《误差理论与测量平差基础教学课件》第十八讲PPT资料43页
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三角网中的坐标。 ▪ 其它方法也各有特点，如附有参数的条件平差可求得非
观测量平差值
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
函数模型：在测量平差中，描述观测值之 间、观测值与参数之间、以及 参数之间数学期望关系的模型 称为函数模型；例如，参数平差
E(L)AX n1 nt t1
C
st
tXˆ1W sX 1
0
C A 1 C T K N s C A 1 A T N N B 1 W W X 0 ,N C C A 1 C T N
K s N C 1 (CA 1 A N T N B 1 W W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
转置得到法方程
PVBTK 0 ATKCTKs 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第三步：联立第一个条件方程，求解联系数K
B 1 B T P K A X ˆ W 0, N B B 1 B T P
解得
KN B 1(A X ˆW )
第四步：将K带入第二个法方程，求未知参数X
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
1.平差模型
函
BVAX ˆW0
数
rnn1 rt t1 r1
模
型
Cst tXˆ1WsX1 0
随
机
模 型
L 02P1
WF(L,X0)
WX (X0)
一、概括平差模型
1.平差模型 BVAX ˆW0
rnn1 rt t1
r1
C
st
tXˆ1W sX 1
0
A.当A＝0，C＝0时，为条件平差 BV W 0
互
著性检验，以选择合适的函数模型。
影
响
、 相
随机模型误差主要来自于观测量先验权矩阵确定
互
的不正确。可以用方差－协方差分量估计方法来
吸 收
改善随机模型。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
1.估计量的无偏性
E(Xˆ ) X
E(Lˆ) L真
E(V)0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
ATKCTKs 0
A T N B 1 A X ˆ A T N B 1 W C T K s 0 , N A A T N B 1 A
X ˆN A 1(C TK sA TN B 1 W )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第五步：将X带入第二个条件方程，求联系数Ks
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
所建立的数学模型与客观现实所存在的差异。包 括函数模型误差和随机模型误差。
MM0W
△M——模型误差 M0——建立的数学模型 W——未知的客观事实
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
二 者 相
函数模型误差产生于我们把握客观现实的局限性。 可以采用假设检验方法对未知参数的作用进行显
X1 H1L
E (X 1)H 1E (L )X
又因为
E(L)AX n1 nt t1
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
故
H1AXX
H1AI
应用方差传播公式
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
最Leabharlann Baidu得
X 1 X ˆ ( H 1 H ) ( H 1 H ) T 0 估计量 Xˆ 为最优线性无偏估计量
B.当C＝0时，为具有参数的条件平差 BVAX ˆW0 rnn1 rt t1 r1
C.当B＝－I，C＝0时，为参数平差 VAX ˆW
D.当B＝－I时，为具有条件的参数平差
VAX ˆW
C
st
tX ˆ1W sX 1
0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
BVAX ˆW0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
将 02P1 代入后两项
H (H 1H )T0 2N 1A T P 1 P (H 1N 1A T P )T 0 2N 1(A T H 1 TA T PA 1) N 0
2.估计量 Xˆ 是VTPV唯一的极小值点
V 1TP1V VTPV 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
现证明 Xˆ 的方差最小
Xˆ HL
HN1ATP
Xˆ 协方差阵
Xˆ HHT
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性 设X1为X的任一线性无偏估计
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
随机模型：描述观测值精度特性的模型 称为随机模型
D (L ) 0 2Q 0 2P 1
我们把上两种模型合称满秩的高斯－马尔可夫线性模型； 随机模型由第一章方法确定，得到的协方差阵称为验前协 方差。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
rnn1 rt t1 r1
C
st
tXˆ1WsX1
0
第一步：构造极值函数
V T P 2 K V T ( B A X ˆ V W ) 2 K s T ( C X ˆ W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第二步：极值函数求导 XˆV22VKTTPA22KKTsTBC00
共性
▪ 所有模型中，未知参数个数多于方程个数； ▪ 采用最小二乘原理获得唯一解； ▪ 不同方法解的的结果一致； ▪ 解的统计性质相同。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
特性：没有一种方法一致优于其它方法！
