函数中双变量问题专题

函数中双变量问题
一、单选题
1．
已知函数()ln(f x x =满足对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2
x ∈，使得
22
112
ln (2)(
)x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2[
8,)2-+∞ B ．ln 25
[8,2ln 2]24--- C ．ln 2(,8]2-∞-
D ．5
(,2ln 2]4
-∞-- 2． 设函数()()3
2
,,,0f x ax bx cx a b c R a =++∈≠，若不等式()()5xf x af x '-≤对x R ∀∈恒成立，则
b 2c
a
-的取值范围为（ ） A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．5,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
3． 已知函数ln 1,1()1(2),13x x f x x x -≥⎧⎪
=⎨+<⎪⎩
，若αβ<且()()f f αβ=，则βα-的取值范围是（ ）
A ．[]83ln3,6-
B ．)
2
83ln3,1e ⎡--⎣ C ．[]94ln3,6-
D ．)
2
94ln 3,1e ⎡--⎣
4． 已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；②122x x +<；③121x x >；④有极小值点0x ，且1202x x x +<．则正确判断的个数是（ ） A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5． 已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，c R ∈
的最小值为( )
A ．
12 B
．2
C
．2 D ．92 6． 已知直线()1y a x =+与曲线()x
f x e b =+相切，则ab 的最小值为（ ） A ．14e -
B ．12e -
C ．1e -
D ．2
e
-
7． α，,22ππβ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+> C ．αβ< D ．22αβ> 8． 已知函数()1()ln 1,,2x
f x e
x x ⎡⎫
=-∈+∞⎪⎢
⎣⎭，若存在[]2,1a ∈-，使得21223f a a e m ⎛
⎫-≤+-- ⎪⎝
⎭成
立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．[
)1,+∞
C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9． 已知曲线()()0x
f x ae a =>与曲线()()20
g x x m m =->有公共点，
且在该点处的切线相同，则当m 变化时，实数a 的取值范围是（ ） A ．2
40,
e ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B ．61,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．2
8
1,
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题
10． 已知函数()2
ln x f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式()()121f x f x a -≤-恒成立，则
实数a 的取值范围是___．
11． 已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____ 12． 设函数()321
x x f x -=
+，()2x
g x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.
13． 若a 为实数，对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立，则a 的最大值是_________. 三、解答题
14． 设,a b ∈R ，已知函数()2
ln f x a x x bx =++存在极大值.
（1）若2a =，求b 的取值范围；
（2）求a 的最大值，使得对于b 的一切可能值，()f x 的极大值恒小于0.
15． 已知函数（
R ）．
（1）当1
4
a =
时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．
16． 已知函数()13ln 144f x x x x
=-
+- （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设()2
24g x x bx =-+-，若对任意()[]
120,2,1,2x x ∈∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数b
的取值范围.
17． 已知函数()2
ln 2f x x ax bx =---，a R ∈.
（1）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意的3,b e ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝⎭
，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.
答 案
一、单选题
1．（2020·
湖南省长郡中学高三）已知函数()ln(f x x =满足对于任意11
[,2]2
x ∈，存在
21[,2]2x ∈，使得2
2112
ln (2)()x f x x a f x ++≤成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．ln 2
[8,)2
-+∞ B ．ln 25
[
8,2ln 2]24
--- C ．ln 2
(,8]2
-∞- D ．5
(,2ln 2]4
-∞--
【答案】C
【解析】由函数()ln(f x x =在定义域单调递增，
对于任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2
x ∈，使得2
211
2ln (2)()x f x x a f x ++≤成立， 即任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2
x ∈，使得2
211
2ln 2x x x a x ++≤成立， 即满足()
2
211max
2max
ln 2x x x a x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，
令2
111()2g x x x a =++，对称轴方程为11x =-，
在11[,2]2
x ∈可得1max ()(2)=8g x g a =+ 令2
22
ln ()x h x x =
，求导可得22221ln ()x h x x -'=，
2()0h x '=，可得2x e =，
在()20,x e ∈，2()0h x '>，2()h x 单调递增， 所以在21
[,2]2x ∈，2max ln 2()(2)2h x h ==，即ln 2
82
a +≤， 解得ln 2
82
a ≤
-，故选C . 2．（2020·江西省南城一中高三期末）设函数()()3
2
,,,0f x ax bx cx a b c R a =++∈≠，若不等式
()()5xf x af x '-≤对x R ∀∈恒成立，则
b 2c
a
-的取值范围为（ ）
A．
5
,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭B．
1
,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭C．
5
,
3
⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭D．
1
,
3
⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】()32
f x ax bx cx
=++
Q，()2
32
f x ax bx c
'
∴=++，
由不等式()()5
xf x af x
'-≤对x R
∀∈恒成立，
可得()()()
232
3250
a a x
b ab x
c ac x
-+-+--≤对x R
∀∈恒成立，
所以，2
30
a a
-=且0
a≠，解得3
a=，
则不等式2250
bx cx
++≥对x R
∀∈恒成立，所以
2
4200
b
c b
>
⎧
⎨
∆=-≤
⎩
，则
2
5
c
b≥，
所以，
()
22
2
1
2525
22105
5
3315153
c c c
b c b c c c
a
---
---
=≥==≥-.
