曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

第十章 曲线积分与曲面积分答案
一、选择题 1．曲线积分
()sin ()cos x
L f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣
⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = B
A.
1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1
()2
x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则
C
ydx xdy
x y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2
2
41x y +=的正向，则
224C
ydx xdy
x y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上2
2
1y z +≤，则
2
22()x
y z ds ∑
++=⎰⎰ D
A.0
B. π
C.
14π D. 1
2
π 5．设222:C x y a +=，则22
()C
x y ds +=⎰Ñ C
A.22a π
B. 2a π
C. 32a π
D. 3
4a π 6. 设∑为球面2
2
2
1x y z ++=
，则曲面积分
∑
[ B ]
A.4π
B.2π
C.π
D.1
2
π
7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分
⎰
=L
yds [ C ]
A. 21
B. 2
1
- C. 22 D. 22-
8. 设I=⎰L
ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,
则I=[D ]
A.
655 B.1255 C.6155- D. 12
1
55- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.
⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 2
1
；
C.
⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-l
ydx xdy 21。

10．设2
2
2
2
:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 C
A.1
4S
S xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.1
4S
S yds yds =⎰⎰⎰⎰
C.
1
4S
S zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.1
4S
S xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰
二、填空题
1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分
⎰=+-L y dy x e
ydx )(2
-2
2.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-s
dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(0
3.
⎰
=++-12
2
22y x y
x xdy
ydx =π2-
4．曲线积分
22
()C
x y ds +⎰
Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5
．设∑为上半球面)0z z =
≥，则曲面积分()222ds y x z ∑
++⎰⎰= 32π
6. 设曲线C 为圆周2
2
1x y +=,则曲线积分
()2
23d C
x
y x s +-⎰Ñ 2π .
7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y
x (
8. 设∑为上半球面z
=，则曲面积分
∑
的值为 8
3
π。

9. 光滑曲面z=f （x ，y ）在xoy 平面上的投影区域为D ，则曲面z=f （x ，y ）的面积是
⎰⎰∂∂+∂∂+=D
d y
z
x z S σ22)()(
1 10．设L 是抛物线3
y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)L
x y dx -=⎰
12
11、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，
222()I x y z ds Γ
=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ 。

12、设L 为222
x y a +=的正向，则
22L xdy ydx
x y -=+⎰Ñ 2π 。

三、计算题 1
．L
⎰
，其中L 为圆周221x y +=，直线y x =及x 轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA
方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπ
θθ
=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01y x =≤≤。

则原式＝
OA
⎰
＋
AB
⎰
＋
OB
⎰
＝0
＋40
ed π
θ⎰＋1
x e dx ⎰
＝2(1)4
e e π
-+ ＃
2
．
[ln(L
y xy x dy +++，其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线
段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界。

解：
利用格林公式，P =
[ln(Q y xy x =+，则
P y
∂=∂
2Q y x ∂=∂ 故原式＝
(
)D
Q P
dxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2D
y dxdy =⎰⎰sin 20
x
dx y dy π
⎰
⎰
＝
3014
sin 39
xdx π=⎰ ＃ 3．22
L
y dx x dy +⎰
，其中L 为圆周2
2
2
x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。

解：L 的参数方程为cos sin x R t
y R t
=⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。

故原式＝
22220
[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π
-+⎰
＝3
22
[(1cos )(sin )(1sin )cos ]R
t t t t dt π
--+-⎰＝343
R - ＃ 4．求抛物面2
2
z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积。

解：曲面∑的方程为2
2
,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域
22{(,)1}x y x y +≤。

故所求面积＝
D
=
D
2
00
1
6
dπθπ
==
⎰⎰＃
5、计算(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
⎰，其中L为圆222
()(0)
x a y a a
-+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)
A a沿L到原点O。

