二维相位和差测角详细推导

(
)
(6)
2π D = 4 cos ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D × cos ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) F (θ , ϕ ) s ( t ) λ 方位通道回波
F∆A ( t ) = FA ( t ) + FB ( t ) − FC ( t ) − FD ( t )
(
)
(8)
2π D = 4 j sin ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D × cos ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) F (θ , ϕ ) s ( t ) λ 可以看出和差波束分别为
2π D 2π D FΣ = 4 cos ( sin θ − sin θ 0 ) ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) cos F (θ , ϕ ) λ λ 2π D 2π D F∆A = 4 j cos ( sin θ − sin θ 0 ) ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) sin F (θ , ϕ ) λ λ 2π D 2π D F∆E = 4 j sin ( sin θ − sin θ0 ) ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ0 ) cos F (θ , ϕ ) λ λ (9) 和差波束比为
(1)
(2)
Dx = Dy = D ，子阵 A、B、C、D 相对于中心原点 O 的空间相位差为
φA =
( sin ϕ cosθ + sin θ ) λ λ λ λ 2π Dy 2π Dx 2π 2π D pB , r = sin ϕ cos θ − sin θ = φB = ( sin ϕ cosθ − sin θ ) λ λ λ λ (3) 2π Dy 2π Dx 2π 2π D p ,r = − φC = sin ϕ cos θ − sin θ = ( − sin ϕ cosθ − sin θ ) λ B λ λ λ 2π Dy 2π Dx 2π 2π D sin ϕ cos θ + sin θ = φD = pC , r = − ( − sin ϕ cosθ + sin θ ) λ λ λ λ
imag ( F∆A ) 2π D = tan ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) FΣ λ imag ( F∆E ) FΣ 2π D = tan ( sin θ − sin θ0 ) λ
(10)
因为
θ = θ 0 + ∆θ ϕ = ϕ0 + ∆ϕ
∑ ∑
Nx
Ny
I mn exp jk md x ( Tx − Tx 0 ) + nd y (Ty − Ty 0 )
(
)
(19)
很显然在正弦空间坐标系下波束的不同指向只是让波束进行平移， 具有波束形状 不变的特性。所以通常来说波位编排都在正弦空间坐标系下进行。 于是结合式(9)可以得出
( = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e jφA + e jφB − e jφC − e jφD
ja
)
e jb + e ja e − jb − e− ja e − jb − e − ja e jb )
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e ja ( e jb + e − jb ) − e− ja ( e− jb + e jb ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e ja 2 cos b − e − ja 2 cos b ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) 2 cos b ( e ja − e− ja ) = 4 j cos b sin aF (θ , ϕ ) s ( t )
方位角 ϕ ： − 90 o ~ 90 o ； 俯仰角 θ ： 0 o ~ 9 0 o ；
射线在 xOy 面投影与 z 轴（法线）的夹角； 射线与 xOz 面投影的夹角；
θ
ϕ
信号的方向矢量为
r = ( sin ϕ cos θ ,sin θ , cos ϕ cos θ )
四个象限的位置坐标向量为
pA = Dx , Dy , 0 , pB = Dx , − Dy , 0 , pC = − Dx , Dy , 0 , pD = − Dx , − Dy , 0
这里舍去了 cos ϕ 0 sin θ 0 ∆ϕ∆θ 并且有 sin ∆θ ≈ ∆θ , cos ∆θ ≈ 1 所以
imag ( F∆A ) 2π D = tan ( cos ϕ0 cos θ 0 ∆ϕ − sin ϕ0 sin θ 0 ∆θ ) FΣ λ imag ( F∆E ) FΣ
(
)
(7)
2π D = 4 j cos ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D × sin ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) F (θ , ϕ ) s ( t ) λ 俯仰差通道回波
F∆E ( t ) = FA ( t ) − FB ( t ) − FC ( t ) + FD ( t )
通常来说 ∆θ , ∆ϕ 都是微小值（波束指向附近） ，于是
(11)
sin θ = sin (θ + ∆θ ) = ( sin θ 0 cos ∆θ + cos θ 0 sin ∆θ ) ≈ ( sin θ 0 + cos θ0 ∆θ ) ⇒ sin θ − sin θ 0 = cos θ 0 ∆θ
(4)
那么四个象限子阵接收到的回波为
FA ( t ) = F (θ , ϕ ) e j∆φA s ( t ) FB ( t ) = F (θ , ϕ ) e j∆φB s ( t ) FC ( t ) = F (θ , ϕ ) e j∆φC s ( t ) FD ( t ) = F (θ , ϕ ) e j∆φD s ( t ) (5)
(17) 式中： d x , d y 为 x,y 方向上相邻阵元的间隔；k 为波位数； I mn 为加权系数如果令
