数学物理方法第3章幂级数-2016

1. 根式法 2.比值法 3.奇点法 4.逐项微分或逐项积分法
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1. 根式法

由根式判别法可知，若 (3.2.4)
(3.2.5)
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2. 比值法

由比值判别法得
(3.2.7)
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3. 奇点法

既然幂级数在收敛圆内解析(见幂级数在收敛 圆内的性质1)，因此幂级数在收敛圆周上或 在收敛圆周外(无限接近收敛圆周）必有奇 点．

若级数 则称级数
在z点收敛， 在z点绝对收敛.
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2. 绝对收敛级数的判别法

级数
的每一项是正实数，故
绝对收敛的判别法就是正项级数的判别法:

达朗贝尔(d’Alembert)判别法;
柯西判别法; 高斯(Gauss)判别法
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3. 绝对收敛级数的性质

绝对收敛级数可随意交换各项的次序，所得 级数仍绝对收敛且级数和不变． 两个绝对收敛级数 和 可逐项相乘，所得级数仍为绝对收敛级数， 且收敛于S'S" ，即

由魏尔斯特拉斯定理可得， 在D内解析，且可逐项求导任意多次． 这表明，幂级数 代表一个解析函数
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在收敛圆内
性质2 幂级数可沿收敛圆内任意曲线 l 逐项积分

证明 既然幂级数在收敛圆内满足一致收敛级数性 质2要求的条件：

(1)、幂级数在收敛圆内的任意曲线l 上一致收敛于 S(z)(根据阿贝尔定理）；

则称
在D(或l上)一致收敛于S(z)．
注意： N(e) 与 z 无关。
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设级数
定义在区域D(或曲线l)上．
2. 级数一致收敛的充要条件： 任给 e>0，存在与z无关的正整数N(e)，使当 n>N(e)时，对任意自然数p,有
则称
在D(或l上)一致收敛．
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讨论 第一，级数在D(或 l )上收敛与一致收敛的差 别仅在于：要使式 (3.1.5)［它与式(3.1.9)形式 上完全相同］成立，前者的N(e, z)可依赖于e, z，而后者的N(e)仅能依赖于e，而不能依赖 于z .

形如 (3.1.1)
的无穷级数称为复变函数项级数，式中z为 复变数，wk(z)是复变函数．
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(1) 收敛与发散的定义： 当n→∞时，若级数(3.1.1)的部分和
的极限存在，即 则称级数 wk(z) 在z点收敛, S(z)称为级数在z 点的和；否则称级数在z点发散． 若级数在区域D(或曲线L)上所有的点收敛， 则称级数在D(或L)上收敛，级数收敛的区域 称为收敛域．
z=1时级数成为调和级数 数学中已证明调和级数发散．

这表明，由幂级数中心b到幂级数S (z)最近的 奇点的距离就是幂级数的收敛半径R. 这种方法常常在将函数展开为泰勒级数时应 用(见3.3节）
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4. 逐项微分或逐项积分法

若
的收敛半径R0已知，且
(3.2.9)

则幂级数
及
的收敛半径
R=R0
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【例3.2.1】求幂级数

的收敛半径
解 用比值法计算，得


R=0表示除z=b外，幂级数在全平面发散;

R= ∞表示幂级数在全平面收敛．
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3.2.3 幂级数在收敛圆内的性质

性质1 幂级数在收敛圆内解析，且可逐项求导任意 多次．

证明 既然幂级数在收敛圆内满足魏尔斯特拉斯定 理要求的两个条件：


(1)、幂级数在比收敛圆略小的闭圆 的边界上一致 收敛(根据阿贝尔定理)； (2)、幂级数的每一项在闭圆 上解析．

第二，“绝对收敛”与“一致收敛”对级数 提出不同的要求：


有的级数绝对收敛而不一致收敛；
有的级数不绝对收敛而一致收敛；
也有的级数既绝对且一致收敛．
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【例3.1.2】试指出复变函数项级数
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21

这个例子说明了 收敛与一致收敛 两者的差异．
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3. 级数一致收敛的性质
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【例3.1.1】试证明，在区域|z|<l内
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这个结论非常重要，在证明泰勒
定理(3.3节)、洛朗定理(3.4节)， 以及将函数展开为幂级数时都要 用到．
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§3.1.3 一致收敛级数的定义、判别法和性质
设级数 定义在区域D(或曲线l)上．
1.
级数一致收敛的定义：
任给 e>0，存在与z无关的正整数 N(e)，使当n>N(e) 时，对 于D (或l) 上的 z，均有 |S(z)一Sn(z)|＜e (3.1.8)
1
第3 章

解析函数的幂级数
复变函数项级数(特别是幂级数)的概念;
将圆域和环域内的解析函数分别展开为 泰勒级数和洛朗级数; 零点和孤立奇点的定义和性质


2
§3.1 复变函数项级数

收敛与发散的定义、级数收敛的充要 条件;
绝对收敛级数和一致收敛级数的定义、 判别法和性质．

3
§3.1.1 复变函数项级数的敛散性
(2)、幂级数的每一项在收敛圆内的任意曲线l 上连 续．


由一致收敛级数的性质2可知， 可在曲线l上逐项积分． 可以证明，对幂级数逐项求导或逐项积分后，不改 变幂级数的收敛半径（见习题3.2.1)
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3.2.4 计算幂级数收敛半径的方法

可以采用许多不同方法计算幂级数的收敛半 径，最常用的方法如下．
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4. 级数一致收敛的判别法