解：添加从原点到点A的直线段后，闭曲线所围区域记为D，利用格林公式
(sin)
x
P e y my
=-，cos
x
Q e y m
=-，cos
x
P
e y m
y
∂
=-
∂
，cos
x
Q
e y
x
∂
=
∂
于是(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
⎰＋(sin)(cos)
x x
OA
e y my dx e y m dy
→
-+-
⎰
＝
2
2
D
m a
m dxdy
π
=
⎰⎰
而(sin)(cos)
x x
OA
e y my dx e y m dy
→
-+-
⎰＝20000
a
dx+=
⎰，于是便有
(sin)(cos)
x x
L
e y my dx e y m dy
-+-
⎰＝2
2
m a
π
＃6．222222
()()()
L
y z dx z x dy x y dz
-+-+-
⎰，其中L为球面2221
x y z
++=在第一
卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。

解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ平面内的圆弧AB的参数方程
cos
sin
x
y t
z t
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，t从
2
π
变化到0。

于是
222222
()()()
AB
y z dx z x dy x y dz
-+-+-
⎰＝022
2
[sin(sin)cos(cos)]
t t t t dt
π
--
⎰＝4
3
由对称性即得
222222222222
()()()3()()()4 L AB
y z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz
-+-+-=-+-+-=⎰⎰
＃
7．(1)(1)(1)
x dydz y dzdx z dxdy
∑
+++++
⎰⎰，其中∑为平面1,0,
x y z x
++==0,
y= 0
z=所围立体的表面的外侧。

解：记
1
∑为该表面在XOY平面内的部分，
2
∑为该表面在YOZ平面内的部分，
3∑为该表面在XOZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。

1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向，我们有
1
(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰＝1
(1)z dxdy ∑+⎰⎰＝01011
2
x y x
dxdy ≤≤≤≤--
=-⎰⎰
同理，
2
1(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 3
1(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故
4
(1)z dxdy ∑+=
⎰⎰01
012(2)3
x y x
x y dxdy ≤≤≤≤---=
⎰⎰
， 由对称性可得
4
(1)x dydz ∑+=
⎰⎰4
2(1)3
y dzdx ∑+=
⎰⎰， 故
4
(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰
于是所求积分为11
2322
-
⨯= ＃ 8．计算曲面积分：()[2sin()](3)x y
S x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +
++++++++⎰⎰，其中
S +为曲面1x y z ++=的外侧。

解：利用高斯公式，所求积分等于
1
(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=11
6832g g g =8 ＃ 9. 计算I=⎰⎰++s
xzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围立
体的表面外侧
解：设V 是x+y+z=1, x=0, y=0, z=0所围的立体 由Gass 公式得:
I=⎰⎰⎰++V
dxdydz z y x )(
=⎰⎰⎰---++y
x x dz z y x dy dx 10
1010)( =
8
1
＃
10．计算I=
⎰
Γ
-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0, 0, 0)
的直线段AB 解：直线段AB 的方程是
1
23z
y x ==；化为参数方程得： x=3t, y=2t, z=t, t 从1变到0， 所以：
I=⎰
Γ
-+ydz x dy zy dx x 2233
＝
3221
[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰
＝4
87
870
13-
=⎰dt t ＃ 11. 计算曲线积分I=⎰
⋂
-+-AMO
x
x dy y e dx y y e ,)2cos ()2sin ( 其中⋂
AMO 是由点A(a,0)
至点O(0, 0) 的上半圆周ax y x =+22
解：在x 轴上连接点O(0, 0), A(a, 0) 将⋂
AMO 扩充成封闭的半圆形AMOA 在线段OA 上, ⎰-
=-+-OA
x x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (
从而⎰
⎰
⎰
⎰
⋂
-
⋂
=
+=AMO
OA
AMOA
AMO
又由Green 公式得:
⎰⎰⎰
≤+=
=
-+-AMOA ax
y x x
x
a dxdy dy y e dx y y e
224
2)2cos ()2sin (2
π ＃
12. 计算曲线积分dz y dy x dx z L
3
33++⎰其中L 是z=2)(22y x +与z=322y x -- 的交线
沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程:
x=cost, y=sint, z=2 t: 0π2→
于是: dz y dy x dx z L
3
33++⎰=⎰⎰+-ππ20
420
cos sin 8tdt dt t =π4
3
另证：由斯托克斯公式得
dz y dy x dx z
L 333
++⎰=⎰⎰∑
-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(222
22:2,1z x y ∑=+≤上侧，则：
2221
3
3
3
2
32
001
33
3cos 4L
x y z dx x dy y dz x dxdy d r dr π
θθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰Ñ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z=1在第一卦限部分，计算曲面S 的面积I 解：S 在xoy 平面的投影区域为：{}
10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xy
I=
⎰⎰S
dS =dxdy xy
D ⎰⎰3＝⎰⎰
-10
10
3x
dy dx ＝2
3
)1(31
=
-⎰
dx x ＃ 14. 计算曲线积分⎰+++-L
y x dy
y x dx y x 2
2)()(其中L 是沿着圆1)1()1(22=-+-y x 从点
A(0,1)到点B(2, 1)的上半单位圆弧 解：设2
2
),(y
x y x y x P +-=
， 2
2
),(y
x y x y x Q ++=
当02
2
≠+y x 时，22222)
(2y x xy x y x Q y P +--=
∂∂=∂∂ 故：所求曲线积分在不包围原点的区域内与路径无关 则：⎰+++-L
y
x dy
y x dx y x 2
2
)()(=⎰
→
+++-AB
y
x dy
y x dx y x 2
2
)()(
=⎰+-2
2)1
1(
dx x x =
2
1
ln5-arctan2 ＃ 15. 确定λ的值，使曲线积分
()()2
124d 62d C
x
xy x x y y y λλ-++-⎰在XoY 平面上与路径无
关。

