线段、角、相交线与平行线

10．(2013·武汉)两条直线最多有 1 个交点，三条直 线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交点，……. 那么六条直线最多有( C )
A．21 个交点 B．18 个交点 C．15 个交点 D．10 个交点 解析：每条直线只能与其他直线有一个交点，故六 条直线最多有12×6×5＝15(个)交点．故选 C.
温馨提示 互为补角、互为余角是相对两个角而言，它们都 是由数量关系来定义的，与位置无关 .
考点三 相交线
1．对顶角的性质 对顶角相等. 2．垂线的性质 (1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短(简记为：垂线段最短)．
考点四 平行线
二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 13．(2013·义乌)把角度化为度、分的形式，则 20.5° ＝20°30′.
14．(2013·曲靖)如图，直线 AB，CD 相交于点 O， 若∠BOD＝40°，OA 平分∠COE，则∠AOE ＝ 40° .
解析：∵∠BOD ＝40°，∠AOC 和∠BOD 是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°.∵OA 平分∠COE，∴∠AOE ＝∠AOC＝40°.
15．(2013·株洲)如图，直线 l1∥l2∥l3，点 A，B， C 分别在直线 l1，l2，l3 上．若∠1＝70°，∠2＝50°，则 ∠ABC＝ 120 度．
解析：如图，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝70°.∵l2∥l3， ∴∠4＝∠2＝50°，∴∠ABC＝∠3＋∠4＝120°.
16．(2013·成都)如图，∠B＝30°，若 AB∥CD，CB 平分∠ACD，则∠ACD＝ 60 度．
解析：∵∠B＝30°，AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝ 30°.∵CB 平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠BCD＝60°.
17．(2013·呼和浩特)如图，AB∥CD，∠1＝60°， FG 平分∠EFD，则∠2＝ 30° .
9．(2013·昭通)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2 ＝ 50°，则∠1 的度数是( A )
A．40° B．50° C．60° D．140°
解析：∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°.∵∠2＝50°， ∴∠DCB＝ 90°－ ∠2 ＝ 90°－ 50°＝ 40°.∵AB∥CD ， ∴∠1＝∠DCB＝40°.故选 A.
5．如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝ (D)
A．120° B．130° C．145° D．150°
解析：如图，作直线 a∥l， ∵l∥m，∴a∥l∥m.
∵l∥a，∴∠1＋∠4＝180°. ∵a∥m，∴∠5＋∠3＝180°. 又∵∠4＋∠5＝∠2， ∴∠1＋∠2＋∠3＝360°. ∴∠3 ＝ 360°－ ∠1 － ∠2 ＝ 360°－ 115°－ 95°＝ 150°. 故选 D.
考点训练
一、选择题(每小题 4 分，共 48 分)
1．(2013·厦门)已知∠A＝60°，则 ∠A 的补角是
(B) A．160°
B．120°
C．60°
D．30°
2．(2013·枣庄)如图，AB∥CD，∠CDE＝140°，则 ∠A 的度数为( D )
A．140° B．60° C．50° D．40°
11．如图，直线 a，b 被直线 c 所截，下列说法中 正确的是( D )
A．当∠1＝∠2 时，一定有 a∥b B．当 a∥b 时，一定有∠1＝∠2 C．当 a∥b 时，一定有∠1＋∠2＝90° D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有 a∥b
12．如图，AB∥CD，O 为∠BAC，∠ACD 的平分
A．60° C．45°
B．50° D．40°
5．(2013·莱芜)如图所示，将含有 30°角的三角板的 直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1 ＝35°，则∠2 的度数为( C )
A．10° B．20° C．25° D．30°
解析：如图，由直角三角形的性质，可得∠3＋∠4 ＝60°，由平行线的性质，可得∠2＝∠3，∠1＝∠4＝ 35°，∴∠2＝60°－35°＝25°.故选 C.