Tx = sin ϕ cos θ Ty = sin θ Tx 0 = sin ϕ0 cos θ0 Ty 0 = sin θ0
可以得出
(18)
E (θ , ϕ ) =
m =− N x n =− N y
考虑到电压方向图，方向性因子 G (θ , ϕ ) 只影响不同扫描角度下的增益值。 阵因子可以描述为
Ny
E (θ , ϕ ) =
m =− N x n =− N y
∑ ∑
Nx
I mn exp jk ( md x ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) + nd y ( sin θ − sin θ 0 ) )
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e jφA + e jφB + e jφC + e jφD
ja
)
e jb + e ja e − jb + e − ja e − jb + e− ja e jb )
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e ja ( e jb + e− jb ) + e − ja ( e − jb + e jb ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e ja 2 cos b + e− ja 2 cos b ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) 2 cos b ( e ja + e − ja ) = 4 cos b cos aF (θ , ϕ ) s ( t )
D 2π D 令 a = 2π ( sin ϕ cos θ − sin ϕ cos θ ) , b = ( sin θ − sin θ ) λ λ
0 0 0
可以得到和通道回波
FΣ ( t ) = FA ( t ) + FB ( t ) + FC ( t ) + FD ( t )
( = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e
(15)
正弦空间坐标系下的测角 由天线方向图的乘积原理可知，相控阵天线的电压方向图可描述为
F (θ , ϕ ) = G (θ , ϕ ) E (θ , ϕ ) e (θ , ϕ ) (16)
式中：F (θ , ϕ ) 为天线方向图；G (θ , ϕ ) 为方向性因子；E (θ , ϕ ) 为阵因子；e (θ , ϕ ) 为阵元因子。 e (θ , ϕ ) 可以看做一个近似全向阵元的辐射图，故可以取 e (θ , ϕ ) ≈ 1
sin ϕ cos θ = sin (ϕ + ∆ϕ ) cos (θ + ∆θ ) = ( sin ϕ0 cos ∆ϕ + cos ϕ0 sin ∆ϕ )( cos θ 0 cos ∆θ − sin θ 0 sin ∆θ ) ≈ ( sin ϕ0 + cos ϕ0 ∆ϕ )( cos θ 0 − sin θ 0 ∆θ ) ≈ sin ϕ0 cos θ0 − sin ϕ0 sin θ0 ∆θ + cos ϕ0 cos θ 0 ∆ϕ ⇒ sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 = cos ϕ0 cos θ0 ∆ϕ − sin ϕ0 sin θ0 ∆θ
pA , r = sin ϕ cos θ + sin θ =
2π
2π Dx
2π Dy
2π D
假设波束指向为 (θ 0 , ϕ0 ) ，那么实际上送入接收通道的相位值应该是由目标的空 间相位差和移相器补偿值的和
( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) + ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D ∆φB = φB − φB 0 = ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) + ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D ∆φC = φC − φC 0 = ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ0 ) + ( sin θ − sin θ 0 ) λ 2π D ∆φD = φD − φD 0 = ( sin ϕ cos θ − sin ϕ0 cos θ 0 ) + ( sin θ − sin θ0 ) λ ∆φ A = φ A − φ A0 = 2π D
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e jφA − e jφB − e jφC + e jφD
ja
来自百度文库
( = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e
)
e jb − e ja e − jb − e− ja e − jb + e − ja e jb )
= F (θ , ϕ ) s ( t ) e ja ( e jb − e − jb ) + e − ja ( e jb − e − jb ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) ( e ja 2 j sin b + e − ja 2 j sin b ) = F (θ , ϕ ) s ( t ) 2 j sin b ( e ja + e − ja ) = 4 j sin b cos aF (θ , ϕ ) s ( t )
2π D 2π D FΣ = 4 cos Ty − Ty 0 ) cos (Tx − Tx 0 ) ( F (Tx − Tx 0 ) , (Ty − Ty 0 ) λ λ 2π D 2π D F∆A = 4 j cos Ty − Ty 0 ) sin (Tx − Tx 0 ) ( F ( Tx − Tx 0 ) , (Ty − Ty 0 ) λ λ 2π D 2π D F∆E = 4 j sin Ty − Ty 0 ) cos (Tx − Tx 0 ) ( F (Tx − Tx 0 ) , (Ty − Ty 0 ) λ λ
2π D = tan ( cos θ 0 ∆θ ) λ
(12)
(13)
(14)
容易解出
∆θ = imag ( F∆A ) tan −1 2π D cos θ 0 FΣ
λ
imag ( F∆E ) λ ∆ϕ = tan −1 + tan θ 0 tan ϕ0 ∆θ 2π D cos θ 0 cos ϕ0 FΣ