当起点为()0,0，终点为()3,1时，求此曲线积分的值。

解：由已知，2
1
24,62P x xy Q x y y λλ-=+=-；
由条件得
P Q y x
∂∂=∂∂ , 即 ()12
461,3xy x λλλλλ--=-=, ()()()
()
()
()3,13,1232232230,00,014d 62d 2263x xy x x y y y x y x y ⎛⎫++-=-+= ⎪⎝⎭
⎰ ＃ 16. 设曲面S 为球面42
2
2
=++z y x 被平面z=1截出的顶部，计算I=
dS z
S
⎰⎰
1
解：S 的方程为：224y x z --=
S 在xoy 平面的投影区域为：{
}
3),(2
2≤+=y x y x D xy
I=
dxdy y
x
xy
D ⎰⎰--2
2
42
＝⎰⎰-πθ20
3
2
42dr r r
d ＝2ln 4π ＃ 17. 计算I=⎰⎰∑
++++dxdy z y x xzdzdx yzdydz )(，其中∑是2222)(a a z y x =-++，
a z ≤≤0，取下侧
解：作辅助曲面1∑: z=a ，)(222a y x ≤+取上侧
设Ω为2222
()x y z a a ++-=,z a =所围闭区域
xy D 为平面区域222a y x ≤+
1
1
(
)()I yzdydz xzdxdz x y z dxdy ∑+∑∑=-++++⎰⎰⎰⎰Ò
=
⎰⎰⎰Ω
dxdydz ⎰⎰++-
xy
D dxdy a y x )(=
3
32a π⎰⎰-xy D dxdy a ⎰⎰=+xy
D dxdy y x )0)(( =3
3
1
a π- ＃ 18.．L 为上半椭圆圆周cos sin x a t
y b t
=⎧⎨
=⎩，取顺时针方向，求.L
ydx xdy -⎰
[sin (sin )cos (cos )]L
ydx xdy b t a t a t b t dt π
-=⋅--⋅⎰
⎰
.
ab dt
ab π
π=-=⎰
＃ 19．计算曲面积分
2(2)xdydz ydzdx z z dxdy ∑
++-⎰⎰Ò，其中∑为锥面z =与1z =所围的整个曲面的外侧。

解：
由高斯公式，可得
211
(1122)22.
2
I z dv
zdv
d d zdz
πρ
θρρπΩ
Ω
=++-===
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
＃
20．计算曲线积分()(3)x
y
L I y e dx x e dy =-++⎰Ñ，其中L 是椭圆22
221x y a b +=的正向。