3．如图，直线 AB 与直线 CD 相交于点 O，E 是
∠AOD 内一点，已知 OE⊥AB，∠BOD＝45°，则∠COE
的度数是( B )
A．125°
B．135°
C．145°
D．155°
解析：由对顶角相等知，∠AOC＝∠BOD＝45°，
∴∠COE＝∠AOC＋∠AOE＝45°＋90°＝135°.故选 B.
三、解答题(共 28 分) 19．(6 分)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OE 平分∠AOC，∠COF＝35°，∠BOD＝60°.求∠EOF 的 度数．
解：∵∠BOD＝ 60°， ∴∠AOC＝ 60°.∵OE 平 分 ∠AOC，∴∠COE＝12∠AOC＝30°.又∵∠COF＝35°， ∴∠EOF＝∠COE＋∠COF＝30°＋35°＝65°.
温馨提示 除上述平行线的判定方法外，还有“在同一平面 内垂直于同一直线的两条直线平行”及“平行于同一 直线的两条直线平行”的判定方法.
考点一 线段、角的相关计算 例 1 (2013·湖 州 ) 把 15°30′ 化 成 度 的 形 式 ， 则 15°30′＝_______度． 【点拨】30′÷60＝0.5°，∴15°30′＝15.5°. 【答案】 15.5
7．一副三角板叠在一起放置，如图，最小锐角的 顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边 AB 上，BC 与 DE 交于点 M.如果∠ADF＝100°，那么∠BMD 为 85 度.
解析：∵∠ADF＝100°，∠FDE＝30°，又∵∠ADF ＋∠FDE＋∠MDB＝180°，∴∠MDB＝180°－100°－ 30°＝50°.∵∠B＝45°，又∵∠B＋∠BMD＋∠MDB＝ 180°，∴∠BMD＝180°－50°－45°＝85°.
线的交点，OE⊥AC 于点 E，且 OE＝2，则 AB 与 CD
间的距离为( D )
A．2
B．2.5
C．3
D．4
解析：如图，过点 O 作直线 OM⊥AB 于点 M，延 长 MO 交 CD 于点 N.∵AB∥CD.∴ON⊥CD.∵AO 是 ∠BAC 的角平分线，∴OM＝OE＝2.∵CO 是∠ACD 的 角平分线，∴ON＝ OE＝2，∴MN＝2＋2＝4，即 AB 与 CD 之间的距离为 4.故选 D.
20．(6 分)如图，在射线 AD 上有两点 B，C. (1)射线 AD 还可以记成 射线 AB 或射线 AC ； (2)分别画出线段 AB，CD 的中点 M，N； (3)若 AD＝11 cm，BC＝2 cm，求线段 MN 的长．
解：(2)作图如下：
(3)∵AD＝11 cm，BC＝2 cm，
∴ AB＋ CD＝ AD－ BC＝ 11－ 2＝ 9(cm)．
2．1 周角＝360 度，1 平角＝180 度，1 直角＝90 度，1°＝60 分，1 分＝60 秒．
3．余角、补角及其性质 互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这 两个角叫做互为补角． 互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这 两个角叫做互为余角． 性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的 补角相等．
c⊥b，直线 b，c，d 交于一点，若∠1＝50°，则∠2 等于( )
A．60° C．40°
B．50° D．30°
【点拨】∵c⊥A，c⊥b，∴A∥b.∴∠1＝∠2.∵∠1
＝50°，∴∠2＝50°.故选 B. 【答案】 B
1．如图，已知 a∥b，∠1＝65°，则∠2 的度数为 (C)
A．65° B．125° C．115° D．25°
6．(2013·娄底)下列图形中，由 AB∥CD，能使∠1 ＝∠2 成立的是( B )
7．(2013·茂名)如图，小聪把一块含有 60°角的直角 三 角 板 的 两 个 顶 点 放 在 直 尺 的 对 边 上 ， 并 测 得 ∠1 ＝ 25°，则∠2 的度数是( C )
A．15° C．35°
B．25° D．45°
解析：∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠EFD＝∠1＝ 60°.∵FG 平分∠EFD，∴∠2＝12∠EFD＝30°.
18．一副三角尺，按如图所示叠放在一起，则图中 ∠α 的度数是 75°.
