《误差理论与测量平差基础教学课件》第十八讲PPT资料43页
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误差理论与平差基础误差椭圆PPT课件
x
E
y O
F
（椭圆与曲线关系）
第25页/共38页
（任意方向位差）
1）误差椭圆作图的方法
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是第O2P6页方/共向3的8页位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
2）按误差椭圆来求任意方向的位差
Qxy
sin
2)
从上公式可看出：
➢任意方向位差的大小与方向φ有关。 ➢上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 ➢x、y方向分别是φ等于0度、90度等时的特殊形式。
第15页/共38页
➢若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
P
∆P
P2
A
∆u ∆S
P1 S
β ∆β
B
第8页/共38页
u
S
u
S
P
ΔP
P’’
ΔU
Δβ
ΔS P’
第9页/共38页
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
➢不难看出：
P2 (x)2 (y)2
➢由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
第10页/共38页
❖由上讨论可的如下结论
✓点位方差大小不受坐标系的影响；
说明：任意方向ψ指以E轴为起算的方向！（与φ不同。）
E
∆F
P’
ψ
∆E
∆P
E
y O
F
（椭圆与曲线关系）
第25页/共38页
（任意方向位差）
1）误差椭圆作图的方法
X
Y
E
F
cos sin
,
(为参数）
P
P’
P‘’
τ
O
F ❖可见，P点的轨迹就是误差椭圆！ ❖思考：向径OP是不是第O2P6页方/共向3的8页位差？
P（X’，Y’） X’=Ecosτ Y’=Fsinτ
2）按误差椭圆来求任意方向的位差
Qxy
sin
2)
从上公式可看出：
➢任意方向位差的大小与方向φ有关。 ➢上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 ➢x、y方向分别是φ等于0度、90度等时的特殊形式。
第15页/共38页
➢若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
P
∆P
P2
A
∆u ∆S
P1 S
β ∆β
B
第8页/共38页
u
S
u
S
P
ΔP
P’’
ΔU
Δβ
ΔS P’
第9页/共38页
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
➢不难看出：
P2 (x)2 (y)2
➢由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
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❖由上讨论可的如下结论
✓点位方差大小不受坐标系的影响；
说明：任意方向ψ指以E轴为起算的方向！（与φ不同。）
E
∆F
P’
ψ
∆E
∆P
误差理论与测量平差共206页
▪
误要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢！
206
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
《误差理论与测量平差》课件
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样 函数的估计。 1 x 子样均值 n x 是母体数学期望的最优无偏估计，它是子 样的一阶原点矩。 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
n i 1 i
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
参数估计的优劣进行评价是按以下三个方面来进行的 为 的无 (1)无偏性：设 为参数 的估计量，若 E ( ) ，则 偏估计。
1 E ( x ) E ( x1 ) E ( x2 ) ... E ( xn )} n x X ~ N ( , )
dV
ˆ
得极值点 V P 1 AT K
（利用 P P T）
第四讲 平差方法——条件平差
3、将V代入条件方程AV+W=0 得 AP1 AT K W 0
Na K W 0
K Na 1W
4、 5、
V P1 AT K QAT K
ˆ L V L
第四讲 平差方法——条件平差
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ 为未知参数， 对 χ 抽得到的子样为（ x1，x2，…xn），则 χ 落在 χi（1≤i≤n） 邻域 dx 上的概率为 f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
P f ( x1 ; ) f ( x2 ; )... f ( xn ; )(dx) f ( xi ; ) (dx) n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则： ①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则 —— 最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
《误差理论与测量平差基础》word资料40页