因此，
b2c
a
-
的取值范围为
5
,
3
⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭.故选：C.
3．（2020·新疆维吾尔自治区高三）已知函数
ln1,1
()1
(2),1
3
x x
f x
x x
-≥
⎧
⎪
=⎨
+<
⎪⎩
，若αβ
<且()()
f f
αβ
=，则βα
-的取值范围是（）
A．[]
83ln3,6
-B．)
2
83ln3,1
e
⎡--
⎣C．
[]
94ln3,6
-D．)
2
94ln3,1
e
⎡--
⎣
【答案】B
【解析】因为
ln1,1
()1
(2),1
3
x x
f x
x x
-≥
⎧
⎪
=⎨
+<
⎪⎩
，故其函数图像如下所示：
令11
lnx-=，解得2
x e
=；令11
lnx-=-，解得1
x=.
数形结合可知，若要满足()()f f αβ=，且αβ<， 则(
)
2
1,e
β∈，且
()1
213
ln αβ+=-，解得35ln αβ=-. 故βα-35ln ββ=-+，()
2
1,e β∈.
令()(
)2
35,1,g x x lnx x e =-+∈，
则()3
1g x x
'=-
，令()0g x '=，解得3x =， 故()g x 在区间()1,3单调递减，在区间(
)2
3,e 单调递增，
则()()()2
2
16,3833,1g g ln g e
e
==-=-，
故())
2833,1g x ln e ⎡∈--⎣.即可得βα-)
2
833,1ln e ⎡∈--⎣.故选：B.
4．（2020·江西省临川第二中学高三期中）已知函数()x
f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，则下列判断：①a e <；
②122x x +<；③121x x >；④有极小值点0x ，且1202x x x +<．则正确判断的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
【答案】D
【解析】对于①，∵()x
f x e ax =-，
∴()x f x e a '=-，令()0x
f x e a '=->，
当0a ≤时，()0x
f x e a '=->在x ∈R 上恒成立， ∴()f x 在R 上单调递增．
当0a >时，由()0f x '>，解得ln x a >；由()0f x '<，解得ln x a <； ∴()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增． ∵函数()x
f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，
∴0a >，(ln )0f a <，即ln ln 0a e a a -<，即ln 0a a a -<， 解得：a e >；所以①不正确；
对于②，因为函数()x
f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，
所以1x ，2x 是方程0x e ax -=的两根，因此11ln x ax =，22ln x ax =，
所以()
()()2
12121212ln 2ln ln 2ln x x a x x a x x x x +==+>+，
取2
2
e a =，2(2)20
f e a =-=，∴22x =，(0)10=>f ，∴101x <<，
∴122x x +>，所以②不正确；
对于③，(0)10=>f ，∴101x <<，121x x >不一定，∴所以③不正确； 对于④，f （x ）在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增， ∴有极小值点0ln x a =，且12022ln x x x a +<=，所以④正确． 综上，正确的命题序号是④．故选:D
5．（2020·湖南省高三期末）已知实数a ，b 满足225ln 0a a b --=，c R ∈，则22()()a c b c -++的最小值为( ) A ．
1
2
B ．
22
C ．
32
2
D ．
92
【答案】C
【解析】由题意，得，代换，代换
，则
满足：
，即
，
以
代换，可得点
，满足，因此求
()()
2
2
a c
b
c -++的最小值即为求曲线
上的点到直线的距离的最小值，设直线
与曲线
相切于点
，则
，解得
，所以切点为
,所以点
到直线的距离，则
()()
2
2
a c
b
c -++的最小值为，综上所述，
选C.
