现代控制理论习题解答(第五章)

第五章 状态反馈和状态观测器
3-5-1 已知系统结构图如图题3-5-1图所示。

(1)写出系统状态空间表达式；
(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在j 53±-上。

)
(t y
题3-5-1图
【解】：
方法一：
根据系统结构直接设状态变量如题3-5-1图所示，写状态空间表达式：
[]x y u x x
10112101=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
2
31
11=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=c
c U
rank U
系统能控，可以设计状态反馈阵。

设状态反馈阵为][21k k K = 状态反馈控制规律为：Kx
r u -=
求希望特征多项式：
34
625)3()(*2
2
++=++=s s s s f
求加入反馈后的系统特征多项式：
)
22()3()(1212
k s k k s
bK A sI s f ++-++=+-=
依据极点配置的定义求反馈矩阵：
]1316
[13
1634
)22(6)3(21112=⎩⎨
⎧==⇒
⎩⎨
⎧=+=+-K k k k k k
方法二：
[][][]1316)346(311110
)(*10
2
1
1
=++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--==--I A A
A f U K c
方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发） 求系统传递函数写出能控标准型：
2
32
1)
11
1(
)
()(2
++-=+-+=s s
s
s s s U s Y
[]x
y u x x
10
103210-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
求系统希望特征多项式：
34
625)3()(*2
2
++=++=s s s s f
求状态反馈矩阵K ~
：
[][][]332
362
34~
21
=--==k k K
[][]
[][]5.05.0311110
10
1
1
1=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--==--Ab b P
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=105.05.011A P P P
[]1316
~
==P K K
【解】：
依据系统传递函数写出能控标准型
s
s
s s s s s U s Y 2310)
2)(1(10)
()(2
3
++=
++=
[]x
y u x x
00
10
100320100010
=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
求系统希望特征多项式：
464]1)1)[(2()(*2
3
2
+++=+++=s s s s s s f
求状态反馈矩阵：
[][][]14
4
342
60
432
1
=---==k k k K 。

【解】：
系统传递函数无零极点对消，所以系统既能控又能观。

可以通过状态反馈进行极点的任意配置。

另有状态反馈不改变系统的零点。

(1)由闭环传递函数得希望极点为-2，-2，-3。

受控对象传递函数：
6
522
)
3)(1)(2()2)(1()(2
3
2
--+-+=
++-+-=
s s s s s
s s s s s s G
受控对象状态空间表达式的能控标准型：
[]x
y u x x
112
10025
6100010-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=
希望特征多项式为：
12
167)3()2()(*2
3
2
+++=++=s s s s s s f
状态反馈矩阵：
[][][]521
18
275
166
1232
1
=-++==k k k K 。

结构图如图题3-5-3图1所示：
题3-5-3图1
（2）由闭传递函数得希望极点为-1，1，-3。

希望特征多项式为：
3
3)3)(1)(1()(*2
3
--+=+-+=s s s s s s s f
状态反馈矩阵：
[][][]14
3
235
16
332
1
=-+-+-==k k k K 。

结构图如图题3-5-3图2所示：
题3-5-3图2
3-5-4 已知系统状态空间表达式为[]x
y u x x
21
011310301100-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ，试判断系统的能控性和能观
性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反馈是否可以使闭环系统稳定。

【解】：
判系统的能控性和能观性：
[
]
2
,21
311
101
2
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==c
c
rankU
b A Ab
b
U
2
,43
2
321210
20
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rankV
CA CA C V
系统不能控不能观。

按能控性进行结构分解： 取
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-11
1
011001
,11
0110011
c
c R R
分解后的状态空间表达式为：
[]⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--c c c c c c c c c c c c c c x x x x CR y u x x u b R x x AR R x x 21
1
)(00110
0221110
)()(1
1
因为不能控分量对应的特征值为-1，因此对系统的稳定性无影响，所以可以通过状
态反馈的方法，对能控子空间进行极点的任意配置（左半平面），从而使系统稳定。

