复数的代数形式及运算
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(ac bd ) ( bc ad )i 是实数，∴ bc-ad=0. c2 d 2 1 1 i + i，∴ 1 1= - i. （2）∵z= -i= = w 110 i 21 2 2 2 2（3）∵(1- i) 3=1-C10 i+C ( i) 3 10 3
=
c di
2
1 2
2
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
10 9 ∴(1-i) 3 的展开式中各奇数项的和为-2 .
（4）∵z=1+i，
=(a+2)-(a+b)i=1-i， ∴ a+2=1, ∴
-(a+b)=-1,来自百度文库
a=-1,
b=2.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
【解析】原式=
2i (1 2i ) i (1 2i ) 2 i 2
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
4．若复数 (a∈R，i为虚数单位)是纯虚 数，则实数a的值为(C） A．-2 B． 4 C．-6 D．6
【解析】∵
a 3i (a 3i )(1 2i ) 1 2i 5
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
基 础 训练
B ) 1．复数z=i+i2+i3+i4的值是(
A.-1 B．0
C．1
D．i
【解析】z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
2．复数
A．i
2 i3 1 2i
a 3i 1 2i
是纯虚数，
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
5．满足 1
z
1 1 的复数z是 1 3i 3 i
( A ）
A．2+i
C．2+2i
【解析】
B．-2+3i
D．2-i
1 1 1 z 1 3i 3 i
∴z=2+i.故选A
规律总结
运算按多项式运算法则计算，除法需把分母实数化进行计 算. 2．要记住一些常用的结果，如i：ω ，1±i有关性质等 可简化运算步骤提高运算速度.
1.复数的四则运算一般用代数形式，加、减、乘法
; http://www.shubar.net 大道朝天
vdg96wgv
候，一准儿会有三五成群的秃头小子们连蹦带跳地跑来河边，毫无顾忌地脱光了跳到河里去尽情地戏水洗澡。估摸着快起晌了，他们就自觉地 上岸来，穿好衣服跑到别处玩，或者下地帮大人干活儿去了，把这条小河留给了很快就要来河边洗衣裳的女人们。结伴儿去小河边洗衣裳是小 镇上女人们最乐意做的一件家务事儿。每天上午或午后，尤其是闷热天起晌后，她们总会挎上个装满衣服或鞋袜的竹篮子，再带上一块胰子、 一个棒槌，也许还会再带一把猪鬃刷子，互相招呼着高高兴兴地来到河边洗衣裳。沿着河岸有几颗大柳树，树下一溜儿不远不近略略倾斜摆放 着几十块平整光滑的洗衣石。来这里洗衣裳的女人们，年轻的大闺女和小媳妇们不嫌累，干脆就蹲在洗衣石后面洗；上了年纪的女人们嫌蹲着 洗衣服累得慌，就搬一块适合的石头放在洗衣石的后面，再在这块石头上垫一件准备洗的衣裳，然后舒舒服服地坐着洗。金色的太阳、蓝蓝的 天空、缓缓移动的白云、轻轻吹拂的凉风、揺荡着的垂柳枝条、潺潺流动的河水、时不时跃出水面的银色鲢鱼、成群结队的小蝌蚪、河边闪光 的洗衣石、草丛上晾晒的花花绿绿的衣裳，以及高一声低一声嘻嘻哈哈的说笑声、棒槌此起彼伏的敲打声构成了一幅无与伦比的乡间美丽画卷， 也奏响了一曲美妙动听的乡间美妙交响乐！每逢农忙季节，当人们在自家地里劳作完了以后回家的时候，只要途经这条清澈见底的小河，必然 会放下手里的家伙什儿，蹲下来洗脸、洗手、洗脚，洗去尘土和疲乏，然后干干净净高高兴兴一身轻松地回家去。在小河上游不到一里远的地 方，有一大片自然形成的泉眼，清澈透明的泉水源源不断地从泉眼里咕嘟咕嘟地涌出来。这些泉眼分布在四个大水塘里，而这四个水塘的面积
等于( A ) B．-i
C．2 2 -i
D．-2 2 +i
【解析】
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
(1 i )(1 2i ) 3． 等于( ) C 1 i A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
(1 i ) 2 2005 2005 ] i i 【解析】（1）原式= [ 2
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
【答案】（1）A