6．（2020·全国高三专题练习）已知直线()1y a x =+与曲线()x
f x e b =+相切，则ab 的最小值为（ ）
A ．1
4e
-
B ．12e
-
C ．1e
-
D ．2e
-
【答案】B
【解析】设切点为00(,)x
x e b +,
因为()x f x e b =+,所以()x
f x e '=,所以00()x f x e a '==,所以0ln x a =,
又切点00(,)x
x e b +在直线(1)y a x =+上,所以00(1)x
e b a x +=+, 所以0a b ax a +=+,
所以0ln b ax a a ==,所以2ln ab a a =, 令2()ln (0)g a a a a =>, 则2
1
()2ln 2ln (2ln 1)g a a a a a a a a a a
'=+⋅
=+=+, 令()0g a '<,得1
20a e -<<, 令()0g a '>,得1
2a e ->, 所以()g a 在12
(0,)e -
上递减,在12
(,)e -
+∞上递增,
所以12
a e
-=时,()g a 取得最小值1112
2
22
1()()ln 2g e e e
e
---==-
. 即ab 的最小值为1
2e
-
.故选:B 7．（2020·黑龙江省双鸭山一中高三期末）α，,22ππβ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ> B ．0αβ+>
C ．αβ<
D ．22αβ>
【答案】D
【解析】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫
∈-
⎪⎢⎣⎭
时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.
8．（2020·广西壮族自治区高三月考）已知函数()1()ln 1,,2x
f x e
x x ⎡⎫
=-∈+∞⎪⎢
⎣⎭
，若存在[]2,1a ∈-，使得2
1223f a a e m ⎛
⎫-
≤+-- ⎪⎝⎭
成立，则实数m 的取值范围为（ ）
A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[
)1,+∞ C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】1'()ln 1x
f x e x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1
g x x x
=+-，则22111'()x g x x x x -=-=， 故当
1
12
x <<时，)'(0g x <，()g x 单调递减，当1x >时，'()0,()g x g x >单调递增，()(1)0g x g ∴≥=，从而当1,2
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
时，'()0f x ≥，()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增. 设()()2
22314h a a a e a e =+--=+--，
则()h a 在[]
2,1--上单调递减，在[]1,1-上单调递增，()max ()1h a h e ==-， 存在[]2,1a ∈-，使2
1223f a a e m ⎛⎫-
≤+-- ⎪⎝⎭成立，等价于()121f e f m ⎛
⎫-≤-= ⎪⎝
⎭.
12111
22m m ⎧
-≤⎪⎪∴⎨⎪-≥⎪⎩
，解得213m ≤≤.故选：A .
9．（2020·重庆南开中学高三月考）已知曲线()()0x
f x ae
a =>与曲线()()20g x x m m =->有公共点，
且在该点处的切线相同，则当m 变化时，实数a 的取值范围是（ ） A ．2
40,
e ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．61,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．281,
e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】A
【解析】由()(0)x
f x ae a =>，2
()g x x m =-，得()x
f x ae '=，()2
g x x '=，
设()(0)x
f x ae a =>与曲线2
()g x x m =-的公共点为(,)s t ，
则()s
f s ae '=，()2
g s s '=，
∴两曲线在切点处的切线方程分别为()s s y ae ae x s -=-与22()y s m s x s -+=-，
即s
s
s
y ae x ae sae =+-与2
2y sx s m =--．
则2
2s
s s s ae ae sae s m ⎧=⎨-=--⎩，整理得222s m s s s a e ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
①
②
． 由①且0m >，得0s <或2s >，当0s <时，两曲线无公共切线，则2s >． 由②得，2(2)s s
a s e
=>． 令2()(2)s s h s s e =
>，则2(1)()0s s h s e
-'=<，函数()h s 在(2,)+∞上为单调减函数， ()(2)h s h ∴<24
e
=，又当s →+∞时，()0h s →，
∴实数a 的取值范围是24
(0,)e
．故选：A.