【解】：
被控对象状态空间表达式的能控标准型：
因为系统的传递函数可写成：
2
3
2
31
)
3()1()(s
s
s s s s s G ++=++=
所以能控标准型为：
[]x
y u x x
01
1
100300100010=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=
闭环后的希望特征多项式为：
4
85)1()2()(*2
3
2
+++=++=s s s s s s f
状态反馈系数阵：
[][][]28
4
350
80
432
1
=---==k k k K 。

闭环传递函数为：
2
2
2
3
)
2(1)
1()2(14
851
)(+=
+++=
++++=
s s s s s s
s s s G b
系统闭环传递函数出现零极点对消现象，又有原受控对象本身能控，且状态反馈不改变系统的能控性，所以该闭环系统不能观。

3-5-6 已知系统状态方程为u x x
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=10013
100001 ，试判断系统是否可以通过状态反馈
分别配置以下两组特征值：（1）{-2，-2，-1}；（2）{-2，-2，-3}。

若能配置，求出反馈阵。

【解】：
判系统的能控性：
[
]
2
,21
1
110
000
2
=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-==c
c
rankU
b A Ab
b
U
系统不能控.
按能控性分解： 取
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-00
1
010110
,01
1
0101001
c
c R R
u x x u b R x x AR R x x c c c c c c c c c ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--00110
011030
)()(1
1
不能控子空间的特征值为-1。

（1）对能控子空间进行极点配置，极点位置在-2，-2：
u x x
c c ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0111
30
44)2()(*2
2
++=+=s s
s s f
[
]
[])
(*10
1
21
A f U k k K c
-==
[][]65)10
01
4113041130(100110
2
1
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-
所以[]06
5
=K
原系统的状态反馈阵K 为：
1
-=c
R K K
[][]51
000
1
010
110
06
5
=⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⨯=K
（2）因为状态反馈不能改变不能控部分的极点，而不能控部分的极点为-1，所以不能通过状态反馈将极点配置在{-2，-2，-3}。

3-5-7 已知系统状态空间表达式为[]x
y u x x
01
100010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡= ，试设计一个状态观测器，使状态
观测器的极点为-r ，-2r ，(r>0)。

【解】：
方法一：
判能观性2
,10
010
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rankV
CA C V 。

系统能观，可以构造状态观测器。

确定观测器的希望特征多项式：
2
223)2)(()(*r
rs s r s r s s f ++=++=
确定观测矩阵[]
T
l l L 21
=，观测器的特征多项式为：
[]2
12
2101001000)()(l s l s
l l s s
LC A sI s f ++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=--=
)()(*s f s f = ⎪⎩⎪⎨
⎧==⇒2
2123r
l r l
方法二：
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=-10)(*1021V A f l l L
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡=-21
22
23100010
00
102001030010r r r r
方法三：
被控对象特征多项式：
200
10
)(s sI A sI s f =⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-=-=
确定观测器的希望特征多项式：
2
2
23)2)(()(*r
rs s
r s r s s f ++=++=
对应于能观标准型的观测器矩阵：
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=r r r r a a a a l l L 320302**22110021
对应于原系统的观测器矩阵：
[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0110
,101011
1
1Ap p P V P o
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡==22233201
10
r r r r L P L o
3-5-8
已知系统的状态空间表达式为[]x
y u x x 01
1102101
110
321=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=
（1）设计一个全维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4，-5处。

（2）设计一个降维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4处。

（3）画出其结构图。

【解】：
（1）
方法一：
确定能观性：
3
,
105
3
431
0110
20=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rankV
CA CA C V
系统能观，可设计观测器。

求希望特征多项式：
60
4712)5)(4)(3()(*2
3
+++=+++=s s s s s s s f
求观测器特征多项式：
LC
A sI s f +-=)(
计算观测器系数矩阵：
令)()(*s f s f =得⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=5.135.155.6L
方法二：
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-5.135
.155.6100)(*1
0321V A f l l l L
结构图如图题3-5-8图1所示：
题3-5-8图1
(2)
确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则n-m= 2。