（2）D
【小结】复数的代数运算往往用到i的周期性及 (1±i)2=±2i这一重要结论.此外，x3=1的一个虚根ω =1 3 + i的有关计算往往用到 ω 的性质以简化计算.如2004 2 2 1 3 ω= 年全国卷：设复数ω =- + i，则1+ .利用 2 2
几乎一样大，并且都是方方正正的样子。一个呈“十”字形，足足有两步宽的青石堤把它们分割开来。在这些青石堤的大约中间位置，各有一
个半步宽的洞口使四个水塘相互连通。在西南方向的那个水塘的外侧有一个宽大的开口；泉水从开口处溢出后，就毫无阻挡地流到小河里去了。 由于泉水冬暖夏凉，所以，这条混合了大量泉水的小河，即使在严寒的冬季里，流经小镇的河段上也绝对不会结冰。不过，在天儿冷了的时候， 尽管小河仍然流淌得很欢畅，但河水还是有些冰手的。所以，每年的这个时候，就很少有人再在小河边上洗衣服了，她们宁愿多走几百步，也 要到水塘边上来洗衣裳。这里的四个水塘都没有多深，最深的地方也没不过成年人的脖子。水塘的底子都是些青石板，站在水塘边向水里望去， 连石头缝儿也看得清清楚楚。在每一个水塘里面，都有成群结队的青虾和小鱼游来游去。偶尔地，会有人来这里捕捞鱼虾。在小镇周围村子里 人们的眼里，小镇是一
=i+i998=i+i4×249+2=i+i2
=-1+i.
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2．运算法则的综合应用
例3 C) A．bc+ad≠0 B．bc-ad≠0 C．bc-ad=0 D．bc+ad=0 1 （2）z= 的共轭复数是(B) 1 1 1 1 i 1 A． + i B． - i 2 2 2 2 C．1-i D．1+i ☆（3）求(1- i)10 3的展开式中所有奇数项的和.
c2 d 2
1 2
1 2
10， C103 ( 3 i)3+…+C1010 ( i) 3 10的实 ∴(1-i)10 的展开式中奇数项之和为复数 (1 i) 3 3 部. 10=［-2· 3 10ω 10=210ω = 又(1-i)3 (- + i)10=2
210(-
1 + 2
9+29 i. 3 i)=-2 3
a bi （1）设a、b、c、d∈R，若 为实数，则( c di
z 2 az b （4）已知z=1+i，如果 2 =1-i，求实数a、b的值. z z 1
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【解析】 （1）∵ a bi (a bi)(c di )
第89讲 复数的代数形式及运算
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2 ．常见的运算性质
⑤设ω是1的立方虚根，则ω3=1，有 1 2 1+ω+ω =0， = ω2 =
w
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双基固化
1．复数代数形式的运算 1 i 例1 （1）( )2005等于() 1 i A．i B．-1 C．1 D. 2 1 i 1 i 等于(2) （2） (1 i) (1 i) A．i B．-i C．1 D. -1
1+ω +ω 2=0及ω 2= w 不难得到1+ω =-ω 2=- w 可迅速获解.
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例2
( 2 2i)3 (1 3i) （1）计算 4 3 4i
（2）计算 【解析】（1）原式
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
（2）原式=
第89讲 复数的代数形式及运算
复习目标及教学建议 基 础 知 双 能 规 训 识 基 力 律 练 要 固 提 总 点 化 升 结
复习目标及教学建议
复习目标
掌握复数代数形式的加、减、乘、除四则运算及较简 单的乘方运算.能熟记一些常用结论.
教学建议
重点是灵活运用i的周期性及代数运算法则，提高学 生的观察能力及运算能力.
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知 识 要点 1．复数的运算法则 ①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； (a、b、c、d∈R，以下同) ②(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i； ③(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i； ⑤求a+bi的平方根， 设(x+yi)2=a+bi，由 x2-y2=a2， 2xy=b 求出x、y.