二、填空题
10．（2020·江苏省高三专题练习）已知函数()2
ln x
f x a x x a =+-，对任意的[]12,0,1x x ∈，不等式
()()121f x f x a -≤-恒成立，则实数a 的取值范围是___．
【答案】[
),e +∞
【解析】由题意可得max min ()()1f x f x a -≤-，且1a >，由于
()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x =+-=-+'，所以当0x >时，()0f x '>，函数()f x 在[0,1]上单调
递增，则max min ()(1)1ln ,()(0)1f x f a a f x f ==+-==，所以max min ()()ln f x f x a a -=-，故
1ln ln 1a a a a -≥-⇒≥，即a e ≥，应填答案[),e +∞．
11．（2020·湖南省明达中学高三）已知函数2()2ln 3f x x ax =-+，若存在实数,[1,5]m n ∈满足2n m -≥时，
()()f m f n =成立，则实数a 的最大值为_____
【答案】
ln 3
4
【解析】由22
()()2ln 32ln 3f m f n n an m am =⇒-+=-+，所以22
2(ln ln )
n m a n m
-=
-， 令n m t =+，（2t ≥），则ln(1)(2)
t m a t m t +
=+，（[1,5]m ∈，2t ≥）， 显然ln(1)
()(2)
t m g m t m t +
=
+，在[1,)m ∈+∞单调递减，
∴ln(1)
(1)(2)
t a g t t +≤=
+（2t ≥）
令ln(1)()(1)(2)t h t g t t +==+，（2t ≥），22222(1)ln(1)
()[(2)](1)
t t t t h t t t t +-++'=++，
∵2t ≥，∴2ln(1)1t +>，则22
22(1)ln(1)t t t t +-++，
∴令ln(1)
()(1)(2)
t h t g t t +==+在[2,)+∞单调递减，
∴ln 3(2)4a h ≤=
，∴实数a 的最大值为ln 34．故答案为：
ln 3
4
12．（2020·河南省高三月考）设函数()321
x x f x -=
+，()2x
g x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2
214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______. 【答案】()1,+∞ 【解析】()()2155
211
x x f x x -++=
=-+
++Q ，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2x
g x xe =，所以()()222212x
x x g x e xe x e '=+=+，
当112x -<<-
时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递减，
当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1
,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫
∈-+∞⎪⎢⎣⎭
.
若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-
=- ⎪⎝⎭
，()22
12m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；
若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2
2
12m f x m >-，不符合条件.
综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.
13．（2020·浙江省高三期中）若a 为实数，对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立，则a 的最大值是_________. 【答案】7
【解析】因为对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立，所以对任意
[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a
k x
+-+≤恒成立
即222min 6ln 96ln 916l 8n x x x a x x x a k a x x x x x
+-++-+≤⇒≤-⇒≤+--
所以当(0,4]x ∈时，不等式2n 86l a x x x --+≤恒成立 令2
()6l ,48n ,(0]f x x x x x =--+∈ 则min ()a f x ≤
2286(22)(3)
()x x x x f x x x
-+----'==
当()0f x '>时，(22)(3)0
1304x x x x --<⎧⇒<<⎨
<≤⎩
当()0f x '<时，(22)(3)0
04
x x x -->⎧⇒⎨
<≤⎩01x <<或34x <≤ 所以函数()f x 在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增
(1)0187,(4)6ln 41632166ln 4f f =-+==--+=-
因为3
166ln 4796ln 43(3ln16)3ln 016
e --=-=-=>
所以min ()7f x =
所以7a ≤，a 的最大值为：7 故答案为：7 三、解答题
14．（2020·贵州省贵阳一中高三月考）设,a b ∈R ，已知函数()2
ln f x a x x bx =++存在极大值.
（1）若2a =，求b 的取值范围；
（2）求a 的最大值，使得对于b 的一切可能值，()f x 的极大值恒小于0. 【答案】（1）4b <-，（2）32e
【解析】（1）当2a =，()()222
0x bx f x x x
++'=>，由()f x 存在极大值，
可知方程2220x bx ++=有两个不等的正根，则2160,0,210,b b
⎧∆=->⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩∴4b <-.
（2）()()220x bx a
f x x x
++'=>，由()f x 存在极大值，
可知方程220x bx a ++=有两个不等的正根， 设为12,x x 且12x x <，∴122a x x =，∴0a >，102
a
x <<
. 由()120f x x x x '<⇒<<，
∴()f x 的极大值为()2
1111ln f x a x x bx =++，∵2
112bx x a =--，
∴()2
111ln f x a x x a =--，构造函数()2
ln g x a x x a =--，
当02a x <<时，()2
220a a x g x x x x -'=-=>，所以()g x 在0,2a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增， 由102a
x <<
，则()1ln 3222a a a g x g ⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 所以当302a e <≤时，()()()1102a f x f x g x g ⎛⎫
==<≤ ⎪
⎪⎝⎭
极大值. 而当3
2a e >时，取33
2222a b e e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，即321x e =，3222a x e -=，
此时()33202
a
f x f e e ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大值
，不符合题意.
综上所述，a 的最大值为32e .