分解输出系数矩阵c ，获得线性变换矩阵T ，对原状态空间表达式进行线性变换，使各输出变量y 变成各状态变量的单值函数：
[][][]01,1,0112121====c c c c C
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=---⨯10
010011
,10
0010011
10
0100110
1
1
1
2221
T
I c c T
[]1,
00
1
x y CT C ===
,11
1110
421
2221
1211
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-------==-A A A A AT T A
[]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡----=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=--=-=11
11,
10,42
,
122211211A A A A
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-10,
2,
102211
B B B T B
计算线性变换后降维观测器的反馈矩阵1
221⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=l l L
（一个输出两个状态）
127)4)(3()(*2
++=++=s s s s s f
[]42111100)()(211222--⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--=l l s s A L A sI s f
)22()224(21122
l l s l l s -++--+=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=⇒
=8333.21667.3)()(*21l l L s f s f 求降维状态观测器的状态方程（状态变量z ）
u y z z u B L B y A L A y L z A L A z z
z
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=-+-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6667
.63333
.612133333.126667
.66667.113333.5)()())((21121121122221
求降维状态观测器的输出方程（系统针对于线性变换后的状态信号⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321ˆˆˆˆx x x x ）
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡y z y z y y L z y x x x 8333.21667.3ˆˆˆ21321
求对应于原系统的降维状态观测器的状态信号x
ˆ： ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+--==⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y z y z y z x T x x x x
8333.21667.31667.2ˆˆˆˆˆ211311
绘制模拟结构图
依据受控对象，降维观测器的状态方程，以及
原系统的降维观测器的输出方程:
⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-+--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y z y
z y z x x x
x 8333.21667.31667.2ˆˆˆˆ211321
结构图如图题3-5-8图2所示：
2ˆx
题3-5-8图2
(2)确定一个全维状态观测器，并使观测器的极点全部为-5； (3)确定一个降维状态观测器，并使观测器的极点在-5处； (4)分别画出闭环系统的结构图。

(5)求出闭环传递函数。

【解】： (1)
系统的传递函数可写成：
s
s s s s s s G 231)
2)(1(1)(3
++=
++=
能控标准型为：
[]x
y u x x
00
1
100320100010
=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
希望特征多项式：
344]4
3)21)[(3()(*2
32
+++=+
+
+=s s s s s s f
反馈矩阵：
[][][]12
3
342
40
332
1
=---==k k k K
（2）
确定能观性：
3
,10
0100010
20
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rankV CA CA C V
系统能观。

求观测器的希望特征多项式：
125
7515)5()(*2
3
3
+++=+=s s s s s f
求观测器特征多项式：
)
32()23()3()(213212
13
l l l s l l s
l s LC A sI s f ++++++++=+-=
计算观测器系数矩阵：
令)()(*s f s f =得⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=103712L
（3）
m=1，n=3，则n-m= 2。

[]001=C ，则输出本身为状态变量的单值函数，无须进行线性变换。

对受控对象状态空间表达式直接分块求状态观测器的反馈矩阵1
221⨯⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=l l L （一个输出两个状态）
[],00
,
121==c c
[][]⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡===32
10
,
00,
01
,
022211211A A A A
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡==10,
021B B 25
10)5()(*2
2
++=+=s s s s f )
()(1222LA A sI s f --=
)23()3(2112
+++++=l l s l s
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⇒=27)()(*21l l L s f s f 降维观测器的状态方程z
u
y z z u LB B y LA A Ly z LA A z z
z
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-+-++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10344734
17)()())((21121121122221
降维观测器的输出方程x
ˆ ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡y z y z y Ly z y x x x
27ˆˆˆ21321
（5）
闭环传递函数为：
3
441
]
4
3)21)[(3(1
)(2
3
2
2
+++=+
+
+=
s s
s s s s G b
（4）
题（2）的结构图如图题3-5-9图1所示： 题（3）的结构图如图题3-5-9图2所示：
题3-5-9图1
题3-5-9图2
3-5-10 设系统的状态空间表达式为⎩⎨
⎧=+=Cx
y Bu Ax x ，现引入状态反馈x
k r u
ˆ-=构成闭环系
统，x
ˆ为x 的估值。

