二次量子化理论

y S (x1 , x 2 ,Lx N ) =
【令 S º
n1 , n2 ,L
å C (n , n ,L)y
1 2
S n1 , n2 ,L
(x1 , x 2 , Lx N ) （ å ni = N ）
1 N!
å P 为对称化算符，则
P
S yn (x1 ,x2 ,Lx N ) = 1 , n2 ,L
1 n1!Lnk !
= 1
L y n1 (x N ) L y n2 (x N ) L M L y nN (x N )
å (- 1) N!
P
[P ]
Py n1 (x1 )y n2 (x 2 ) Ly nN (x N ) º Ay n1 (x1 )y n2 (x 2 ) Ly nN (x N )
这里， P 代表对 N 个粒子编号进行置换， [P ] 是置换 P 相对于某种基本顺序而言经过置换 次数的 奇偶 性 ， 求 和 对所有可 能的 置 换 进行 ， n1 , n 2 , L, n N 为 N 个 不 同的 态 的 编号 。
k
由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 <玻色子体系> 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为
S yn (x1 , x 2 , Lx N ) = 1 , n2 ,L
1 å Py P1 (x1 )y P2 (x 2 )Ly PN (x N ) N !n1!L nk ! P n1 !n2 !L nk ! P'y P1 (x1 )y P2 (x 2 )Ly PN (x N ) å N! P'
=
这里， P1 , L PN 分别为 1, L N 号粒子所占据的单粒子态的编号，它们之中有相同的，于是 记 n1 为 1 号态上占据的粒子数， n2 为 2 号态上所占据的粒子数等等。 这里 n1 + n2 + L+ nk = N 。 一般地对称态可表示为上面基本的对称态的线性叠加：
e \ e
2 id jk
= +1 = ±1
id jk
还是由于全同性原理，这相因子与 j , k 等编号无关，即：
y (x1 ,L, x j ,L , x k ,Lx N ) = ±y (x1 ,L , x k ,L , x j ,Lx N )
总之，从全同性原理可得如下两个重要结论： i） 全同粒子体系的全部可观察力学量算符相对粒子间的交换是完全对称的； ii） 全同粒子体系的全部可能状态波函数相对粒子间的交换不是完全对称的就是 完全反对称的，中间既不对称又不反对称的状态是不会实现的。 b） 进一步研究体系波函数的对称反对称问题 根据上面所说，我们有根据假定交换系统中某一对粒子 j , k 的置换算符 Pjk ，即定义
的对称性质是不随时间变化的。 全同粒子系统，其波函数究竟是对称的还是反对称的，取决于该类粒子的本质，这种 探讨在 QED 中进行，但现在都可以证明：由反对称波函数描述的粒子遵循费米－狄拉克统 计，简称费米子（如电子、质子、中子等） ；由对称波函数描述的粒子遵循玻色－爱因斯坦 统计，简称玻色子（如光子、各类介子） 。 相对论是量子力学证明：粒子体系波函数是对称反对称（或粒子所遵循的统计法则） 与其自旋具有单值关系——自旋为半整数的粒子都是费米子，自旋为整数的粒子都是玻色 子。 （不论单粒子或复合粒子） c） N 个全同粒子体系的波函数描述 <费米子体系>
s 2 s1 SM
2 s- S
就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)
。可是，另一方面，根据自旋与
对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出
(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子
v
积和反对称乘积就分别对应于系统总自旋和的情形。
y (x1 ,L , x j ,L, x k ,Lx N ) = e jk y (x1 ,L , x k ,L , x j ,Lx N )
这里 x 1 代表第一编号粒子的三个坐标和一个自旋投影力学变量的集合。接着再交换一次得
id
e
id kj
，还是根据全同性原理，应有 d jk = d kj ，由于这样接连两次的交换已全部还原，故
利用自旋交换算符，可以把上面所说的“交换作用”表示为简明的形式，并将之加到系统的 哈密顿中去。下面，我们从两个电子的最简单情况出发来阐述。 c） 双电子系统，不考虑它们之间与自旋有关的作用，只考虑它们之间的电作用，并将 这种作用看成是微扰：
v v V = V ( r2 - r1 )
上述的“交换作用”将按如下方式表现出来：设电子分别处于 j1 ( r ) 和态上，它们的对称乘
第四章 二次量子化理论
§1 全同粒子体系 1． 微观粒子全同性原理 2． 两个全同粒子体系 3． 交换作用 §2 二次量子化方法 1． 粒子数表象 2． 波色子系统之一 3． 波色子系统之二 4． 费米子系统 5． Schwinger 作用量原理与场量子化 6． Klien－Gordan 标量场量子化 7． Dirac 场量子化 §3 几个简单的应用 1． 弱相互耦合的全同粒子体系跃迁几率计算 2． 费－狄统计和玻－爱统计分布律的推导 3． 光被原子吸收和原子的受激辐射与自发辐射 4． 光子和原子的相互作用能 H I 的表示式——电磁场的量子化
即双费米子自旋单重态的轨道量子数必为偶（包括 0） ，自旋三重态的轨道量子数必为奇。 具体例子： H 2 的基态，双电子的 l 为零（基态—— S 态）故 H 2 的基态为单重态，总角动 量 为零。还 比如 p - p 双 质子系统，就不可能有 奇 l 的但重态 和偶 l 的三重态。 可是氘核 （ p - n 系统）由于不是全同粒子系统，就不受上述分析的限制。 b） 一般地考虑两个全同粒子系统，设每个粒子自旋为 s ，系统合自旋为 S 。给以人为 的编号 s1 , m s1 ; s 2 , ms2 。按角动量分解规律有
