第二讲风险效用理论及保险定价理论的发展

上世纪七十年代以后，国际保险经营的一个显著 特点是保险企业为了减少经营风险，增加效益， 日益注重投资职能的发挥，期货、期权等金融衍 生工具交易成为保险投资的一项重要内容。
承保利润与投资理论的权重变化。
风险效用概念大约在220年以前由数学家丹尼尔 贝努利提出的，成为20世纪后期发展起来的保险 经济理论的基石。
我们称对于消费者“ x1 与 x2 只是一样地好”。若该二元
关系满足如下公理：
完备性：对于任意属于X集的两个选择 x1 与 x2 ，要么
x1 x2 ，要么 x2 x1
传递性：对于任意属于X集的任何三元素 x1 、x2 与 x3 ，
如果 x1 x2且 x2 x3，则 x1 x3 。那么它被称为一种偏 好关系。
在同一平面图上有无数条无差异曲线，同一条无差
异曲线代表同样的满足程度，不同的无差异曲线代表不
同的满足程度，离原点越远，满足程度越大，反之则越
小。
偏好关系
关于消费者偏好的基本假定 偏好的完全性；偏好的可传递性；偏好的非饱和
性
偏好关系
定义：消费集X上的二元关系，用“ ”表示，若 x1 x2 ，
数据类型一般为分组频数数据，即只知道区间内 的数据个数而没有具体值的记录；另外，由于免 赔额和超额损失的存在，使得数据具有左截断和 右删失的特征。
常用的统计方法有：非参数的最优拟合方法，估 计拟合精度，比较拟合效果；
已知分布的参数估计方法，常见的分布有：威布 尔(Weibull)分布、伽玛(Gamma)分布、布尔(Burr) 分布、对数正态(lognormal)分布、帕累托 (Pareto)分布和Beta分布等。
三个方案的期望值分别为：
EX1 200 0.999 0 0.001 199.8 EX 2 199.75 0.999 199.75 0.001 199.75 EX 3 199.78 0.999 189.78 0.001 199.77
按照数学期望值决策，投保人不会采取保险公司提供的 所有契约，然而在现实中，投保人往往愿意支付比损失 风险数学期望值（其绝对值为0.2万元）大的保险费(比 如0.25万元) 在保险公司投保.
但非寿险精算作为一个独立的研究领域也有一些 较为成熟的问题和方法。
非寿险精算定价过程
风险分级和风险评估 保险金额和免赔额确定 损失分布估计 保额损失率确定 风险附加和费用附加 后验费率
风险分级和风险评估
风险分级——风险同质性强 经验 相关性分析
风险评估——风险异质性突出
保险金额和免赔额确定
保险精算学起源于人寿保险中的保费计算，其发 展与寿险有着深厚的渊源关系。
英国著名天文学家爱德华·哈雷根据德国布勒斯 市居民的死亡资料，编制了世界上第一张完整的 生命表。
20世纪以来，尤其是二次大战后，数理统计在理 论上不断完善、在应用中逐渐成熟，而保险业自 身也面临竞争日益激烈、新险种不断涌现和费率 计算渐渐合理的挑战。进而出现了一个结合数学、 统计学、保险学和金融学等多种学科的崭新交叉 学科——精算学(Actuarial Science)。
抽象地说，精算学是定量地研究未来的随机事件 对目前财政状况的影响，进而制定科学合理的经 营策略，以减少不良的影响。
非寿险精算定价过程
非寿险的内涵 寿险与非寿险 人身保险与财产保险
非寿险的特点是： 风险种类繁多、影响风险发生的因素多和索
赔方式复杂。
正是由于以上原因，非寿险精算就没有寿险那样 系统和标准，往往是一类问题对应一类方法，有 时甚至在同一类问题中也要随时间和环境的变化 而修正计算方法，这时保险业务知识和统计分析 是融合在一起的，必须以实际效果来衡量方法的 优良。
Eu( X ) pi u(xi )
i
然而，贝努利的建议有何根据？它和行为主体 （如投保人）对于随机变量之间的偏好有什么关 系？如何建立行为主体（如投保人）的效用函数？
参加者可能赢钱的数学期望：
2
1 2
22
1 22
23
1 23
圣彼得堡悖论说明，在人们心目中， 不是用数学期望值来度量一个随机变 量的。
西方经济学效用理论
效用：商品满足人的欲望的能力和消费者在消费商品时 所感受到的满足程度。