(1)写出该系统状态变量x 的全维渐近观测器的状态方程；
(2)写出带状态反馈全维观测器的闭环系统的状态方程，并画出包括状态反馈及全维观测器的闭环系统的结构图。

【解】： （1）
Bu x LC A Ly Bu x A x LC Ly x
+-+=++-=ˆ)(ˆˆˆ
（2）
⎪⎩⎪⎨⎧+-+=++-=+=Bu x LC A LCx Bu x A x LC LCx x
Bu Ax x ˆ)(ˆˆˆ
x
K r u ˆ-=
Cx
y =
()()⎪⎩⎪⎨
⎧+--+=-+-+=+-=-+=⇒Br x BK LC A LCx x K r B x LC A LCx x
Br x BK Ax x K r B Ax x ˆ)(ˆˆ)(ˆˆˆ
Cx
y =
[]⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒x
x C
y r B B x
x BK LC A LC BK
A x x
ˆ0ˆˆ
闭环系统结构图如图题3-5-10图所示：
题3-5-10图
3-5-11 已知系统的状态空间表达式为[]x
y u x x
10
2006
15
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= ，
(1)画出系统结构图；
(2)求系统传递函数；
(3)判定系统的能控性和能观性 (4)求系统的状态转移矩阵)(t Φ；
(5)当0)(,30)
0(=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=t u x 时，系统的输出)(t y ；
(6)设计全维状态观测器，将观测器的极点配置在10
10j ±-处；
(7)在（6）的基础上，设计状态反馈矩阵K ，使系统的闭环极点配置在5
5j ±-处。

(8)画出系统总体结构图。

【解】： (1)
系统结构图如图题3-5-11图1所示：
y
题3-5-11图1
(2)
)
3)(2()5(2)
()(1
+++=
-=-s s s b A sI C s G
(3)
传递函数无零极点对消，则既能控又能观。

或：
[]2
,0220=⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-==c
c
rankU Ab b
U
2
,06
100
0=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=rankV CA C V
系统既能控又能观。

(4)
⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎢
⎣⎡
+++++++-++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+=-==Φ-----)3)(2(5)3)(2(6)
3)(2(1
)3)(2(6
15
])
[()(11
1
1
1s s s s s s s s s s L s s L
A sI L e
t At
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎣⎡--+-+-=--------t
t
t
t t t
t
t e
e
e e
e e e e 32323232236632
(5)
[])0(693023663210
)(3232323232≥-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡--+-+-=----------t e e
e
e
e e e e e e t y t
t t
t
t
t t t
t
t
（6）
观测器的希望特征多项式：
200
20100)10()(*2
2
++=++=s s s s f
观测器矩阵为[]
T
l l L
21=，
观测器的特征多项式：
[]
1006
150
0)()(21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=--=l l s s
Lc A sI s f
)665()5(1222
+++++=l l s l s
⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒
⎩⎨
⎧=++=+⇒
=83.19611915200
)665(20
)5()(*)(1
2122l l l l l s f s f
（7）
希望特征多项式：501025)5()(*22++=++=s s s s f 状态反馈后的特征多项式：
[]
212006
150
0)()(k k s s
bK A sI s f ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=--=
)6210()25(1222
+-+++=k k s k s
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==⇒
⎩⎨
⎧=+-=+⇒=5.9219
5.250
)6210(10)25()(*)(12122k k k k k s f s f
[][]5.25
.921
-==k k K
（8）
全维观测器的状态空间表达式为：
Ly Bu x LC A x
++-=ˆ)(ˆ
)ˆ(ˆˆy y L Bu x A x
-++= )ˆ(1583.1920ˆ06
15ˆy y u x x
-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
系统总体结构图如图题3-5-11图2所示：
题3-5-11图2。