解析：如图，∠1＝180°－45°＝135°，∠2＝180°－ 30°－135°＝15°，∴∠α＝90°－∠2＝75°.
4．如图，C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 AC 的中点，若 AB＝8 cm，BC＝2 cm，则 MC 的长是 (B)
A．2 cm C．4 cm
B．3 cm D．6 cm
解析：由图可知，AC＝AB－BC＝8－2＝6(cm)． ∵点 M 是 AC 的中点，∴MC＝12AC＝3(cm)．故 选 B.
考点二 余角、补角的计算
例 2 (2013·重庆)已知∠A＝65°，则∠A 的补角等于
() A．125°
B．105°
C．115°
D．95°
【点拨】∵∠A＝65°，∴∠A 的补角＝180°－65°
＝115°.故选 C. 【答案】 C
考点三 平行线的性质与判定 例 3 如图，直线 a，b，c，d，已知 c⊥a，
∵M，N 分别是 AB，CD 的中点，
∴ MB＝1AB， CN＝1CD.
2
2
∴ MB＋ CN＝1AB＋1CD＝1(AB＋ CD)＝1× 9＝ 4.5(cm)．
222
2
∴ MN＝ MB＋ BC＋ CN＝ 4.5＋ 2＝ 6.5(cm)．
21．(6 分)如图，CD⊥AB 于点 D，点 E 为 BC 边 上的任意一点，EF⊥AB 于点 F，且∠1＝∠2，那么 BC 与 DG 平行吗？请说明理由．
6．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，点 P 是边 BC 上的动点，则 AP 的长不可能是( A )
A．2.5 B．3 C．4 D．5
解析：∵∠C＝90°，∴AC⊥BC. ∴由点 A 到 BC 的最短距离为 3. ∴当点 P 和点 C 重合时，AP＝3；当点 P 和点 C 不重合时，AP>3.∴AP≥3.故选 A.
图形的认识
线段、角、相交线与平行线
考点一 线段、射线、直线
1．线段的性质 (1)所有连接两点的线中，线段最短． (2)过两点有且只有一条直线．
2．直线、射线、线段的区别与联系
考点二 角
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如 果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角； 平角的一半叫做直角；大于直角小于平角的角叫做钝 角；大于 0°小于直角的角叫做锐角．
Biblioteka Baidu
2．如图，直线 AB，CD 相交于点 O，射线 OM 平 分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM 等于( C )
A．38° B．104° C．142° D．144°
解析：由对顶角相等知，∠AOC＝∠BOD＝76°， ∵OM 平分∠AOC，∴∠AOM＝76°÷2＝38°.∴∠BOM ＝180°－∠AOM＝180°－38°＝142°.故选 C.
解析：直尺的对边互相平行，由平行四边形的性质， 可得∠2＝60°－∠1＝60°－25°＝35°.故选 C.
8．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后， 行驶的方向与原来的方向相同，则这两次拐弯的角度可 能是( A )
A．第一次向左拐 30°，第二次向右拐 30° B．第一次向右拐 50°，第二次向左拐 130° C．第一次向左拐 50°，第二次向右拐 130° D．第一次向左拐 50°，第二次向左拐 130°
3．如图，直线 a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则 ∠3 的度数是( B )
A．75° B．65° C．55° D．50°
解析：如图，作直线 c∥a，则 c∥b，所以∠4＝ 180°－∠1＝75°，∠5＝180°－∠2＝40°，所以∠3 ＝180°－∠4－∠5＝65°.故选 B.
4．如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则 ∠BAD 的度数为( D )
1．平行公理 经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知 直线平行． 2．平行线的性质 (1)如果两条直线平行，那么同位角相等； (2)如果两条直线平行，那么内错角相等； (3)如果两条直线平行，那么同旁内角互补．
3．平行线的判定 (1)定义：在同一平面内 不相交的两条直线，叫做 平行线； (2) 同位角相等，两直线平行； (3) 内错角相等，两直线平行； (4)同旁内角互补，两直线平行．