=
c di
2
1 2
2
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10 9 ∴(1-i) 3 的展开式中各奇数项的和为-2 .
（4）∵z=1+i，
=(a+2)-(a+b)i=1-i， ∴ a+2=1, ∴
-(a+b)=-1,来自百度文库
a=-1,
b=2.
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【解析】原式=
2i (1 2i ) i (1 2i ) 2 i 2
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4．若复数 (a∈R，i为虚数单位)是纯虚 数，则实数a的值为(C） A．-2 B． 4 C．-6 D．6
【解析】∵
a 3i (a 3i )(1 2i ) 1 2i 5
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基 础 训练
B ) 1．复数z=i+i2+i3+i4的值是(
A.-1 B．0
C．1
D．i
【解析】z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0.
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2．复数
A．i
2 i3 1 2i
a 3i 1 2i
是纯虚数，
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5．满足 1
z
1 1 的复数z是 1 3i 3 i
( A ）
A．2+i
C．2+2i
【解析】
B．-2+3i
D．2-i
1 1 1 z 1 3i 3 i
∴z=2+i.故选A
规律总结
运算按多项式运算法则计算，除法需把分母实数化进行计 算. 2．要记住一些常用的结果，如i：ω ，1±i有关性质等 可简化运算步骤提高运算速度.
1.复数的四则运算一般用代数形式，加、减、乘法
; http://www.shubar.net 大道朝天
vdg96wgv
候，一准儿会有三五成群的秃头小子们连蹦带跳地跑来河边，毫无顾忌地脱光了跳到河里去尽情地戏水洗澡。估摸着快起晌了，他们就自觉地 上岸来，穿好衣服跑到别处玩，或者下地帮大人干活儿去了，把这条小河留给了很快就要来河边洗衣裳的女人们。结伴儿去小河边洗衣裳是小 镇上女人们最乐意做的一件家务事儿。每天上午或午后，尤其是闷热天起晌后，她们总会挎上个装满衣服或鞋袜的竹篮子，再带上一块胰子、 一个棒槌，也许还会再带一把猪鬃刷子，互相招呼着高高兴兴地来到河边洗衣裳。沿着河岸有几颗大柳树，树下一溜儿不远不近略略倾斜摆放 着几十块平整光滑的洗衣石。来这里洗衣裳的女人们，年轻的大闺女和小媳妇们不嫌累，干脆就蹲在洗衣石后面洗；上了年纪的女人们嫌蹲着 洗衣服累得慌，就搬一块适合的石头放在洗衣石的后面，再在这块石头上垫一件准备洗的衣裳，然后舒舒服服地坐着洗。金色的太阳、蓝蓝的 天空、缓缓移动的白云、轻轻吹拂的凉风、揺荡着的垂柳枝条、潺潺流动的河水、时不时跃出水面的银色鲢鱼、成群结队的小蝌蚪、河边闪光 的洗衣石、草丛上晾晒的花花绿绿的衣裳，以及高一声低一声嘻嘻哈哈的说笑声、棒槌此起彼伏的敲打声构成了一幅无与伦比的乡间美丽画卷， 也奏响了一曲美妙动听的乡间美妙交响乐！每逢农忙季节，当人们在自家地里劳作完了以后回家的时候，只要途经这条清澈见底的小河，必然 会放下手里的家伙什儿，蹲下来洗脸、洗手、洗脚，洗去尘土和疲乏，然后干干净净高高兴兴一身轻松地回家去。在小河上游不到一里远的地 方，有一大片自然形成的泉眼，清澈透明的泉水源源不断地从泉眼里咕嘟咕嘟地涌出来。这些泉眼分布在四个大水塘里，而这四个水塘的面积
等于( A ) B．-i
C．2 2 -i
D．-2 2 +i
【解析】
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(1 i )(1 2i ) 3． 等于( ) C 1 i A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
(1 i ) 2 2005 2005 ] i i 【解析】（1）原式= [ 2
第89讲 复数的代数形式及运算
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【答案】（1）A
（2）D