Pjky (L , x j , L , x k , L) = y (L , x k , L, x j , L) ，则由于 H 对此置换为对称，故有 [ H , Pjk ] = 0
于是 Pjk 是守恒量，就是说，如系统的波函数在初始时刻是对称的（ Pjk 本征值 + 1 ） ，则其 后任何时刻为反对称的（ Pjk = -1 ） ，则总是反对称的。就是说：全同粒子体系状态波函数
y PN (x N ) 】 Sy P1 (x1 )y P2 (x2 )L
2． 两个全同粒子体系 a） 设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相对于两粒子交换为反对称的， 即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反之亦然。如果忽略一些小的相对 论效应， 则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分之积， 这样系统的波函数就可以写成 一个空间部分和一个自旋部分的乘积——可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为
y i (x )}，就是说，它们都是单个费米子所可能占据的 任选一套单粒子态的正交归一完备组 {
定态，对应的完全力学量组变数为 x 。一个特殊的基本反对称态可以写为
y n1 (x1 ) y n1 (x 2 ) y n2 (x1 ) y n2 (x 2 ) 1 L = det ( , , ) y nA x x x L , n , , n 1 2 N 1 2 N M M N! y nN (x1 ) y nN (x 2 )
§1 全同粒子体系 1． 微观粒子全同性原理 a） 现在研究几个全同粒子（比如电子） 。从经典和量子力学两种角度看，它们彼此都 不可分辨。然而，这两种情况有原则上的区别。在经典力学中，虽然它们彼此全同，但并未 失去它们各自的“个别性” ， “可分辨性”——在某一时刻设想予以定位编号后，在原则上可 以追踪鉴别；但在量子力学中，由于测不准原理的存在，电子轨道概念必须予以放弃，即使 设想在某一时刻予以定位编号， 在无限接近的随后时空， 它的坐标也不再具有定值， 就是说， 某时刻的定位对追踪毫无帮助，也就是说，原则上不能追踪鉴别，也就是说，在原则上都失 去了“个别性” “可分辨性” 。这导致同类微观粒子的原则上的完全的不可分辨性（而不是技 术上的不能分辨）这就是微观粒子的全同性原理。这是微观世界运动所特有的规律。 由全同性原理，立刻导致两个结论：第一，一切力学量（可观察） ，包括系统的哈密顿 量，相对于任何一对粒子编号的交换是对称的；第二，体系所有可观察的几率，相对于任何 一对粒子编号的交换也必须是对称的。 这时因为， 全同粒子体系的任何编号都是人为加给这 个微观体系的，因而不同的编号不应当导致任何可观察的不同的物理效应。关于第二点，我 们再略为仔细考察一下。 由于给出的任何几率都必须对称， 所以系统的状态波函数相对于任 何一对粒子编号的变换，只能改变一个相因子，即
空间间波函数必为对称，
0 反称组合（自旋为 0） c 0 =
由于双粒子交换于双粒对 1 ì1 1 1 1 ü í ,- - - , ý Û 2 2 þ 连线中点的反演，导致l 2î2 2 不能为能为奇数
ì 1 1 1 ï c1 = 2 , 2 ï 空间间波函数必为反称， 1 ì1 1 1 1 ü ï 1 对称组合（自旋为 1） í c 0 = í ,- + - , ý Û 2 2 þ l 必须须为奇数 2î2 2 ï 1 1 ï 1 ï c -1 = - 2 ,- 2 î
P12 = Px Ps
Px 交换粒子的空间坐标编号 Ps 交换粒子的自旋坐标编号
很易证明，对 s =
1 粒子 2 Ps =
1 v v (1 + s 1 × s 2 ) 2 1 v v s 1 是 1 号粒子的自旋矢量算符，s 2 是 2 号粒子的。由于 s = 是费米子， P12 s 的本征值为 2 - 1 ，所以 Px = -( Ps ) -1 = - Ps
系统反对称波函数） 。于是，由于上面两方面，可得自旋为 s 合成为 S 的全同双粒子系统， 其空间坐标波函数的对称性由 (- 1) 决定，只和 S 有关。即总自旋为偶数时，空间坐标波函
S
数为对称的（ l 为偶数） ；总自旋为奇数时，空间坐标波函数为反称的（ l 为奇数） 。 3． 交换作用 a） 由上面叙述知， 由全同性原理导致状态的对称反对称的限制， 而这种状态的限制又 和自旋有单一的关系，这就是说自旋对可实现的状态有很大的影响。显然，这也必定影响能 量本征值。于是即使系统的哈密顿 H 中不考虑自旋效应，全同粒子（如多电子系统）系统 的允许的能量也仍然依赖于系统的总自旋。 这种能量与自旋的依赖关系， 可以等效地 “看成” 是粒子间的一种“交换作用”的结果。这种作用基于全同性原理和自旋之上，所以纯粹是一 种量子效应。 b） 引入交换算符
Aº
1
å (- 1) N!
P
[P ]
P 反对称化算符。
而一般的反对称态可表示为上面基本反对称态的叠加：
y A (x1 , x 2 ,Lx N ) =
n1 , n2 ,L, nk ,L
å C (n , n
1
2
, L, n k , L)y nA (x1 , x 2 , Lx N ) （ å nk = N ） 1 , n2 ,L, nk ,L
s1 s 2 SM = =
m1 ,m 2
å
s1 s 2 m1 m 2 s1 s 2 SM s1 m1Leabharlann Baidus 2 m2
s1 + s2 - S
（ m1 + m2 = M ）
m1 , m2
å (- 1)
s 2 s1 m 2 m1 s 2 s1 SM s1 m1 s 2 m 2
= (- 1) 1
s + s2 - S