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法 总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内从 一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和。 边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定时间 内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量
风险效用理论
2020/4/22
风险（期望）效用理论
圣彼得堡悖论 Von Neumann-Morgenstern期望效用理论 行为主体的风险偏好 风险效用理论的质疑与发展 基于风险效用理论的保险定价思想
圣彼得堡悖论
对风险按照数学期望值的方法度量，这种方法客 观、直观和简便，然而在保险经济中却不适用。
保险精算最基本的原理可简单归纳为收支相等原 则和大数法则。
收支相等原则也叫做均衡原理。
所谓大数法则，是用来说明大量的随机现象由于 偶然性相互抵消所呈现的必然数量规律的一系列 定理的统称。它主要包括切比雪夫大数法则、贝 努力大数法则、普阿松大数法则。
精算学最早源于人寿保险中的费率计算，而目前 国际上普遍认为，精算学已不仅限于寿险。
1
2
(k2
k1 1
x2 k x)(k1k2 ) / 2
1
源自文库
,
x
0
0, x 0
参数估计和拟合优度检验
参数估计 矩估计法 极大似然估计 最小法
拟合优度检验
确定保额损失率
建立损失分布就可估计出未来的损失，确定保额 损失率。
根据保险精算原理，保额损失率通过不同风险个 体和不同风险集合的损失分布求期望值而获得， 计算公式如下：
后验费率
称为无赔款折扣系统(NCD： no-claims discount)，
又称为奖惩系统(BMS：bonus-malus system)
BMS最早产生于20世纪50年代中期的欧洲，后来 逐渐为各国接受，并在各国形成了符合自身国情 的奖惩系统。BMS被广泛应用于各种险种，在我 国对于BMS的研究也大多集中在汽车保险的领域。
冯.诺伊曼和摩根斯坦
卡尔.博尔奇将效用理论用于再保险最优化研究， 从而使其迅速发展起来。
非寿险定价理论
精算定价 风险效用定价 金融工程定价
精算定价—精算发展与基本原理
保险精算是以数学、统计学、金融学、保险学及 人口学等学科的知识和原理，去解决商业保险和 社会保障业务中需要精确计算的项目，如研究保 险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、 保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险 费和责任准备金等保险具体问题的计算。
估计方法有：最大似然法、最小距离方法、估计 方法和Bayes估计方法等。
估计过程
根据样本数据作图 观察图形，找出可能符合的分布
常用的分布类型有
（0-1）两点分布
二项分布
n
P{x=k}=
k 0
n k
p
k
(1
p)nk
泊松分布
P{x k} ke , k 0,1, 2,3L 其中 0且为常数
关系到保险公司责任的承担 保险金额和免赔额确定
经验方法 最优保险水平（效用理论）
损失分布估计
非寿险的损失分布估计问题与一般的统计估计问 题有类似之处，即包括分布拟合与参数估计两大 类问题
但这里的估计问题也有自身的一些特点。对于非 寿险，包括索赔频数的分布和损失程度的估计
要首先明确风险单位(例如：汽车险中的“年 车”、医疗险中的“人次”)，然后通过对现有 索赔记录的分析处理，估计频数分布，目前常常 采用Possion分布和负二项分布等。
在实际定价中，费用附加常以风险保费的一定比 例计算。
对附加费率的监管是保险监管的重要内容。
后验费率的确定
根据保险精算定价理论，保险定价过程可分为两 个方面——建立充分费率和设定实际价格。
保险产品价格是建立在充分费率基础上，却不一 定等于充分费率，保险公司可根据其自身的营销 目标设定出比充分费率更低或更高或与充分费率 相等的价格。
k!