解：令x P y e =-, 3y
Q x e =+, 则
2Q P
x y
∂∂-=∂∂。

设L 所围成的闭区域为D ，则其面积ab σπ=。

从而由格林公式可得
()(3)222x y
L
D
D
I y e dx x e dy dxdy dxdy ab π=-++===⎰⎰⎰⎰⎰Ñ. ＃ 21．设∑为柱面222
x z a +=在使得0x ≥，0y ≥的两个卦限内被平面0y =及y h =所截下部分的外侧，试计算I xyzdxdy ∑
=
⎰⎰。

解：将∑分成1∑与2∑，其中1∑
：z =，2∑
：z =，
1∑与2∑在xoy 面上的投影为:0,0xy D x a y h
≤≤≤≤，故
1
2
32(221
.3
xy
xy
xy
D D a h
D xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy
xy dxdy
dx ydy
a h ∑
∑∑=+=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
＃
22．计算曲面积分2I z dS ∑
=⎰⎰，其中∑是柱面224x y +=介于06z ≤≤的部分。

解：设1∑为∑在第一卦限的部分曲面。

1:0x x x y z ∂∂∑=
==∂∂，
得
dS ==。

1∑在
yoz 面上的投影域为
:02,06yz D y z ≤≤≤≤。

故
1
22
6
22
20
448288.yz
D z dS z dS z dz π∑
∑====⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰ ＃
23. 计算曲面积分2
()I z x dydz zdxdy ∑
=
++⎰⎰，其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于0z =及2z =之间部分的下侧。

解：利用高斯公式，取1:2z ∑=且2
2
4x y +≤。

取上侧，∑与1∑构成封闭的外侧曲面，所围的闭域为Ω，1∑对应的xy D 为：2
2
4x y +≤。

1
1
1
212
2
2
2222
2
()()()(11)222222880.
xy
D r
z
x dydz zdxdy z
x dydz zdxdy z x dydz zdxdy
dv dxdy
dv dxdy
d dr rdz πθπππ∑
∑+∑∑Ω
∑Ω
++=
++-++=+-=-=-⋅⋅=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò
＃ 24．计算曲线积分()()22
d d C
y x x y x y I x y ++-=
+⎰
，其中C 是自点()2,1A
-沿曲线
cos
2
y x π
=-到点()2,1B 的曲线段。

解：()()222222
222
222,,,0x y y x P x xy y Q
P Q x y x y x y y x
x y +-∂--∂====+≠++∂∂+, 取小圆周22
:,
C x y δδδ+=充分小,取逆时针方向,则由Green 公式可得:
222
2
1
1()d ()d d 22arctan 21C x
I y x x y x y x x δ
πδ-+=
++--=-++⎰⎰
Ñ ＃ 25．用高斯公式计算
()()x y dxdy y z xdydz ∑
-+-⎰⎰Ò，其中:∑柱面221y x +=及平面0,3z z ==围成封闭曲面的外侧。

解： (),0,P y z x Q R x y =-==-
,0,0P Q R
y z x y z
∂∂∂=-==∂∂∂ 原式=
()()sin y z dv r z rdrd dz θθΩ
Ω-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=
()21
3
00
sin d rdr r z dz π
θθ-⎰⎰⎰
=
21
20
093sin 2d r dr r π
θθ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭⎰⎰
=
20
9sin 4d π
θθ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭⎰
=92π-
26．计算曲面积分()()281d d 4d d 2d d I x z y z yz z x y z x y ∑
=+-+-⎰⎰，其中∑是曲面221z x y =++被平面3z =所截下的部分，取下側。

解：补2212:3x y z ⎧+≤∑⎨=⎩,取上侧,11
I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰Ò, 而 133
11
()d d d d (1)d 2D z v z x y z z ππ∑+∑Ω===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò,其中22():1D z x y z +≤- 1(18)d d xy D y x y ∑=-⎰⎰⎰⎰18d d 36xy
D x y π=-=-⎰⎰, 38I π= ＃ 27．计算曲线积分⎰+++l dy y x dx xy x )()(2
23，其中L 是区域0≤x ≤1， 0≤y ≤1的边界正向。

