x0 a, y 0 b}
( x , y1 )，( x , y2 ) D
f ( x , y2 ) f ( x , y1 ) y2 y1 y2 y1
L1
即 f ( x, y) y 在D上关于y 满足 Lipschitz条件
但点( x ,0)( D )处，f y ( x , y) 不存在
f y ( x , y )在D上不连续.
的条件(2).
上述关系表明：推论1中的条件(2)强于定理1
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
若 f ( x , y) 在闭带形区域： 推论2 D {( x , y) x , y }
第3章第1节解的局部存在唯一性定理(续)精品PPT课件
三、几点说明
1. 可用“f y ( x, y) 在D上连续” 代替定理1 2. 中的Lipschitz 条件，此条件更加便于检验；
推论1 (柯西存在唯一性定理) 设 f ( x, y) 在有界闭矩形区域： D {( x, y) x x0 a, y y0 b}
常数 L 0, 使
f y ( x, y) L (( x, y) D ) 从而 ( x, y1 )，( x, y2 ) D，
(介于y1与y2之间), 使 f ( x, y2 ) f ( x, y1 ) f y ( x, ) y2 y1
L y2 y1 即 f ( x, y)在D上关于y满足Lipschitz条件 由推论2知，推论3成立.
上满足如下两个条件： (1) 连续； (2) f y ( x, y)连续,
则初值问题(1)存在唯一的解 :
dy f ( x, y) dx
(1)
y( x0 ) y0
y ( x) x I [x0 h, x0 h]
其中 h min(a, b ), M max f ( x, y) .
的条件(2).
2. 可将定理1中的有界闭矩形区域 D 推广；
推论若 2f ( x, y) 在闭带形区域：
D {( x, y) x , y }
上满足如下两个条件： (1) 连续；
dy f ( x, y) dx
(1)
y( x0 ) y0
(2) 关于y满足Lipschitz条件,
如： 对于黎卡提方程 dy x2 y2， dx
虽然不能用初等积分法求解，但
由推论4知，该方程在(x, y)平面上 经过每一点有且只有一个解.
注 1 f ( x, y)在区域G内连续
常微分方程第三章基本定理
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线性化定理
总结词
线性化定理是将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，从而可以利用线性方程的解法来求解。
详细描述
线性化定理提供了一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法。通过适当的变换，可以将非线性问题 转化为线性问题，从而可以利用线性方程的解法来求解。这个定理在解决复杂的非线性问题时非常有用，因为它 简化了问题的求解过程。
02
CATALOGUE
常微分方程的稳定性
稳定性定义
稳定性的定义
01
如果一个常微分方程的解在初始条件的小扰动下变化不大，那
么这个解就是稳定的。
稳定性的分类
02
根据稳定性的不同表现，可以分为渐近稳定、指数稳定、一致
稳定等。
稳定性判别方法
03
可以通过观察法、线性化法、比较法等方法来判断常微分方程
的解是否稳定。
龙格-库塔方法
总结词
龙格-库塔方法是常微分方程数值解法中一种更精确的 方法，它通过多步线性近似来逼近微分方程的解。
详细描述
龙格-库塔方法的基本思想是利用已知的初值和微分方 程，通过多步线性插值来逼近微分方程的解。具体来 说，龙格-库塔方法通过递推公式来计算微分方程的近 似解，公式如下：(y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) + frac{h^2}{2} f(t_{n-1}, y_{n-1}) - frac{h^2}{2} f(t_{n-2}, y_{n-2})) 其中 (h) 是步长，(t_n) 和 (y_n) 是已知的初值，(f) 是微分方程的右端函数。
存在唯一性定理表明，对于任意给定的初值问题，存在一个唯一的解，该解在某个区间内存在并连续 。这个定理是常微分方程理论的基础，为后续定理的证明提供了重要的依据。
一阶微分方程的解的存在性定理
y ( x )为积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于x0 x x0 h
x0
上的解。
现在我们先构造积分方程y y0 f ( x , y )dx的定义于 x0 x x0 h上的Picard的逐次逼近函数列 n ( x ) .
