第四章 塑性成形问题的滑移线解法

σ m − 2kω = ξ → 沿α 线 2k σ m + 2 k ω = η → 沿β 线
-----(4)
α
ξ ,η
在同一条滑移线上为常数。 在同一条滑移线上为常数。 -----(5)
σ ma − σ mb = ±2k (ωa − ωb )
（正号用于 α 线，负号 β 线）
§4.3 滑移线的基本特性
第四章 塑性成形问题的滑移线解法
主要内容: 平面变形应力状态的特点 滑移线与滑移线场的基本概念 滑移线场的应力场理论 滑移线的性质 滑移线场的建立 用滑移线法求解塑性成形问题
§4.1 滑移线场的基本概念
一、平面变形应力状态的特点 处于平面塑性应变状态的变形体，塑性 变形体内一点 P 的应力状态可用塑性流动平 面内平面应力单元体表示。设: ε 2 = 0
K
β
τ xy
σm β
K
σ3
2ω
σx
α
σ1
τ xy
0
σ
σx
τ xy
K K
τ xy
x a
σm
σx
σm
σm
σy
τ xy
a)
b) 摩擦切应力为某一中间值的接触面处的滑移线
§4.5 滑移线场的建立方法
一、常见的滑移线场类型 1）直线滑移线场，两族直线 2）简单滑移线场，一直一曲 3）有心和无心扇形场 4）直线与简单滑移线场组合 5）正交曲线滑移线场
σ3方向
α K
σ1方向
σ1 K K
β σ1
π
K
K
判断σ1、σ3方向 判断变化趋势
β
确定滑移线族别
4
α
按最大切应力K的时针转向或按第一主方向确定滑移线族别
四、滑移线的微分方程
α
线
dy = tgω dx
β线
dy π = tg (ω + ) = −ctgω dx 2
-----(3)
§4.2 滑移线场的应力方程—汉基应力方程 汉基应力方程
σ1 0 σm K K σ3
σm α
无摩擦接触表面处的滑移线
（3）摩擦力为K的接触表面 π τ xy = ± K cos 2ω = ±1 → ω = 0或 2 一族滑移线与表面相切，另一族与之正交
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
σn= σm
摩擦切应力为 K的接触面
α
0 β α α σm σ1 K σ3 σ3 K β β
……(5)
R0 ω ab = ln Rt
滑移线ab为
R0 = ln r
……(6)
ω pb
r
dθ θ a
σr
σ θ σ r + dσ r
b
R0 ω a = − , ωb = − + ln 4 4 Rt
∵∴ ……(7)
π
β
线
σθ
dr
P
π
σ ma − σ mb = −2k (ω a − ωb )
由汉基应力方程得
均匀应力场
无心扇形场
有心扇形场
正交对数螺线
正交圆摆线
等半径圆弧
自由表面或均 布法向应力
粗糙平行刚性 板压缩
§4.6 用滑移线法求解塑性成形问题
应用滑移线场理论求解刚塑性体平面应变问题，可 归结为根据应力边界条件求解滑移线场及其应力状态， 并根据速度边界条件求出与滑移线场相匹配的速度场。
一、平冲头压入半无限高坯料
2、跨线特性--汉基第一定理 同一族的一条滑移 线转到另一条滑移线时， 线转到另一条滑移线时， 则沿另一族的任一条滑 移 ∆ω 线方向角的变化 m 及平 ∆σ 均应力的变化 均为常 数。
∆ω = ω1,1 − ω2,1 = ω1,2 − ω2,2 = K = 常数 ∆σ m = σ m1,1 − σ m 2,1 = σ m1,2 − σ m 2,2 = K = 常数 -----(6)
……(1) ……(2) ……(3)
σr
σ θ σ r + dσ r
b
σθ
dr
P
这些滑移线是正交对数滑移线。
这些滑移线是正交对数滑移线。滑移线上b点的角坐标为
θ b = ln R0 + c
……(4)
它与任意点P的角坐标之差为
∆θ = θ b − θ = ln R0 − ln r
∆θ = θ b − θ = ω pb
一、沿线特性
σ ma − σ mb = ±2k (ωa − ωb )
若滑移线场已经确定， 若滑移线场已经确定，且已知一条滑移线上任一点的平 均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态； 均应力，则可确定该滑移线上各点的应力状态； 若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同； 若滑移线为直线，则此直线上各点的应力状态相同； 若两族滑移线均为直线， 若两族滑移线均为直线，则此区域内各点的应力状态相 称为均匀应力场。 同，称为均匀应力场。
σ 1 = 2 K + σ 3 = 2 K − p;
σ ma
1 = (σ 1 + σ 3 ) = K − p 2
根据汉基应力方程
σ ma − σ mb = 2 Kω
