函数模型的应用实例知识点

函数模型的应用实例1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c （a≠0），指数函数y=a x（a＞0且a≠1），对数函数y=log a x（a＞0且a≠1），幂函数y=x a（a为常数）2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量；第二步，根据所给模型，列出函数关系式；第三步，利用函数关系求解；第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：（1）能够根据原始数据、表格、绘出散点图；（2）通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;（3）根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;（4）利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑（1）怎样理解“数学建模”和实际问题的关系？一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”.（2）怎样才能搞好“数学建模”？在“数学建模”中要把握好下列几个问题：○1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.○2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.○3求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.○5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.（3）“数学建模”中要注意什么问题？○1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.○2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.5.规律总结（1）如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.（2）分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.（3）建立“数学模型”常用的分析方法：（1）关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.（4）求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．(5)数学建模即是求得函数模型，而确定函数模型有三种情况：(1)题目中已给出了函数模型，这样利用它解决有关问题即可；(2)题目中的量量间的关系可以用式子表达出来，即可以由题意求出函数模型；(3)拟合函数模型，这需要选择恰当的数学模型去描述该问题，往往拟合函数不唯一，还有一个拟合效果的问题，即哪个更精确．函数图象的应用例：向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）分析：由函数图象可知函数的性质，如单调性等.考查图象常用特殊点验证.解法一：由图知注水量V 随着高度的增加，增加的越来越慢，∴瓶子应越来越细.故应选B.解法二：（中点判断法）取h=H ／2，如图所示三点A ，B ，C ，显VB>VC=V A ／2，即水高度达到瓶子一半时，水的体积超过瓶子的一半，显然应下粗上细.故应选B.已知函数模型解实际问题例：某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与服药后的时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线，其中OA 是线段，曲线ABC 是函数y=k·a t(t ≥1,a>0，且k,a 是常数)的图象.（1）写出服药后y 关于t 的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.假若某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应该在当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间第二次服药，则服药后再过3小时，该病人每毫升血液中含药量为多少微克？（精确到0.1微克）分析：待定系数法求函数解析式是一种求函数解析式的基本题型.解：（1）当0≤t<1时，y=8t,当t ≥1时，把A ，B 的坐标分别代入y=k·at,得 ka=8，a=22 ；ka7=1，k=82.因此，y 与t 的函数关系式为y=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤)1(,)22(28)10(,8t t t t （2）设第一次服药后最迟过t 小时服第二次药，依题意得t ≥1, t )22(28=2,解得t=5,因此，第二次服药最迟应在第一次服药5小时后，即上午11时服药. （3）第二次服药后3小时，每毫升血液中含第一次所服的药的药量为y 1=8)22(28=22微克，含第二次所 服的药的药量为y 2=82=4微克，y 1+y 2=22+4=4.7微克.答：该病人每毫升血液中含药约为4.7微克.拟合函数例：某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a ·b x +c(其中a,b,c 为常数),已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.分析：此题想判断哪个函数最好，可以先通过前三个月给出的条件，确定两种模拟函数中参数的值，再由4月份的产量，比较哪个函数值更接近1.37万.解：设y 1=f(x)=px 2+qx+r(p ≠0)，则f(1)=p+q+r=1，f(2)=4p+2q+r=1.2，f(3)=9p+3q+r=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3,再设y 2=g(x)=ab x +c(a ≠0,b>0,b ≠1)，则g(1)=ab+c=1，g(2)=ab 2+c=1.2，g(3)=ab 3+c=1.3.解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35,经比较可知用y=-0.8×(0.5)x+1.4作为模拟函数较好.例：18世纪70年代,德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均（天文单位）如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？由数值对应表作散点图如图.由图采用指数型函数作模型,设f(x)=a·b x +c.代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得 ab+c=0.7①；ab 2+c=1.0 ②；ab 3+c=1.6 ③,(③-②)÷(②-①)得b=2,代入①②,2a+c=0.7 a= 3／20，4a+c=1.0, c=2／5∴f(x)= 3／20·2x+ 2／5 .∵f(5)= 26／5=5.2,f(6)=10,∴符合对应表值,∴f(4)=2.8,f(7)=19.6,所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星,它与太阳的距离大约是19.6天文单位.例：某桶装水经营部每天的房租，人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表格所示：请根据以上数据做出分析，经营部怎样定价才能获得最大利润？分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好解：设在进价基础上增加x 元后，日均经营利润为y 元，则有日均销售量为 y=480-40（x-1）=520-40x ，x ＞0，且520-40x ＞0，即0＜x ＜13，y=（520-40x ）x-200=-40x 2+520x-200=-40（x-6.5）2+1490，∴x=6.5时，Y 有最大值，∴只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例： 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数y=ax+b ，y=a ·ln x+b ，y=a ·b x中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性体重y 关于身高x 的函数关系，试写出这个函数的解析式,并求a,b 的值． ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg ，他的体重是否正常？用拟合函数解决应用性问题的基本过程：例：通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －0.1x 2＋2.6x ＋43，0＜x≤10，59， 10＜x≤16，－3x ＋107， 16＜x≤30.(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5 min 与开讲后20 min 比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min 时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解：(1)当0＜x≤10时，f(x)＝－0.1x 2＋2.6x ＋43＝－0.1(x －13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16＜x≤30时，f(x)单调递减，f(x)＜－3×16＋107＝59.因此，开讲后10 min ，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．因此，开讲后5 min 学生的接受能力比开讲后20 min 强一些．(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x －13)2＝49.所以x ＝20或x ＝6.但0＜x≤10，故x ＝6.当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x ＋107＝55.所以x ＝1713.因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1713－6＝1113＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．例：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨为3.00元，某月甲、乙两用户共交水费y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x 吨．(1)求y 关于x的函数；(2)若甲、乙两用户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费．解：(1)当甲用户的用水量不超过4吨，即5x≤4时，乙用户的用水量也不超过4吨，即：y＝(5x＋3x)×1.8＝14.4x；同理可得当45＜x≤43时，y＝20.4x－4.8；当x＞43时，y＝24x－9.6.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x 0≤x≤4520.4x－4.845＜x≤4324x－9.6 x＞43例：为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年序最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷)1 15.2 28.62 10.4 21.13 21.2 40.54 18.6 36.65 26.4 49.86 23.4 45.07 13.5 29.28 16.7 34.19 24.0 45.810 19.1 36.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点、作图如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a、b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1=a+10.4b，45.8=a+24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x.作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷．例：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。