《误差理论与测量平差基础》授课教案2019～2019第一学期测绘工程系2019年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
《误差理论与测量平差基础教学课件》第十八讲
1 (Q x ˆ Qy ˆ K) 2 1 2 Q F (Q x ˆ Qy ˆ K) 2
1 Q E
2 2 K (Q x ˆ Qy ˆ ) 4Q x ˆy ˆ
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
四、误差椭圆
2.点位误差的最大最小值及其方向
由此可得P点点位误差的最大值和最小值为
H1 A I
应用方差传播公式
X1 H1H1T ( H 1 H H )( H 1 H H ) T ( H1 H )( H1 H )T HH T H( H1 H )T ( H1 H )H T
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
四、误差椭圆
1.点位误差
由无偏性
ˆ) x E( x
ˆ) y E( y
x
x
y
Pˊ u
P s y
A O
根据方差定义
2 ˆ E( x ˆ ))2 } E(x 2 ) x ˆ E{( x
2 2 2 ˆ ˆ y E {( y E ( y )) } E ( y ) ˆ
1 1 T 1 Ks NC (CN A A NB W WX )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
共性
所有模型中，未知参数个数多于方程个数； 采用最小二乘原理获得唯一解； 不同方法解的的结果一致； 解的统计性质相同。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
ˆ W 0 CX X
st t 1 s1
2 1 L 0 P
WX ( X 0 )
一、概括平差模型
1.平差模型
BV
1 Q E
2 2 K (Q x ˆ Qy ˆ ) 4Q x ˆy ˆ
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
四、误差椭圆
2.点位误差的最大最小值及其方向
由此可得P点点位误差的最大值和最小值为
H1 A I
应用方差传播公式
X1 H1H1T ( H 1 H H )( H 1 H H ) T ( H1 H )( H1 H )T HH T H( H1 H )T ( H1 H )H T
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
四、误差椭圆
1.点位误差
由无偏性
ˆ) x E( x
ˆ) y E( y
x
x
y
Pˊ u
P s y
A O
根据方差定义
2 ˆ E( x ˆ ))2 } E(x 2 ) x ˆ E{( x
2 2 2 ˆ ˆ y E {( y E ( y )) } E ( y ) ˆ
1 1 T 1 Ks NC (CN A A NB W WX )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
共性
所有模型中，未知参数个数多于方程个数； 采用最小二乘原理获得唯一解； 不同方法解的的结果一致； 解的统计性质相同。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
ˆ W 0 CX X
st t 1 s1
2 1 L 0 P
WX ( X 0 )
一、概括平差模型
1.平差模型
BV
测量平差测量误差及其传播定律PPT学习教案
§1.3 精度及其衡量指标
二、方差和中误差
1、 方差/ 标准差
真误差的方差：
随机变量与其数学期望之差的平 方的数学期望。观测值的方差：
2
E{(
E ()) 2 }
E(2 )
2 L
E{( L
E(L))2}
E(2 ) 2 f ()d
（1）
2 L
2
观测值与其对应
的真误差具有相同的方差。
L E(2 )
表征偶然误差
准 确 度 （ Accuracy） ——准 确 度 又称偏 差，是 指观测 值数学 期望与 其真值 之差。
表 征 系统 误差
精 确 度 ——观 测 值 与其真 值的接 近程度 。表征 总误差
测 量 中 的 精 度严格 意义讲 是指精 密度。 精 密 度 等 价 于精确 度？
第14页/共97页
0.5，0.9, 1.1，1.3, 1.4，2.0
w
1.1 1.3 2
1.2"
第21页/共97页
§1.3 精度及其衡量指标
几点说明：
1. 按实用公式计算中误差、平均误差和或然误差、、ρ，只有当 m 观测值个数相当多时，结果才比较可靠。
2. 当观测值个数有限时，中误差 比平均误差、或然误差更能反
m
测量平差测量误差及其传播定律PPT课件
会计学
1
§1.1 测量误差及其分类
一、真值和真误差
三 角 形 内 角 闭合差 : 三 角 形 闭 合 差的真 误差:
W L1 L2 L3 180
W W 0 W
双 次 观 测 较 差：
d L L
双 次 观 测 较 差的真 误差：
d L L 0 d
《误差理论与测量平差基础教学课件》第十九讲48页PPT
f(2)221()(2)21e2
2 0
2 0 2 0
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从 2分布的随机变量
f ( 2)
0.2
1
4
0.1
10
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
1.服从正态分布的随机变量
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从正态分布的~N(0, 1)
如果 P (yC ) C f(x)d x1
则 C 为正态分布的概率为a的侧分位点
