统计学第5-6章 正态分布 统计量其抽样分布

第5-6章 统计量及其抽样分布

5.1正态分布

5.1.1定义:当一个变量受到大量微小的、独立的随机因素影响时，这个变量一般服从正态分布或近似服从正态分布。

概率密度曲线图

例如：某个地区同年龄组儿童的发育特征：身高、体重、肺活量等 某一条件下产品的质量

如果随机变量X 的概率密度为

22

()21

(),2x f x e

x μσπσ

--=-∞<<∞

则称X 服从正态分布。

记做

2

(,)X N μσ:，读作：随机变量X 服从均值为μ，方差为2

σ的正态分布 其中，

μ-∞<<∞，是随机变量X 的均值，0σ>是是随机变量X

的标准差

5.1.2正态密度函数f(x)的一些特点：

()0f x ≥,即整个概率密度曲线都在x 轴的上方。

曲线

()f x 相对于x μ=对称，并在

x μ=处达到最大值，

1

()

2

fμ

πσ

=

。

1

μ＜

2

μ＜

3

μ

曲线的陡缓程度由

σ

决定：σ越大，曲线越平缓；σ越小，曲线越陡峭当

x

趋于无穷时，曲线以x轴为其渐近线。

标准正态分布

当

0,1

μσ

==

时，

2

2

1

()

2

x

f x e

π

-

=

，

x

-∞<<∞

称

(0,1)

N

为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数：

()x ϕ

标准正态分布的分布函数：

()x Φ

任何一个正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布

设

2

(,)

X Nμσ

:

,则

(0,1)

X

Z N

μ

σ

-

=:

变量

2

11

(,)

X Nμσ

:与变量2

22

(,)

Y Nμσ

:相互独立,则有

22

1212

+(+,+) X Y Nμμσσ

:

5.1.3 正态分布表：可以查的正态分布的概率值()1()

x x

Φ-=-Φ

例：设

(0,1)

X N

:，求以下概率

（1）

( 1.5) P X<

(2)

(2) P X>

(3)

(13) P X

-<≤

(4)

(2)P X ≤

解：

（1） 1.5

( 1.5)()(1.5)0.9332P X t dt ϕ-∞<==Φ=⎰

(2)

(2)1(2)1210.97730.0227

P X P X >=-≤=-Φ=-=（） (3)

(13)(3)(1)(3)(1)

(3)(1(1))0.9987(10.8413)0.84

P X P X P X -<≤=≤-≤-=Φ-Φ-=Φ--Φ=--= (4)

(2)(22)(2)(2)

(2)(1(2))2(2)10.9545

P X P X ≤=-≤≤=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ-=

一般，若

(0,1)X N :，则有

()()()P a X b b a <≤=Φ-Φ

()2()1P X a a ≤=Φ-

例 设2

(5,3)X N :，求以下概率

（1）(10)P X ≤

(2)

(210)P X <<

（3）

(28)P X ≤≤

（4）

(56)P X -≤

（5）

(59)P X -≤

解：由2

(5,3)X N :，

5

(0,1)3

X N -: （1）

1.675105

(10)()

33

5( 1.67)

3()(1.67)0.9522

X P X P X P t dt ϕ-∞

--≤=≤-=≤==Φ=⎰

(2)

255105

(210)()

333

5

(1 1.67)

3(1.67)(1)0.7938

X P X P X P ---<<=<<-=-<<=Φ-Φ-=

（3）

25585

(28)()

333

5

(11)

32(1)120.841310.6826

X P X P X P ---≤≤=≤≤-=-≤≤=Φ-=⨯-=

（4）

56

(56)()

33

5(2)

32(2)120.977210.9544

X P X P X P --≤=≤-=≤=Φ-=⨯-=

（5）

5

(59)(

3)

3

2(3)120.998710.9974

X P X P --≤=≤=Φ-=⨯-=

一般，若

2

(,)X N μσ:，则有 ()()()b a P a X b μμ

σσ

--<≤=Φ-Φ

5.1.4 3σ

准则

若

(0,1)X N :，则有

(1)2(1)10.6826P X ≤=Φ-=

(2)2(2)10.9545P X ≤=Φ-=

(3)2(3)10.9973P X ≤=Φ-=

即，X 的取值几乎全部集中在[]3,3-区间内，超出这个范围的可能不到0.3%

至一般正态总体，即

2

(,)X N μσ:，有

()0.6826P X μσ-≤=