解：利用Green 公式
⎰+++l dy y x dx xy x )()(223=⎰⎰⎰⎰=D dx xdy xdxdy 101
02
1][ ＃ 28、计算曲面积分
dxdy z dxdz y dydz x 222++∑⎰⎰，其中∑为平面方程x+y+z=1在第一卦限的上侧。

解：dxdy z dxdz y dydz x 222++∑
⎰⎰=⎰⎰=--++D dxdy y x y x 41])1([222 或由对称性：
222x dydz y dzdx z dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 而2112z dxdy ∑=
⎰⎰，故14
I =。

dxdy dydz dzdx ===可知。

＃
29. 计算⎰+-L xdy y ydx x sin cos ，其中L 是由点A （0，0）到B （π，2π）的直线段。

解：AB 的方程()2 0,y x x π=∈ 2dy dx =
()0cos sin cos 24sin L x ydx y xdy x x x x dx π
-+=-+⎰⎰4π= ＃ 30、设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分⎰++L
x dy x f ydx e x f )(])(2[2与路径无关。

求)(x f 。

解：()()22,x P Q f x f x e y x
∂∂'=+=∂∂ 因该项积分与路径无关，所以
()()2,2x P Q f x f x e y x ∂∂'=+=∂∂有。

令()y f x =， 得微分方程22x y y e '-=，解得()2x y x c e =+，（2分）代入条件1)0(=f 得C=1 从而有()21x y x e =+ ＃
31
、计算对面积的曲面积分
22, : 12ds z z y z ∑∑=≤≤⎰⎰其中 。

解
:x y Z Z ==XOY 平面上的投影为2
214y x ≤+≤
== 原式=
(
222xy y y x D +⎰⎰
22
2501
sin d dr r πθθ⎰ 2210116sin 2624r πθθ⎤-⎢⎥⎦
g
=2 32、计算曲面积分
()2x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰
，其中Σ是曲面22z y x =+在1z ≤的部分的下侧。

解：补充曲面1:1z =∑且取上侧，又
3P Q R x y z ∂∂∂++=∂∂∂，由高斯公式 ()()()11
222x z dydz zdxdy x z dydz zdxdy x z dydz zdxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
=2213y x dxdydz dxdy Ω+≤-
⎰⎰⎰⎰⎰=2
211
003322r d rdr dz πππθππ-=-=⎰⎰⎰ ＃ 四、综合题 1、证明在整个XOY 平面上，(sin )(cos )x x e y my dx e y mx dy -+-是某个函数的全微分，
求这样的一个函数并计算(sin )(cos )x x
L e y my dx e y mx dy -+-⎰，其中L 为从(0,0)到
(1,1)的任意一条道路。

解：令(,)sin x P x y e y my =-，(,)cos x
Q x y e y mx =-，则有
cos x P Q e y m y x
∂∂=-=∂∂， 故知(sin )(cos )x x e y my dx e y mx dy -+-是某个函数的全微分。

取路径(0,0)(,0)(,)x x y →→，
则一个原函数为(,)U x y = (,)
(0,0)(sin )(cos )x y x x e y my dx e y mx dy -+-⎰
(0,)(,)
(0,0)(0,)(sin )(cos )(sin )(cos )x x y x x x x x e y my dx e y mx dy e y my dx e y mx dy =-+-+-+-⎰
⎰ ＝00x dx +⎰0(cos )y x e y mx dy -⎰＝sin x e y mxy -
最后(sin )(cos )x
x L e y my dx e y mx dy -+-⎰＝(1,1)(0,0)U U -=sin1e m - ＃
2、证明曲线积分()()
()
⎰++---1,20,122)(ydy xdx y x 在XOY 面与路径无关，并求值。

解：()23,P x y x y x =+ ， ()32,Q x y y y x =+
2P Q xy y x
∂∂==∂∂ 可知该曲线积分与路径无关。

()()()
()
2,12123231,010()4xdx ydy dx y dy y y x x ------++=++⎰⎰⎰ 2124410
116244y y x ---⎡⎤=++=⎢⎥⎣⎦ ＃。