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1、参数估计的概念
P ˆ 1 ˆ2 1
1 置信度
[ˆ1,ˆ2 ] 置信区间
ˆ1 ˆ2 置信限
第六章 参数的区间估计和假设检验
二、参数的区间估计
1、参数估计的概念 1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成
Xˆ mX
2）极限误差的确切含义又是什么？
3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可 能取值的范围？
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
如果 x~N(0,1) 服从标准正态分布
2x1 2x2 2 x2
服从标准正态分布的随机变量的平方和。
v——自由度，当v趋于无穷大时， 2 分
布趋于正态分布
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
密度函数
2 0
2 0 2 0
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从 2分布的随机变量
f ( 2)
0.2
1
4
0.1
10
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
1.服从正态分布的随机变量
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从正态分布的~N(0, 1)
如果 P (yC ) C f(x)d x1
则 C 为正态分布的概率为a的侧分位点
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1、参数估计的概念
P ˆ 1 ˆ2 1
1 置信度
[ˆ1,ˆ2 ] 置信区间
ˆ1 ˆ2 置信限
第六章 参数的区间估计和假设检验
二、参数的区间估计
1、参数估计的概念 1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成
Xˆ mX
2）极限误差的确切含义又是什么？
3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可 能取值的范围？
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
如果 x~N(0,1) 服从标准正态分布
2x1 2x2 2 x2
服从标准正态分布的随机变量的平方和。
v——自由度，当v趋于无穷大时， 2 分
布趋于正态分布
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
密度函数
《测量误差与平差》PPT课件
• 精度的高低虽然不能用各别误差的大小来判别，但 与一组误差绝对值的平均大小有直接联系，所以常 用一组误差绝对值的平均大小来作为衡量精度高低 的指标。此处的平均值大小并非简单的算术平均大 小，而是指均方差。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
• 测量上常用的衡量精度的指标主要有以下三种：
1. 中误差（在概率统计学中叫标准差σ）
• 在一定的观测条件下，同精度观测列中各真误差平方的平均值 的极限叫做中误差m的平方，即：
N(0,m12)
N(0,m22)
中误差计算举例
设有两组观测值，各组均为等精度观测，其真误差分别为： 第一组：+4″，-2″，0，-1″，+3″ 第二组：+6″，-5″，0，+1″，-1″
试求两组观测值的中误差。
解：由公式
得：
m
n
m 1（ 4） 2 （ 2） 20 （ 1 ） 2 （ 3） 2 24 5
3.
（这个限值不是固定的，与观测条件有关）
• 例如，某项试验中，在相同的观测条件下共观测了358个三角形
的全部内角，计算出每个三角形的和角真误差（即闭合差，三角 之和与180之差）。分别对正、负误差按绝对值由小到大排列， 然后以d △＝3″为误差区间统计各区间的误差个数k，并计算其 相对个数（k / n，也称作频率，n＝358。 ）。结果列于下表：
2. 误差来源于三个方面：仪器误差、观测误差和外界环 境的影响。
3. 观测条件与误差的关系。与误差的三个来源相对应的 测量仪器、观测者和作业环境叫观测条件。观测条件 的好坏决定误差的大小。
二.误差的类型
• 测量误差分为系统误差、偶然误差及粗差。
1. 系统误差：在相同的观测条件下作多次观测（或对某 类数据进行同种处理，如传统的取舍），如果观测结 果包含的误差在大小及符号上表现出一致的倾向，如 按一定的函数关系变化，或保持常数，或保持同号， 则这种误差叫系统误差。比如：钢尺尺长误差，光电 测距中的加常数、剩余常数等。
第5章测量误差及测量平差ppt课件
四.测量误差处理
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
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ATKCTKs 0
A T N B 1 A X ˆ A T N B 1 W C T K s 0 , N A A T N B 1 A
X ˆN A 1(C TK sA TN B 1 W )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第五步：将X带入第二个条件方程，求联系数Ks
三角网中的坐标。 ▪ 其它方法也各有特点，如附有参数的条件平差可求得非
观测量平差值
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
函数模型：在测量平差中，描述观测值之 间、观测值与参数之间、以及 参数之间数学期望关系的模型 称为函数模型；例如，参数平差