例如参数平差中： ▪ 实际中最多采用； ▪ 误差方程式形式统一，规律性强，便于编程； ▪ 所选参数往往是平差后需要的结果，如水准网中的高程，
观测量平差值
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
函数模型：在测量平差中，描述观测值之 间、观测值与参数之间、以及 参数之间数学期望关系的模型 称为函数模型；例如，参数平差
E(L)AX n1 nt t1
C
st
tXˆ1W sX 1
0
C A 1 C T K N s C A 1 A T N N B 1 W W X 0 ,N C C A 1 C T N
K s N C 1 (CA 1 A N T N B 1 W W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
转置得到法方程
PVBTK 0 ATKCTKs 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第三步：联立第一个条件方程，求解联系数K
B 1 B T P K A X ˆ W 0, N B B 1 B T P
解得
KN B 1(A X ˆW )
第四步：将K带入第二个法方程，求未知参数X
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
1.平差模型
函
BVAX ˆW0
数
rnn1 rt t1 r1
模
型
Cst tXˆ1WsX1 0
随
机
模 型
L 02P1
WF(L,X0)
WX (X0)
一、概括平差模型
1.平差模型 BVAX ˆW0
rnn1 rt t1
r1
C
st
tXˆ1W sX 1
0
A.当A＝0，C＝0时，为条件平差 BV W 0
互
著性检验，以选择合适的函数模型。
影
响
、 相
随机模型误差主要来自于观测量先验权矩阵确定
互
的不正确。可以用方差－协方差分量估计方法来
吸 收
改善随机模型。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
1.估计量的无偏性
E(Xˆ ) X
E(Lˆ) L真
E(V)0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
ATKCTKs 0
A T N B 1 A X ˆ A T N B 1 W C T K s 0 , N A A T N B 1 A
X ˆN A 1(C TK sA TN B 1 W )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第五步：将X带入第二个条件方程，求联系数Ks
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
所建立的数学模型与客观现实所存在的差异。包 括函数模型误差和随机模型误差。
MM0W
△M——模型误差 M0——建立的数学模型 W——未知的客观事实
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
二 者 相
函数模型误差产生于我们把握客观现实的局限性。 可以采用假设检验方法对未知参数的作用进行显
X1 H1L
E (X 1)H 1E (L )X
又因为
E(L)AX n1 nt t1
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
故
H1AXX
H1AI
应用方差传播公式
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
最Leabharlann Baidu得
X 1 X ˆ ( H 1 H ) ( H 1 H ) T 0 估计量 Xˆ 为最优线性无偏估计量
B.当C＝0时，为具有参数的条件平差 BVAX ˆW0 rnn1 rt t1 r1
C.当B＝－I，C＝0时，为参数平差 VAX ˆW
D.当B＝－I时，为具有条件的参数平差
VAX ˆW
C
st
tX ˆ1W sX 1
0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
BVAX ˆW0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
将 02P1 代入后两项
H (H 1H )T0 2N 1A T P 1 P (H 1N 1A T P )T 0 2N 1(A T H 1 TA T PA 1) N 0
2.估计量 Xˆ 是VTPV唯一的极小值点
V 1TP1V VTPV 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
现证明 Xˆ 的方差最小
Xˆ HL
HN1ATP
Xˆ 协方差阵
Xˆ HHT
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性 设X1为X的任一线性无偏估计
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
随机模型：描述观测值精度特性的模型 称为随机模型
D (L ) 0 2Q 0 2P 1
我们把上两种模型合称满秩的高斯－马尔可夫线性模型； 随机模型由第一章方法确定，得到的协方差阵称为验前协 方差。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
rnn1 rt t1 r1
C
st
tXˆ1WsX1
0
第一步：构造极值函数
V T P 2 K V T ( B A X ˆ V W ) 2 K s T ( C X ˆ W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第二步：极值函数求导 XˆV22VKTTPA22KKTsTBC00
共性
▪ 所有模型中，未知参数个数多于方程个数； ▪ 采用最小二乘原理获得唯一解； ▪ 不同方法解的的结果一致； ▪ 解的统计性质相同。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
特性：没有一种方法一致优于其它方法！
例如参数平差中： ▪ 实际中最多采用； ▪ 误差方程式形式统一，规律性强，便于编程； ▪ 所选参数往往是平差后需要的结果，如水准网中的高程，