结果1：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )存在且有界，则 f ( x , y )在R上关于y满足Lipschitz条件。
结果2：如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )连续，则f ( x , y ) 在R上关于y满足Lipschitz条件。
下面我们分五个命题来证明定理。为此先给出： 定义2（积分方程）：如果一个数学关系式中含有定积 分符号且在定积分符号下含有未知函数，则称这样的 数学关系式为一个积分方程。
x 例如， y e y(t )dt 0 x
就是一个简单的积分方程。
x
定义3(积分方程的解)对于积分方程 y y0 f ( x , y )dx，
满足初始条件
y( x0 ) y0 ,
y( x0 ) y0.
3. 近似计算和误差估计
存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性,同时还 给出了第n次近似解n(x)和真正解(x)的误差估计
n
ML n ( x) ( x) hn1 (n 1)!
有了误差估计式, 我们就可根据实际要求, 选取适当 的逼近函数 n ( x ).
问题：这样构造函数列是否行的通，即上述的积分是否有 意义？
命题2：对任意的自然数n， n ( x )在x0 x x0 h上有定义、 连续且满足不等式
n ( x) y0 b.
【免费下载】第三章 一阶线性微分方程组 第一讲一阶微分方程组及解的存在唯一性定理
韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案第一讲 一阶微分方程组及解的存在惟一性定理（2课时）一、目的与要求: 了解高阶微分方程与一阶微分方程组的等价关系, 理解用向量和矩阵来研 究一阶微分方程组的作用, 了解微分方程组解的存在唯一性定理.二、重点：一阶微分方程组的向量和矩阵表示及解的存在唯一性定理.三、难点：向量和矩阵列的收敛性的定义, 二者的范数定义及其相关性质.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1 课题引入在前两章里，我们研究了含有一个未知函数的常微分方程的解法及其解的性质.但是，在很多实际和理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质.例如，已知在空间运动的质点的速度与时间及(,,)P x y z t 该点的坐标的关系为(,,)x y z v v v v韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案123(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z v f t x y z v f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩且质点在时刻经过点，求该质点的运动轨迹。
0t 000(,,)x y z 因为和, 所以这个问题其实就是求,x y dx dy v v dt dt ==z dz v dt =一阶微分方程组123(,,,)(,,,)(,,,)x f t x y z y f t x y z z f t x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 的满足初始条件 00(),x t x =00(),y t y =00()z t z =的解.(),(),()x t y t z t 另外，在n 阶微分方程（1.12）()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 中,令就可(1)121,,,n n y y y y y y --'''=== 以把它化成等价的一阶微分方程组韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案11221111(,,,,)n n n n dy y dx dy y dx dy y dx dy f x y y y dx ----⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎩ 注意，这是一个含n 个未知函数 的一阶微分11,,,n y y y - 方程组.含有n 个未知函数的一阶微分方程组的一般形12,,,n y y y 式为： (3.1)11122112112(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n dy f x y y y dx dy f x y y y dx dy f x y y y dx ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪⎪=⎪⎩ 如果方程组(3.1)右端函数不显含, 则相应的方程称为是自x 治的. 方程组(3.1)在上的一个解，是这样的一组函数[,]a b韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案12(),(),,()n y x y x y x 使得在上有恒等式[,]a b 12()(,(),(),,())i i n dy x f x y x y x y x dx = (1,2,,)i n = 含有n 个任意常数 的解12,,,n C C C 1112221212(,,,,)(,,,,)(,,,,)n n n n n y x C C C y x C C C y x C C C ϕϕϕ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ 称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组11212212121212(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0(,,,,,,,,)0n n n n n n n x y y y C C C x y y y C C C x y y y C C C Φ=⎧⎪Φ=⎪⎨⎪⎪Φ=⎩ 则称后者为(3.1)的通积分.