几何分布
0.8 0.6 0.4 0.2
0 123 456
均匀分布
1
f
(
x)
b
a
,a x b
0, 其他
则x在区间[a，b]上服从 均匀分布
正态分布
e p(x) 1
( xa )2 / 2 2
2
指数分布
f
(x)
ex , x
0,
其他
0,
0且为常数
期望值E(x)= 1
方差Var( x) 1
在早期的保险经营中，国外保险企业根据银行利 率水平来规定预定的利率，以银行存款作为保险 资金的主要运用途径
保险标的的承保风险是保险企业面临的主要风险。 精算定价理论
20世纪60年代后，西方资本市场日渐发达，为保 险资金的运用开辟了广阔的空间，保险企业为了 提升自身的竞争能力，纷纷寻求更好的资金价值 增值的途径。
序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法
无差异曲线（Indifference curve）
含义：无差异曲线表示对消费者没有区别的商品 组合的点的轨迹。即无差异曲线是用来表示两种 商品或两组商品的不同数量的组合对消费者所提 供的效用是相同的。
无差异曲线的特征
无差异曲线是是一条凸向原点，并向右下方倾斜的曲线， 其斜率为负值，它表明在收入与价格既定的条件下，为 了获得同样的满足程度，增加一种商品消费时就必须放 弃或减少另一种商品的消费。两种商品在消费者偏好不 变的条件下，不能同时减少或增多。
这说明，按照数学期望值的大小进行比较，并没反应投 保人心目中对随机变量的偏好。
1728年，贝努里提出著名的“圣彼得堡赌博悖论”
“彼得堡悖论”（或“圣彼得堡悖论”）
1728年，Necholas Bemoulli 设计了如下实验：
假设一人重复向上抛一枚质地均匀的硬币知道它正面朝 上，加入扔一次就正面朝上获得2美元报酬，如果扔第 二次时正面朝上就获得 22 4 美元，扔第三次时就获 得 23 8 美元，依此类推。问：人们愿意出多少钱去 玩这个游戏？答案：2~3美元。
保额损失率
N E(S) / A
其中N表示保险金额损失率，E（S）表示期望损 失，A表示保险金额总额。
附加费率
包括风险附加和费用附加
风险附加
风险附加费率又称第一附加费率，它是为防止各 年度实际保险金额损失率偏离保险金额损失率期 望值，在净费率基础上附加的费率。
费用附加
费用附加是指保险公司为了进行正常的经营活动， 还必须向投保人收取一定的经营管理费用、中介 人佣金和税金等，它属于成本核算问题。
卡方分布
0, x 0
p(
x)
1
n
x2ex/2, x 0
2n /2 (n / 2)
t分布
p(x)
(n 1) 2
n ( n )
(1
2
x )( x1)/2 n
2
则x服从自由度为n的t分布
F分布
p(x)
( k1k2 ) 2 ( k1 )( k2 ) 2 2
k k k1 / 2 k2 / 2
由纯保费与费用附加得到先验费率既充分费率， 但是由于所保风险具有一定的异质性，为了体现 公平性，让不同风险的缴纳不同的保费，我们需 要在实际的定价中对先验费率进行调整，这就是 奖惩系统的设计。
基于已经发生的损失金额和损失次数，将被保险 人分成不同的等级，对不同等级的被保险人收取 不同的保费，对未发生损失的被保险人收取较低 的保费，对与发生损失的被保险人收取惩罚性的 保费。后验费率的确定，即BMS的设计。
第二讲 风险效用理论及保险定价 理论的发展
对外经济贸易大学 游桂云教授
寿险定价特点
寿险定价特点——长期性、储蓄性 死亡率 收益率 费用率
寿险业务利润（亏损）来源 死差益（损） 利差益（损） 费差益（损）
分红保单&不分红保单
非寿险定价特点-传统印象
中短期业务 资金时间价值不被强调
国外非寿险定价理论发展
贝努利的建议：
贝努利建议，可以对原有的期望值“度量” 进行修正，其方法是对结果值进行变换，即 构造定义在实数集合上的函数u(x)，满足
u ' x 0, x R
对于连续性随机变量X,可以用其对应的概率密度函 数f(x)计算效用期望值
Eu(
X
)
b
a
u(
x)
f
(
x)dx,
x
a,
b
对于离散型随机变量X，可以用其对应的概率分 布列计算效用期望值