E(L)AX n1 nt t1
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
将 02P1 代入后两项
H (H 1H )T0 2N 1A T P 1 P (H 1N 1A T P )T 0 2N 1(A T H 1 TA T PA 1) N 0
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
所建立的数学模型与客观现实所存在的差异。包 括函数模型误差和随机模型误差。
MM0W
△M——模型误差 M0——建立的数学模型 W——未知的客观事实
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
2.模型误差
二 者 相
函数模型误差产生于我们把握客观现实的局限性。 可以采用假设检验方法对未知参数的作用进行显
B.当C＝0时，为具有参数的条件平差 BVAX ˆW0 rnn1 rt t1 r1
C.当B＝－I，C＝0时，为参数平差 VAX ˆW
D.当B＝－I时，为具有条件的参数平差
VAX ˆW
C
st
tX ˆ1W sX 1
0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
BVAX ˆW0
共性
▪ 所有模型中，未知参数个数多于方程个数； ▪ 采用最小二乘原理获得唯一解； ▪ 不同方法解的的结果一致； ▪ 解的统计性质相同。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性
特性：没有一种方法一致优于其它方法！
例如参数平差中： ▪ 实际中最多采用； ▪ 误差方程式形式统一，规律性强，便于编程； ▪ 所选参数往往是平差后需要的结果，如水准网中的高程，
2.估计量 Xˆ 是 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
现证明 Xˆ 的方差最小
Xˆ HL
HN1ATP
Xˆ 协方差阵
Xˆ HHT
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性 设X1为X的任一线性无偏估计
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
二、函数模型和随机模型的误差
1.定义
随机模型：描述观测值精度特性的模型 称为随机模型
D (L ) 0 2Q 0 2P 1
我们把上两种模型合称满秩的高斯－马尔可夫线性模型； 随机模型由第一章方法确定，得到的协方差阵称为验前协 方差。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
互
著性检验，以选择合适的函数模型。
影
响
、 相
随机模型误差主要来自于观测量先验权矩阵确定
互
的不正确。可以用方差－协方差分量估计方法来
吸 收
改善随机模型。
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
1.估计量的无偏性
E(Xˆ ) X
E(Lˆ) L真
E(V)0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质 三、平差结果的统计性质
rnn1 rt t1 r1
C
st
tXˆ1WsX1
0
第一步：构造极值函数
V T P 2 K V T ( B A X ˆ V W ) 2 K s T ( C X ˆ W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第二步：极值函数求导 XˆV22VKTTPA22KKTsTBC00
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
1.平差模型
函
BVAX ˆW0
数
rnn1 rt t1 r1
模
型
Cst tXˆ1WsX1 0
随
机
模 型
L 02P1
WF(L,X0)
WX (X0)
一、概括平差模型
1.平差模型 BVAX ˆW0
rnn1 rt t1
r1
C
st
tXˆ1W sX 1
0
A.当A＝0，C＝0时，为条件平差 BV W 0
X1 H1L
E (X 1)H 1E (L )X
又因为
E(L)AX n1 nt t1
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
故
H1AXX
H1AI
应用方差传播公式
X 1H 1 H 1 T (H 1H H ) (H 1H H )T (H 1H ) (H 1H )TH H TH (H 1H )T(H 1H ) H T
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
三、平差结果的统计性质
3.估计量具有最小方差性
最后得
X 1 X ˆ ( H 1 H ) ( H 1 H ) T 0 估计量 Xˆ 为最优线性无偏估计量
转置得到法方程
PVBTK 0 ATKCTKs 0
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
2.法方程及其解
第三步：联立第一个条件方程，求解联系数K
B 1 B T P K A X ˆ W 0, N B B 1 B T P
解得
KN B 1(A X ˆW )
第四步：将K带入第二个法方程，求未知参数X
C
st
tXˆ1W sX 1
0
C A 1 C T K N s C A 1 A T N N B 1 W W X 0 ,N C C A 1 C T N
K s N C 1 (CA 1 A N T N B 1 W W X )
第五章 平差模型理论和平差结果的统计性质
一、概括平差模型
3.各种平差方法的共性和特性