如果已求得(3.1)的通解或通积分，要求满足初始条件 1010202000(),(),,()n n y x y y x y y x y ===韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案(3.2)的解，可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中，得到关于的n 个方程式，如果从其中解得，12,,,n C C C 12,,,n C C C 再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解. 2 一阶微分方程组的向量和矩阵表示 为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(3.1). 令n 维向量函数 12()()(),()n y x y x Y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11221212(,,,,)(,,,,)(,)(,,,,)n n n n f x y y y f x y y y F x Y f x y y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 并定义 111(),dy dx dy dY x dx dx dy dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 00001()()()()x x x x n x x x n x f x dx f x dx F x dx f x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 则(3.1)可记成向量形式(3.3)(,)dY F x Y dx =初始条件(3.2)可记为 其中 00(),Y x Y =102000n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (3.2)′(3.3)的满足(3.2)′的初值问题可记为(3.4)00(,)()dY F x Y dx Y x Y ⎧=⎪⎨⎪=⎩这样，从形式上看，一阶方程组与一阶方程式完全一样了.进一步，对n 维向量Y 和矩阵,()ij A a =12,n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111212122212n nn n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦定义 1,n i i Y y ==∑,1niji j A a ==∑易于证明以下性质：1., 且, 当且仅当0Y ≥0Y =0Y =( 表示零向量，下同);02.;1212Y Y Y Y +≤+3.对任意常数，有;αY Y αα=A 4.;0A ≥5.;A B A B +≤+6.对任意常数，有;γA A γγ=A 7.;AY A Y ≤A 8. .AB A B ≤A 称和分别为向量和矩阵的范数. 进而还有如Y A Y A 下性质韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案00()()x x x x F x dx F x dx≤⎰⎰有了维空间的范数定义后，我们可以定义按范数收敛n 的概念. 即：如果对 上的任意x ，有[,]a b lim ()()0n n Y x Y x →∞-=则称 在 上按范数收敛于Y (x ).如果上式对 ()n Y x [,]a b [,]a b 上的x 为一致的，则称 在上 按范数一致收敛()n Y x [,]a b 于.()Y x 另外, 如果对n 维向量函数F (x )有00lim ()()0x x F x F x →-=则称 在 连续. 如果 在区间 上每()F x 0x ()F x [,]a b 一点 都连续, 则称 在区间 上连续.0x ()F x [,]a b 有了以上准备，完全类似于第二章定理2.2，我们有如下的关于初值问题(3.4)的解的存在与唯一性定理.定理3.1 如果函数 在 维空间的区域(,)F x Y 1n +00:,R x x a Y Y b -≤-≤上满足：1) 连续；2) 关于满足李普希兹条件，即存在, 使对于上Y 0N >R 任意两点 ,有1(,),x Y 2(,)x Y韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案1212(,)(,)F x Y F x Y N Y Y -≤-则存在, 使初值问题(3.4)的解在 上存在00h >00x x h -≤且唯一，其中0min(,b h a M =.(,)max (,)x Y R M F x Y ∈= 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程 00()(,())x x Y x Y F x Y x dx =+⎰(3.5)同解.为证(3.5)的解在 上的存在性，同样用00x x h -≤逐次逼近法，其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后，唯一性的证明，同样用贝尔曼不等式完成. 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初值的连续依赖性定理，这只要在第二章相应定理中把纯量换成向量即可.y Y 最后，我们要指出方程组(3.3)解的几何意义：我们已经知道，纯量方程(1.9)的一个解是二维空间平面上的一条xoy 曲线，或称为积分曲线，那么，很自然地有方程组(3.3)的一韩山师范学院数学系常微分方程精品课程教案个解就是维空间中的一条曲线了，也称它为方程组x Y1n (,)(3.3)的积分曲线.本节要点：1．一阶微分方程组解的存在唯一性定理及解的几何意义.2．一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理及其特征：系数和非齐次项连续区间上整体存在.作业: 完成定理3.1的证明. 。
