同济大学高等数学第七版上册定积分

2
---
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
求
2
f ( x 1)dx .
0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
0 1 x
2xdx
dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 )dx
0
1
1 x
1 1 2ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1 ---
利用函数的对称性简化计算.
设 f (x) 在[a, a] 上连续,那么
偶倍奇零
a
a
(1) 若 f ( x) 为偶函数,则 f ( x)dx 2 f ( x)dx ；
a
0
a
(2) 若 f ( x) 为奇函数,则 f ( x) dx 0 . a
证
a
f ( x)dx
a
f ( x)dx
T f ( x)dx .
a
0
aT
证
f ( x)dx
a
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f (x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
a
f (t T )dt
T
0
a
0
0 f (t)dt a f ( x)dx ,
a T
T
a f ( x)dx 0 f ( x)dx .
2x2 1
x2
dx
1
1
x cos x 1 1 x2
dx
偶函数
奇函数
1
40 1
x2 1
x2
dx
4 1 0
x
2(1 1 (1
1
x x2)
2
)
dx
1
40 (1
1
1 x2 )dx 4 40
1 x2dx
4 .
单位圆的面积
---
sin x cos x
例9
dx 0 .
1 a2 sin2 x b2 cos 2 x
8 dx
例5 计算
.
01 3 x
解 令 3 x t ，x t 3 ，dx 3t 2dt ，
x : 0 8, t : 0 2，
原式
2 3t 2
2 t2 11
dt 3
dt
01 t
0 1 t
2
1
30 (t 1 1 t )dt
3( 1 2
t2
t
ln
|1
t
|
)
2 0
3ln 3
.
---
---
例11 设 f (x) 在[0，1] 上连续,证明：
/2
/2
0 f (sin x)dx 0 f (cos x)dx .
证 令 t x，
2
/2
0
f (sinx)dx f [sin( t)]dt
0
/2
2
/2
0 f (cos x)dx .
2
sin10
x
cos 10
x
0 f ( x)dx ，
a
0
a
0
x t
f ( x)dx
a
f (t)dt
a f ( x)dx ，
a
0
0
a
f ( x)dx
a
[ f (x)
f ( x)]dx ，
a
0
---
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
(1) f ( x)为偶函数, 则
y y f (x)
x |02
1. 6
---
例3
3 0
dx 2 3 d x t x (1 x) 0 1 x
3 dt
x2 0
1 t2
2arctan t 3 0
2 .
3
例4 2 x dx 1 2 1 dx2
0 1 x2
2 0 1 x2
t x2 1 4 20
1 dt 1 t
4
1 t 0
5 1.
---
奇函数
1 (x
1 x2 )2dx
1 (x2 2x
1 x2 1 x2 )dx
1
1
1
1dx
1
2x
1 x2 dx 2 .
1
1
1 x2(ex ex 1)dx 2 1
1 x2 dx
0
2. 3
---
例10 设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数，证明：
aT f ( x)dx
dx
0
0 1 sin x cos x
---
•二、定积分的分部积分法
定理 设函数 u( x), v( x) 在[a, b] 上连续可导,则
---
定积分的分部积分公式的用法与不定积分的分部 积分公式的用法类似。
例1
e ln x dx x lnx e
e
x d ln x
1
11
e
e
x
1
dx
则有
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证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
---
注意:
(1) 应用定积分的换元法时,与不定积分比较， 多一事：换上下限； 少一事：不必回代； "换元必换限"
(2) x (t ) 应单调,当 t 从 变到 时, x 从 a 变 到 b,不重复,不遗漏； "上限对上限、下限对下限"
例6 计算 ln2 ex 1 dx . 0
解 令 ex 1 t ，e x 1 t 2 ， x ln(1 t 2 ) ，
dx
1
2t t
2
dt
，
x : 0 ln2，
t :0 1，
原式
1
t
0
1
2t t
2
dt 2
1
(1
0
1
1 t
2
Leabharlann Baidu
)
dt
2 2arctant 1 2 .
0
e
(e
1)
1
.
1x
例2
1 xexdx
0
1 0
xdex
xex
1 0
1 e x dx
0
-e-1 ex 1 1 2 .
0
e
---
例3
e 1
ln x x3
dx
1 2
e
1
1 ln x d x2
1 2x2
ln x
e 1
1 2
e1 1 x2 d ln x
1 1 e1
f (x) f (x),
a
a
f ( x) dx 2 f ( x) dx
a
0
(2) f ( x)为奇函数, 则
o
x
y y f (x)
f (x) f (x),
a
f (x)dx 0 . a
o
x
---
例8 计算 1 2x2 x cos x dx.
1 1 1 x2
解
原式
1
1
1
第三节 定积分的换元法 和分部积分法
一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法
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根据
微积分基本公式
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
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一、定积分的换元法
定理 设 f ( x) 在[a,b] 上连续；函数x (t) 满足条件
（1） ( ) a、( ) b ；
（2）(t) 在[, ] 或[ ,] 上单调，且有连续导数，
(3) 逆用上述公式,即为“凑微分法”,不必换限.
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例1. 计算
解: 令
则
且
∴ 原式 =
---
例2
2
cos5 xsin xdx
ucos x
0 u5du u6 1 1 .
0
1
66
0
或 2 cos5 xsin xdx 0
以cos x为积分变量
2 cos5 xd cos x
0
1 cos6 6