除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
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M判别法：也称魏尔斯特拉斯(Weierstrass)M- 判别法
卡尔· 特奥多尔· 威廉· 魏尔斯特拉斯 （1815-1897）德国数学家，被誉为“ 现代分析之父”。魏尔斯特拉斯在数 学分析领域中的最大贡献，是在柯西 、阿贝尔等开创的数学分析的严格化 潮流中，以ε-δ语言，系统建立了实分 析和复分析的基础，基本上完成了分 析的算术化。他引进了一致收敛的概 念，并由此阐明了函数项级数的逐项 微分和逐项积分定理。在建立分析基 础的过程中，引进了实数轴和n维欧 氏空间中一系列的拓扑概念，并将黎 曼积分推广到在一个可数集上的不连 续函数之上。
通过柯西以及后来魏尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析 的基本概念得到严格的论述。从而结束微积分二百年来思 想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动 和直观了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现 代数学最基础最庞大的数学学科。
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§3.1.2 绝对收敛级数的定义、判别法
1. 绝对收敛级数的定义
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§3.2 幂级数
• 阿贝尔(Abel)定理，收敛圆与收敛半径，
• 幂级数在收敛圆内的性质，收敛半径的方法
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幂级数是由幂函数组成的无穷级数
a ( z b)
k 0 k

k
a0 a1 ( z b) ak ( z b)
1 k
(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数的 中心，ak 为幂级数的系数。
(3.2.1)
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既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
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【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？

解 (1)
在收敛圆周上点点发散． ，在收敛
因为收敛的必要条件是
圆周上点点
敛．
点点不收
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(2)

在收敛圆周上的z=1发散，其余收敛．
1947年1月25日生于西安市 1977--1991: 在中国学习与工作(西北大 学，西安交通大学，深圳大学) 1989年获得理学博士学位(量子光学) 1991年晋升为副教授 1991---: 德国国际生物物理研究所(教授)， 1995年以来任生物光子实验室主2010---今: Chief Scientist, International Institute of Quantum Biology, Germany
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§3.2.2 收敛圆与收敛半径

阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某
y z2 z1 o x
点收敛，必在离中心b更近
的点收敛；

(2)幂级数 远的点发散．
在
某点发散，必在离中心b更
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因此，幂级数的收敛区域与发散区域是不会 交替出现的，即必然存在一个以b为圆心的圆， 在圆内绝对收敛(并在稍小的闭圆内一致收 敛)，在圆外发散．这个圆称为该幂级数的收 敛圆，圆的半径R称为该幂级数的收敛半径． 收敛半径R可为零，可为有限值，也可为∞。
所有k均有

|ak(z0-b)k|＜M (3.2.3) 这样，当|z-b|＜|z0-b| 时，有
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k ( z b ) k a k ( z b) k a k ( z 0 b) k Mq ( z 0 b) k
(0 q 1)
因为
是收敛的正项级数。由绝对
收敛级数的比较判别法可知
在 |z-b|<|z0-b|内绝对收敛；

由一致的收敛级数的判别法1可知,
在闭圆 |z-b|≤q|z0-b|上一致收
敛．
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阿贝尔定理 推论

若
在 z=z1 发散，
则级数必在圆|z-b|= |z1-b|的外部发散．

证明 用反证法证明．
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
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M判别法：也称魏尔斯特拉斯(Weierstrass)M- 判别法
1872年，魏尔斯特拉斯给出了第一个处处Байду номын сангаас续但处处不可微函 数的例子：
使人们意识到连续性与可微性的差异，由此引出了一系列诸如 皮亚诺曲线等反常性态的函数的研究。希尔伯特对他的评价是 ：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数 学分析建立了坚实的基础。 通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分 中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各 种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的 困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上 应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。
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【例3.2.2】求幂级数

的收敛半径．
解
用根式法计算，得

上面两次应用了洛必达(L'Hospital)法则．
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【例3.2.3】求幂级数

的收敛半径
解 (方法一）根式法．因为a2k+1=0,a2k=32k
序列｛ ｝有两个聚点：下极限为0，
上极限为3，故
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(方法二）比值法．

因为a2k+1=0不能由相邻两项系数之比的极限 求R，但可将级数化为如下两个级数之和

由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
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(方法三）变量代换法．

令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
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a ( z b)
k 0 k

k
a0 a1 ( z b)1 ak ( z b) k
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(2) 级数收敛的必要条件

(3.1.4)
证明：由级数收敛的定义(3.1.3)得级数收敛 的必要条件
(3) 级数收敛的充要条件 ( 柯西收敛方法) 任给 e>0, 存在正整数N(e, z)，使当n > N(e, z) 时，对任意自然数 p , 有
则级数
wk(z) 在 z点 收敛
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柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857），是法国数学家
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§3.2.1 阿贝尔定理

定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．
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证明
证明的关键是要找到一个收敛的
正项级数

因级数在z0点收敛，由级数收敛的必要条件
可知，必存在正数M,对
、物理学家、天文学家。 柯西1789年8月21日出生于 巴黎。父亲是一位精通古 典文学的律师，与当时法 国的大数学家拉格朗日与 拉普拉斯交往密切。
很多数学的定理和公式也都以 他的名字来称呼， 如柯西不等式、柯西积分公式 。
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1821年柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来 刻画，后经魏尔斯特拉斯改进，成为现在所说的柯西极限 定义或叫ε-δ定义。当今所有微积分的教科书都还（至少是 在本质上）沿用着柯西等人关于极限、连续、导数、收敛 等概念的定义。他对微积分的解释被后人普遍采用。 柯西对定积分作了最系统的开创性工作，他把定积分定义 为和的“极限”。在定积分运算之前，强调必须确立积分 的存在性。他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定 理 (牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula）):