Word可编辑_常微分方程理论知识与算法 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
第三章一阶微分方程的解的存在定理微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预料未来的可能情况。
对于反映某一运动规律的微分方程,如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解——“运动”具有所需的性能。
在第二章里，我们已经介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时指出，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此，对初值问题的研究被提到了重要的地位。
自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易举出解存在而不唯一的例子。
例如方程过点的解就不是唯一的。
事实上，易知是方程的过点的解。
此外，容易验证或更一般地,函数都是方程的过点而定义与区间上的解，这里的满足的任一数。
本章介绍的存在唯一定理完满地回答了上面提出的问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。
另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。
因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，显然问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。
解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基础。
此外，我们将看到在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。
由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。
因此我们以它作为初始条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。
3. 一阶常微分方程解的存在唯一性
由于ϕn(x) = ϕ0(x) + ϕ1(x) − ϕ0(x) + ϕ2(x) − ϕ1(x) + · · · + ϕn(x) − ϕn−1(x) ，
∞
故只需证明无穷级数ϕ0(x) + [ϕn+1(x) − ϕn(x)]在I上一致收敛即可。采用数学 n=0
归纳法来证明：
特别，取ϕ0(x) = y0，则 |ϕ1(x) − ϕ0(x)| =
设ϕ(x)和ψ(x)都 是 微 分 方 程(3.1)在I上 的 解。 记M = max |ϕ(x) − ψ(x)|， 根 x∈I
据Lipschitz条件，当x ∈ I时，有
|ϕ(x) − ψ(x)| ≤
x
|f (t, ϕ(t)) − f (t, ψ(t))|dt
x0 x
≤ L |ϕ(t) − ψ(t)|dt
第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
本章主要介绍和证明一阶微分方程解的Picard存在和唯一性定理，解的延拓，解对 初值的连续性和可微性等概念。
3.1 Picard存在唯一性定理
3.1.1 一阶显式微分方程
考虑一阶显式常微分方程的初值问题
dy dx
=
f (x, y)
y|x=x0 = y0
(3.1)
≤
LnM n!
x
|t − x0|ndt
x0
=
LnM (n + 1)!
|x
−
x0|n+1
特别，当|x − x0| ≤ h时，
|ϕn+1(x)
−
ϕn(x)|
≤
LnM (n + 1)!
hn+1
∞
由于正项级数
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
问题的提出
在前一章中，我们学习了用初等方法求解一阶
方程的几种类型。但是，大量的一阶方程一般是不
能用初等解法求出其通解，而实际问题中所需要的
往往是要求满足某种初始条件的解。因此对初值问 题(又称Cauchy问题)的研究被提到了重要的地位。
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
下面分五个命题来证明定理1： 命题1 设 y ( x) 是方程(3.1)的定义于区间
x0 x x0 h 上，满足初始条件 ( x0 ) y0 的解，则 y ( x) 也是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0
x
(3.5)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。反之亦然。
dy 2 x(1 y ), dx
的解. 解：其迭代序列分别为
y (0) 0
y0 ( x) 0,
y1 ( x) 2 d x
0
x
x
2
4 x y2 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2!
4 6 x x y3 ( x) 2 (1 2 )d x 2 0 2! 2! 3! x
L y1 y2
这里( x, y1 ),( x, y2 ) R,0 1.