15．（2020·湖南省长沙一中高三月考）已知函数（
R ）．
（1）当1
4
a =
时，求函数()y f x =的单调区间；
（2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（Ⅱ）[1ln 2,)-+∞ 【解析】（1）当14
a =时，2
1()ln(1)4f x x x x =++-，
则11(1)
()1(1)122(1)
x x f x x x x x -=
+-=>-++'， 令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)． （2）由题意[2(12)]
()(1)(1)
x ax a f x x x -->-+'=
，
（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实 数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ． （2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，21
12x a
=-， ①当1
2a =
时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1
(1,)2a -+∞上单调递增， 在1
(0,1)2a
-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ， 只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102
a <<， 所以此时实数a 的取值范围是11ln 22
a -≤<
． ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1
(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增， 在1
(1,0)2a
-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时， 函数()f x 的最大值为()f b ，需1
(1)(1)2f f a
-≤， 代入化简得1
ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11
()(1)04g a a a =-'>恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以1
2
a >时，①式恒成立，
综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞．
16．（2020·广西壮族自治区高二期末）已知函数()13
ln 144f x x x x
=-+- （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）设()2
24g x x bx =-+-，若对任意()[]
120,2,1,2x x ∈∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立，求实数b
的取值范围.
【答案】（1）函数()f x 在()1,3上单调递增;在()0,1和()3,+∞上单调递减; （2
）⎛-∞ ⎝⎦
.
【解析】（1）()13ln 44f x x x x =-+的定义域是()0,+∞，()222
11343
444x x f x x x x
-='-=-- 由0x >及()0f x '>得13x <<，由0x >及()0f x '<得01x <<或3x >； 所以函数()f x 在()1,3上单调递增;在()
0,1和()3,+∞上单调递减.
（2）若对任意()[]
120,2,1,2x x ∈∈，不等式()()12f x g x ≥恒成立，问题等价于()()min max f x g x ≥ 由（1）可知，在()0,2上，1x =是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点 故也是最小值点，所以()()min 112
f x f ==-
，()[]2
24,1,2g x x bx x =-+-∈ 当1b <时，()()max 125g x g b ==-；当12b ≤≤，()()2
max 4g x g b b ==- 当2b >时，()()248g x g b ==-
问题等价于1{1252b b <-≥-或2
12{142b b ≤≤-≥-或2
{1482
b b >-≥- 解得1b <
或12
b ≤≤
或b =∅
即b ≤b
的取值范围是⎛-∞ ⎝⎦
. 17．（2020·浙江省学军中学高三期中）已知函数()2
ln 2f x x ax bx =---，a R ∈.
（1）当2b =时，试讨论()f x 的单调性；
（2）若对任意的3,b e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭
，方程()0f x =恒有2个不等的实根，求a 的取值范围.
【答案】（1）0a >，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎫+∞⎪⎪⎝⎭
单调递减； 0a =，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；
1
02a -<<，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎝⎭单调递减，
24a ⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增； 1
2
a ≤-，()f x 在()0,∞+单调递增.
（2）22
0a e <≤
【解析】（1）()2
122x ax f x x
--'=
,0x > （i ）0a >，令()0f x '=，得到21220x ax --=，
解得24x a -=
，24x a
-=（舍）
所以当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增，
当24x a ⎛⎫
-+∈+∞ ⎪
⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以()f x 在20,4a ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，24a ⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递减； （ii ）0a =，令()0f x '=，得到1
2
x = 当10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫
∈+∞
⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减，
所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递减； （iii ）1
02
a -
<<，
令()0f x '=，得到24x a -=
，24x a
-=
当x ⎛⎫
∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 时，()0f x '>，()f x 单调递增，
当2244x a a ⎛-+-∈ ⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减，
()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎝⎭单调递减，⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
单调递增； （iiii ）1
2
a ≤-，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+单调递增； 综上所述，
0a >，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减； 0a =，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
单调递减；
1
02a -<<，()f x 在⎛ ⎝⎭单调递增，⎝⎭单调递减，
24a ⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
单调递增； 1
2
a ≤-，()f x 在()0,∞+单调递增.
（2）因为对任意的3,b e ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭
，方程()0f x =恒有2个不等的实根
所以将问题等价于
ln 2
x ax b x
-=+有两解 令()ln 2x g x x -=，0x >有()2
3ln x
g x x -'=，0x >
()30g e ∴=；()g x 在()30,e 递增，()3,e +∞递减；
0x →，()g x →-∞；
x →+∞，()0g x →；
∴有图象知要使()ln 2
x g x x
-=
的图像和y ax b =+的图像有两个交点， 0a >，过30,e ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭作切线时，斜率a 最大.
设切点为()00,x y ，有002
00
3ln 2ln 5
x x y x x x --=
+， 002ln 53
x x e
-∴
=-，0x e ∴= 此时斜率a 取到最大22e 2
2
0a e ∴<≤.。