K − p − (− K ) = 2 K (−
π
− ) 4 4
……(14)
π
p = 2 K (1 + ) 2
π
∵∴
Biblioteka Baidu尔场
υα = 2υ0
根据判断滑移线族性质的规则，可确定滑移线ab为 在b点 根据屈服准则
ωb =
π
4
α
线
, σ 1 = 0;
σ 1 − σ 3 = 2K ;
σ 3 = −2 K ;
1 σ mb = (σ 1 + σ 3 ) = − K 2 π 在a点 ω a = − , σ 3 = − p; 4 根据屈服准则 σ − σ = 2 K ; 1 3
K K
σm α
K
K
σ1 = 2K ,σ 3 = 0
自由表面处的滑移线
σ 1 = 0, σ 3 = −2K
代数值最大的主应力 σ1(=0)的作用线
（2）无摩擦的接触表面
r=0
π
4
σ3
无摩擦的接触表面
0 β
π
4
τ xy = 0
不受力的接触表面一样
α
σm
σ3 K K
β σm σ1
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σ 1 = 2 K , σ 3 = 0 σ 1 = 0, σ 3 = −2 K
τ xy = 0
cos 2ω = 0
ω=±
π
4
π
π π
r=0
4 4
自由表面 α
4
r=0
π
4
自由表面 β
β
α β σm σ1 σm K K σm σ1=2K
代数值最大的 主应力σ1的作用线
σm σ3 σm α
K
K
σm σ3=-2K σm β
σ ma − σ mb
π π R0 R0 = −2 K − + − ln = 2 K ln Rt Rt 4 4
……(8)
由屈服准则
σθ
σr
σ r − (−σ θ ) = 2 K
r
dθ θ a
ω pb
σr
σ θ σ r + dσ r
b
σ ma =
σ mb
σ θ a = 2K − σ r = 2K − p σ θ b = 2K − σ r = 2K σ r + (−σ θ )
1 (σ 1 − σ 3 ) = k 2 1 (σ 1 + σ 3 ) = σ m 2
z σz= σm= σ2
σ1 σm +K σy τyx -K P
σ1作用线
τxy
σm σx σ3
0 σx x
σy τxyτyx y
σ1 = σ m + k σ2 =σm σ3 = σm − k
σ x = σ m − k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω
0
σm K σ1 α
K β σm 0
σm K
σm
代数值最大的 σm 主应力σ1的作用线
σ1
0
K σm
K
σ3
σm
K
σ1
σ3
摩擦切应力为K的接触表面的滑移线
（4）摩擦力为某一中间值的接触表面 1 τ −1 xy ω = ± cos 0 < τ xy < K 2 K
τ = τ xy
0
σy
ω
α
r
β
y
σy
σm
-----(1)
τ
σy （σm,+K） y τyx
π
4
σ3 σm +K σy
τxy
σ1 x 2ω
σ
P
τxy σx 0 -K σm
ω
τyx
σ1
σx σ2= σm
（σm,-K）
σ1的作用线
x
塑性平面应变状态下一点的应力 状态、应力莫尔圆
σx −σy tan 2ω = − 2τ xy
-----(2)
二、最大切应力轨迹线----滑移线的形成
推论：若一族的一条滑移线的某一区段为 直线段，则被另一族滑移线所截得的该滑 移线的所有相应线段皆为直线
§4.4 应力边界条件 常见的应力边界条件有以下四种类型： （1）不受力的自由表面
σ x = σ m − k sin 2ω σ y = σ m + k sin 2ω τ xy = k cos 2ω
将无限接近的切应力方向连接起来，即到 两族正交曲线，称为滑移线，其中沿一剪切 方向所得的滑移线称为α 族，沿另一剪切方向 所得的滑移线称为β 族。 三、两族滑移线和角度的规定
α 线两旁的最大切应
力组成顺时针方向
第一主方向顺时针 转 π 所得的滑移线 为α线。
4
σ1方向（第一主方向）
K
K
σ3方向
π
4
∵∴
二、拉延
主应力轨迹为同心圆及与其相交的半 径线。根据滑移线与主应力轨迹成45 径线。根据滑移线与主应力轨迹成 交角的特性，对坐标为r、 交角的特性，对坐标为 、θ 之任意 点P，可写出滑移线方程式 ，
ω pb
r
dθ θ a
dr = tg 45 = 1 r dθ dr dθ = ∴ r 积分得 θ = ln r + c
2 σ r + (−σ θ ) = = −K 2 = p−K
σθ
dr
P
……(9)
∴拉延应力p为
R0 p = 2 K ln Rt
……(8)
ω pb
r
dθ θ a
与主应力求法结果相同
σr
σ θ σ r + dσ r
b
σθ
dr
P