二 近似计算和误差估计
求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里
0 ( x) y0 n ( x) y0
(n 1,2,)
x
x0
f ( , n1 ( ))d
需解决的问题
dy f ( x, y ) 1、初值问题 dx 的解是否存在？ y ( x0 ) y0 dy f ( x, y ) 2、若初值问题 dx 的解存在， y ( x0 ) y0
第三章线性微分方程LinearODE3.1预备知识3.2解的存在性与唯一性
(3.3.1)
否则，当且仅当 c= 1
c= = cm = 0 时，(3.3.1)成立，此时称这 m 个向量函 2
数于区间 Ω 上线性无关．
University of Science and Technology LiaoNing
ห้องสมุดไป่ตู้
第八讲: §3.2 解的存在性与唯一性 §3.3齐次线性微分方程组解的结构
第八讲: §3.2 解的存在性与唯一性 §3.3齐次线性微分方程组解的结构
命题 1 满足初始条件 x ( t0 ) = ξ 的微分方程组(3.1.6)等价于下面相应的积 分方程组：
x (t ) = ξ +∫ A (τ ) x (τ ) + f (τ ) dτ t0
t
(3.2.1)
ϕ0 ( t ) = ξ ,
的解，其中 c1 , c2 , , ck 是任意常数
称向量函数组 x ( t ) , x ( t ) , , x ( t ) 在区间 Ω 上是线性相关的， 如果存在不全
1 2 m
为零的常数 c1 , c2 , , cm 使得
c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) + + cm xm ( t ) ≡ 0, t ∈ Ω
1 2 m
m
Ω 上线性相关．
定理 3.2 齐次线性微分方程组(3.1.7)在区间上必存在 n 个线性无关的 解向量．如果 x1 ( t ) , x2 ( t ) ,, xn ( t ) 是区间 Ω 上(3.1.7)的 n 个线性无关的解，则 含任意常数 c1 , c2 , , cm 的表达式
= x c1 x1 ( t ) + c2 x2 ( t ) + + cn xn ( t ) , t ∈ Ω
解的存在唯一性定理
上连续,从而k1(x)在[x0 , x0 h]上连续且
k1(x) y0
x
x0 f ( ,k ( ))d
x x0
f (,k ( ))d
M x x0 Mh b
即当n k 1时成立,命题2成立
综上，命题2得证
二、存在唯一性定理
定理1
dy =f (x, y)
(1)
dx
D :| x x0 | a,| y y0 | b
如果f (x, y)在D上连续且关于y满足利普希茨条件，
则方程(1)存在唯一的连续解y (x),定义在|x x0| h
上，连续且满足初值条件
(x0 ) y0
这里h min(a, b ), M max | f (x, y) |
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
(3.11)
从而当x0 x x0 h时,
n (x) n1(x)
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.2 解的延拓
引例 : 考察 Riccati 方程 dy dx 1 ) 在矩形域 D : 1 x 1 , 1 y 1 上验证其满足解的存在 定理条件 , 并求出初值解存在区间 [ x 0 h , x 0 h ].
?h? 2 ) 若 D : 2 x 2 , 2 y 2, 则相应的结论如何
( 1 ) 命题 1) 原初值问题的解必定等 y y0
1 ( x ) 2 ( x ) (x)
k 1
价于如下积分方程 ( 3 . 2 )的连续解 .
: ( x I [ x 0 , x 0 h ])
明
x
x
f ( x , y ) dx
0
( 2 ) 构照一列 Picard 逐步逼近函数序列如下
注:
(1) 该定理说明若 必然局部存在且唯一 效果在于保证解曲线
b ( x ) , 其中 h min a , , M M
max
f (x, y).
f ( x , y )满足定理条件 , 其中解存在区间
, 则其初值解
y (x)
[ x 0 h , x 0 h ]中的 h 的 D 内部而不出超出 .
解 : 1) 由于 f ( x , y ) x
2
x
2
y , y(0) 0 唯一性
2
2 y 在 D 上连续 , 且 f y 2 y 在 D 上连续 ,
故方程满足解的存在唯
一性条件 .