【小结】复数的代数运算往往用到i的周期性及 (1±i)2=±2i这一重要结论.此外，x3=1的一个虚根ω =1 3 + i的有关计算往往用到 ω 的性质以简化计算.如2004 2 2 1 3 ω= 年全国卷：设复数ω =- + i，则1+ .利用 2 2
几乎一样大，并且都是方方正正的样子。一个呈“十”字形，足足有两步宽的青石堤把它们分割开来。在这些青石堤的大约中间位置，各有一
个半步宽的洞口使四个水塘相互连通。在西南方向的那个水塘的外侧有一个宽大的开口；泉水从开口处溢出后，就毫无阻挡地流到小河里去了。 由于泉水冬暖夏凉，所以，这条混合了大量泉水的小河，即使在严寒的冬季里，流经小镇的河段上也绝对不会结冰。不过，在天儿冷了的时候， 尽管小河仍然流淌得很欢畅，但河水还是有些冰手的。所以，每年的这个时候，就很少有人再在小河边上洗衣服了，她们宁愿多走几百步，也 要到水塘边上来洗衣裳。这里的四个水塘都没有多深，最深的地方也没不过成年人的脖子。水塘的底子都是些青石板，站在水塘边向水里望去， 连石头缝儿也看得清清楚楚。在每一个水塘里面，都有成群结队的青虾和小鱼游来游去。偶尔地，会有人来这里捕捞鱼虾。在小镇周围村子里 人们的眼里，小镇是一
=i+i998=i+i4×249+2=i+i2
=-1+i.
第89讲 复数的代数形式及运算
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2．运算法则的综合应用
例3 C) A．bc+ad≠0 B．bc-ad≠0 C．bc-ad=0 D．bc+ad=0 1 （2）z= 的共轭复数是(B) 1 1 1 1 i 1 A． + i B． - i 2 2 2 2 C．1-i D．1+i ☆（3）求(1- i)10 3的展开式中所有奇数项的和.
c2 d 2
1 2
1 2
10， C103 ( 3 i)3+…+C1010 ( i) 3 10的实 ∴(1-i)10 的展开式中奇数项之和为复数 (1 i) 3 3 部. 10=［-2· 3 10ω 10=210ω = 又(1-i)3 (- + i)10=2
210(-
1 + 2
9+29 i. 3 i)=-2 3
a bi （1）设a、b、c、d∈R，若 为实数，则( c di
z 2 az b （4）已知z=1+i，如果 2 =1-i，求实数a、b的值. z z 1
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
【解析】 （1）∵ a bi (a bi)(c di )
第89讲 复数的代数形式及运算
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2 ．常见的运算性质
⑤设ω是1的立方虚根，则ω3=1，有 1 2 1+ω+ω =0， = ω2 =
w
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
双基固化
1．复数代数形式的运算 1 i 例1 （1）( )2005等于() 1 i A．i B．-1 C．1 D. 2 1 i 1 i 等于(2) （2） (1 i) (1 i) A．i B．-i C．1 D. -1
1+ω +ω 2=0及ω 2= w 不难得到1+ω =-ω 2=- w 可迅速获解.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
例2
( 2 2i)3 (1 3i) （1）计算 4 3 4i
（2）计算 【解析】（1）原式
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
（2）原式=
第89讲 复数的代数形式及运算
复习目标及教学建议 基 础 知 双 能 规 训 识 基 力 律 练 要 固 提 总 点 化 升 结
复习目标及教学建议
复习目标
掌握复数代数形式的加、减、乘、除四则运算及较简 单的乘方运算.能熟记一些常用结论.
教学建议
重点是灵活运用i的周期性及代数运算法则，提高学 生的观察能力及运算能力.
第89讲 复数的代数形式及运算
2008高考复习方案
知 识 要点 1．复数的运算法则 ①(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； (a、b、c、d∈R，以下同) ②(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i； ③(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i； ⑤求a+bi的平方根， 设(x+yi)2=a+bi，由 x2-y2=a2， 2xy=b 求出x、y.