1 1 又 a 1 , b 1 , M 2 ,因此 h min ,1 . 故解存在区间 2 2 2 1 2) a 2 , b 2 , M 8 , 此时 h min , 2 .故解存在区间 8 4
常微分方程解的存在唯一性定理
1解的存在唯一性
解的存在唯一性定理是指方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义，另一方面由于能求得精确解的微分方程并不多，常微分方程的近似解法具有十分重要的意义，而解的存在唯一性又是近似解的前提，试想，如果解都不存在，花费精力去求其近似解有什么意义呢？如果解存在但不唯一，但不知道要确定的是哪一个解，又要去近似的求其解，又是没有意义的。
2解的存在唯一性定理一
定理1
如果函数f(x,y)在矩形域R上连续且关于y满足利普希茨条件，则方程
dx/dy=f(x,y);存在唯一的解y=φ(x)，定义于区间|x-x0|<=h上，连续且满足初值条件φ(x0)=y0,这里h=min(a,b/M) , M=max|f(x,y)|。
命题1
设y=φ(x)是方程的定义于区间x0<=x<=x0+h上，满足初值条件φ(x0)=y0的解，则y=φ(x)是积分方程y=y0+∫f(x,y)dx,x0<=x<=x0+h的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解，反之亦然。
命题2
对于所有的n，皮卡逐步逼近函数φn(x)在 x0<=x<=x0+h上有定义，连续且满足不等式|φn(x)-y0|<=b。
命题3
函数序列{φn(x)} 在x0<=x<=x0+h上已收敛的。
命题4
φn(x)是积分方程的定义于x0<=x<=x0+h上的连续解
命题5
设ψ(x)是积分方程的定义于 x0<=x<=x0+h的另一个解，则
ψ(x)=φ(x)(x0<=x<=x0+。
常微分方程课件--解的存在唯一性定理
y ( x) [ s e
0
]ds
x
0
1 2 5 5 [1 ( ) ]ds x 1 2 4 8
例６讨论初始值问题
y 1 y 2 , y(0) 0
的解存在唯一的区间． f ( x, y) 1 y 2 在 解： 对于任意的正数 a, b, 函数
R x, y ) x a, y b (
（ 2 ）构造 Picard 迭代数列
取0 x） y0 代入(1.2.3)右端后得 （
1 x） y0＋ f (s, 0 (s))ds （
x0
x
2 x） y0＋ f (s, 1 (s))ds （
x0
x
（x） y0＋ f (s, n1 (s))ds n
x0
x
这样就得到一个连续函数列 n ( x ) 它称为 Picard迭代序列。
2
1 4 1 h min { , } 2 5 2
故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解
1 1 y y( x) 在 x 内存在唯一，当然也在 2 2 1 0 x 内存在唯一。
2
1 对 0 x 2
x
(1.2.11)等价的积分方程得 y( x) 0, 且
y2 (s)
y y( x) 满足 (2.2.2)
构造迭代序列 { yn ( x )} 来证明 (2.2.1) 有解． 取
y0 ( x) 1,
y1 ( x) 1 y0(s)ds 1 x,
0 x
y2 ( x) 1
x
0
x2 y1(s)ds 1 x , 2!
……
yn ( x) 1
常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
通过比较两个可能的解，证明它们必须相等。
举例说明
简单的一阶常微分方程
dy/dt = y，其解为 y = Ce^t（C为 常数）。
高阶常微分方程
d^2y/dt^2 = -g/m * dy/dt - k/m * y，描述了物体的自由落体运动，其解 为y(t) = A*cos(ωt + φ)（A、φ为常 数，ω=√(g/m)）。
02
常微分方程解的存在唯一性定理
定义与定理陈述
定义
常微分方程是数学中描述一个或多个变量的函数如何随时间变化 的方程。
定理陈述
对于给定的常微分方程，如果其初值条件是合理的，那么该方程 存在唯一的解。
证明方法概述
02
01
03
数学分析
使用极限理论来证明解的存在性和唯一性。
连续性
证明解在时间上的连续性，从而说明解的存在性。
03
逐步逼近法
方法原理
逐步逼近法是一种通过逐步近 似求解常微分方程的方法。其 基本原理是，通过逐步构造一 系列的近似解，使得这些近似 解逐渐逼近真实的解。
在每一步中，根据已知的近似 解和微分方程的信息，构造一 个新的近似解，使得新解与旧 解之间的差距逐渐减小。
通过这样的方式，逐步逼近法 能够逐渐逼近真实的解，最终 得到满足精度要求的近似解。
输出满足精度要求的近似解。
迭代；否则，继续迭代。
04
解的存在唯一性定理与逐步逼近法的应用
在实际问题中的应用
物理问题
常微分方程在物理学中有广泛的应用，如力学、电磁学等领域。通过解的存在唯一性定理和逐步逼近法，可以求解物 理问题中的微分方程，从而得到物理现象的数学模型。
经济问题
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如供需关系、市场竞争等。通过逐步逼近法，可以求解 这些微分方程，为经济决策提供依据。
3.1 一阶微分方程解的存在唯一性定理
第三章 一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。
2. 了解解的延拓定理及延拓条件。
3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。
[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。
[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。
2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。
3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。
§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。
在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。
而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。
他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。
例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。
解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。
【典型例题】 第三章 一阶微分方程的解的存在定理
第三章 一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。
解 函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。
因为逐次逼近函数序列为⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10，此时，2200),(,0,0y x y x f y x +===，所以0)(0=x y ，⎰=+=xx dx x y x x y 0320213)]([)(，633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=⎰，⎰⎰+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。
现在求h 的最大值。
因为 ),,min(22ba ba h += 对任给的正数b a ,，ab b a 222≥+，上式中，当 b a = 时，22b a b+取得最大值aab b 212=。
此时，)21,min()2,min(a a ab b a h ==，当且仅当aa 21=，即22==b a 时，h 取得最大值为22。
评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。
特别地，对其中的by a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列⎰-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。
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x
n1(x) n (x) x0 f (,n ( )) f (,n1( ))d
x
L x0 n ( ) n1( )d
MLn
n!
x x0
(
x0 )nd
MLn (x (n 1)!
x0 )n1,
于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0 )n ,
x0 x x0 h,
u' (x) Lu(x), (u' (x) Lu(x))eLx 0,
0 g(x) u(x)
(u' (x) Lu(x))eLx 0,
对最后一个不等式从 x0到x积分得 u(x)eLx u(x0 )eLx0 0,
故g(x) u(x) 0, 即g(x) 0, x [x0, x0 h]. 综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.
现设
lim
n
n
(
x)
(
x),
x0 x x0 h,
则由{n (x)}在[x0, x0 h]的连续性和一致收敛性 得,
(x)在[x0, x0 h]上连续,且
(x) y0 b
命题4 (x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
证明: 由Lipschitz条件有
f (x,n (x)) f (x,(x)) Ln(x) (x)
以及{n (x)}在[x0, x0 h]的一致收敛性得 ,
函数列{ fn (x)}, ( fn (x) f (x,n (x)))
在[x0, x0 h]上一致收敛于函数 f (x,(x)),
因此对(3.7)两边取极限 ,得
x
lim
n
n
(
x)
y0
lim
n
x0
f (,n1( ))d
x
y0
x0
故对上式两边求导,得
d(x) f (x,(x))
dx
且 (x0) y0
x0 x0
f
(x,(x))dx
y0
即y (x)为(3.1)的连续解.
构造Picard逐步逼近函数列{n (x)}
0 (x) y0
x
n (x) y0 x0 f (,n1( ))d
(n 1,2,)
(3.7)
x0 x x0 h
使得不等式
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2 对所有 (x, y1 ), (x, y2 ) R 都成立。
L 称为利普希兹常数。
二 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
dy dx
f (x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b, (3.2)
需解决的问题
10
dy
初值问题
dx
f
(x, y)的解是否存在?
y(x0 ) y0
20
dy
若初值问题
dx
f
(x, y)的解存在,是否唯一?
y(x0 ) y0
解不唯一
dy 2 y dx x(0) 0
y0
y x2
0,0 x c
y
(
x
c)2,c
x
1,0
c
1
解不存在
ddyx sgn( x) x(0) 0
M
( x, y)R
证明思路 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程
x
y y0 x0 f (t, y)dt
的连续解.
(3.5)
(2) 构造(3.5)近似解函数列 {n (x)}
任取一连续函数0 (x), 0 (x) y0 b, 代入(3.5)
右侧的y, 得
x
1(x) y0 x0 f (,0( ))d
它的前n项部分和为
n
Sn (x) 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1
于是{n (x)}一致收敛性与级数 (3.9)一致收敛性等价 .
对级数(3.9)的通项进行估计
x
1(x) 0(x) x0 f (,0( ))d M x x0
x
2(x) 1(x) x0 f (,1( )) f (,0 ( ))d
命题1
初值问题(3.1)等价于积分方程
dy dx
f (x, y), (3.1)
x
y(x0 ) y0
y y0 x0 f (t, y)dt (3.5)
证明:若y (x)为(3.1)的连续解,则
d ( x)
dx
f
( x, ( x)),
(x0 ) y0
对第一式从 x0到x取定积分得
如: y ex x y(t)dt,就是一个简单的积分方 程. 0
积分方程的解
对于积分方程y y0
x x0
f (t, y)dt,如果存在定义在区间
I [, ]上的连续函数y (x),使得
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
在区间I上恒成立,则称y (x)为该积分方程的解.
只需函数列{ f (x,n (x))}在[x0 h, x0 h]上一
致收敛于f (x,(x)).
由 f (x,n(x)) f (x,(x)) Ln(x) (x) 只需{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于 (x).
n
由于 0 (x) (k (x) k1(x)) n (x), k 1 于是函数列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收
若1(x) 0 (x),则0 (x)为解,否则将1(x)代入(3.5)
右侧的y, 得
x
2(x) y0 x0 f (,1( ))d
若2 (x) 1(x),则1(x)为解,否则将2 (x)代入(3.5)
右侧的y,
x
n1(x) y0 x0 f ( ,n ( ))d ,
这里要求n (x) y0 b, 若n1(x) n (x), 则n (x)为解,
f (x, y1) f (x, y2 ) L y1 y2
则初值问题(3.1)在区间x x0 h上的解存在且唯一,
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
dy
dx
f (x, y)
(x0 ) y0
2.利普希兹条件
函数 f (x, y) 称为在矩形域 :
R : x x0 a, y y0 b …………(3.1.;0
A solution to this differential equation does not exist for any T>=0
内容提要
一阶方程的初值问题
•概念和定义 利普希兹条件
定理1
命题1
定理1的证明命 命题 题32
•存在唯一性定理
命题4 命题5
附注
逐步逼近法的思想
定理2
一 、概念与定义
二 存在唯一性定理
1 定理1 考虑初值问题
dy dx
f
(x, y),
(3.1)
y(x0 ) y0
其中f (x, y)在矩形区域 R : x x0 a, y y0 b,
上连续, 并且对y满足Lipschitz条件 :
(3.2)
即存在L 0,使对所有(x, y1), (x, y2 ) R常成立
x
即
x (x) (x0 ) x0 f (x,(x))dx (x) y0 x0 f (x,(x))dx
故y (x)为(3.5)的连续解.
反之 若y (x)为(3.5)的连续解,则有
x
(x) y0 x0 f (t,(t))dt
由于f (x, y)在R上连续, 从而f (t,(t))连续,
x
L x0 1( ) 0( )d
L
x x0
M (
x0 )d
ML(x 2
x0 )2
其中第二个不等式是由 Lipschitz条件得到的,
由Lipschitz条件
设对于正整数 n,有不等式
n (x) n1(x)
MLn1 n!
(x
x0
)n,
则当x0 x x0 h时,由Lipschitz条件有
注 一般来说连续函数0 (x)可任取,但实际上为 方便, 往往取0 (x) y0的常数值.
问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?
命题2 对于所有 n和x [x0, x0 h],n (x)连续且满足
n (x) y0 b,
(3.8)
证明:(用数学归纳法)
x
n 1时 1(x) y0 x0 f (,y0)d
lim
n
f
(,n1( ))d
即
x
(x)
y0
f (,( ))d
x0
故(x)是积分方程 (3.5)定义于[x0, x0 h]上连续解.
命题5 设 (x)是积分方程(3.5)定义于[x0, x0 h]上的 一个连续解,则(x) (x), x [x0, x0 h].
证明: 设g(x) (x) (x) ,
x
g(x) ( f ( , ( )) f ( ,( )))d x0
x
f (, ( )) f (,())d x0
x
x
L ( ) ( )d L g( )d
x0
x0
令u(x) L
x
g( )d,
x0
则u(x)是定义于[x0, x0 h]上连续可微函数 ,
且u(x0 ) 0,0 g(x) u(x), u' (x) Lg (x), 于是
否则一直下去可得函数 列{n (x)}
(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)
(3) 函数序列{n (x)}在[x0 h, x0 h]上一致收敛于(x).