排队论-概率知识

排队论
概率论及随机过程回顾 排队论的基本知识 几种典型的模型分析 排队系统的最优化问题
概率论及随机过程复习
一、随机变量与概率分布 P( X 1) p, P( k X 0) 1 p k k nke P ( X k ) 随机变量 P( X k ) Cn p q k! , (k 0,1,, n) 离散型随机变量 k 0,1, ; 0 E ( X ) , D( X ) • 概率分布和概率分布图
• 数学期望和方差 • 常见离散型随机变量的概率分布
二点分布? 二项式分布? Poisson分布?
一、随机变量与概率分布
1 2 2 连续型随机变量 a ( x) e x , e x 0 密度函数 a( x) 2 ( 0) 密度函数 • 概率密度函数 x R, 0 ( x R , 0) , 0 • 概率分布函数 2 2 E ( X ) , D ( X ) E ( X ) 1 / ,2 D( X ) 1 / • 数学期望和方差 X ~ N ( , )
0
0
1 n1
1
n
n
n-1
n
n1
n+1
系统达到平稳状态时：
pn pn (t ) P{N (t ) n}, (n 0,1,2...)
0 p0 1 p1 0 平衡方程： n 1 pn 1 n 1 pn 1 (n n ) pn

Poisson过程与Poisson分布的关系：
(t ) t P{N (t ) n} e n 1,2,... n! 对于 Poisson 流： 0, t 内到达系统的顾客数 N (数理统计方法 t )为时间 定理2 ：设 容易判断 : 期望 = 标准差 { N ( t ), t 0 } 则 ——单位时间平均到达的顾客数 为参数为 的Poisson过程的
随机变量X为时间(长度），如产品的尺寸、 随机变量X为时间间隔，如顾客到达的 重量、测量误差等。 时间间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。 随机变量 ( x )2
• 常见连续型随机变量的概率分布
均匀分布 指数分布？ 正态分布？ k阶爱尔朗分布？
? 爱尔朗分布
X1 , X 2 ,, X k 为k个相互独立的随机变量； 服从相同参数 k 的负指数分布；
当
C n
n 1

pn Cn p0 , n 1,2,... n 1n 2 ...0 其中 Cn n n 1...1
Baidu Nhomakorabea
n 0 时才有意义
p
n
1 p0
1

1 Cn
n 1

定义：设{N (t ), t 0} 为一个随机过程，若N(t) 的概率分布具有以下性质： (1)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客到达 时刻止的时间服从参数为 n的负指数分布； (2)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客离开 时刻止的时间服从参数为 n 的负指数分布； (3)同一时刻是只有一个 顾客到达或离去。 则称 {N (t ), t 0} 为一个生灭过程。

时齐的马氏链：马氏链{X (n), n 0,1,2,...}
若满足： P{ X
nm
j X n i} Pij (m)
则称 { X (n), n 0,1,2,...} 为时齐马尔可夫链 — 系统由状态i经过m 个时间间隔 P ij (m)
（或m 步）转移到状态j 的转移概率
生灭过程
n
定理1：设 N (t )为时间 0, t 内到达系统的顾客数 则{N (t ), t 0}为Poisson过程的充要条件是
1 / ——顾客相继到达的平均间隔时间 充要条件是相继到达的时间间隔 T服从相互 独立的参数为 的负指数分布。
e , t 0 aT (t ) 0 , t 0
二、随机过程的有关概念

随机过程(Random process)的定义
设 { X (t ), t T }，是一族随机变量， T是一个实数集，对 t T , X (t ) 是一个 随机变量，则称 { X (t ), t T } 为随机过程。
• T：参数集合 • 当T={0,1,…,n,…}时，称为随机序列 • X (t ) k ：随机过程的一个状态 • 状态空间E={X(t)全体可能取值， t T }
t
马尔可夫过程

离散
马尔可夫链
{ X (n), n 0,1,2,...} 若满足如下性质： 定义： t1 t t2 ...t tr t ，只要 对任意非负整数 tr t1 t 2 1 r 现在 将来 P{X (t过去 1 ) i1 , X (t2 ) i2 ,..., X (tr ) ir } 0
二、随机过程的有关概念

随机过程的基本类型
二阶矩过程 平稳过程
平稳独立增量过程
常见随机过程
Poisson过程？ 马尔可夫过程？ 生灭过程？
Poisson过程

定义：设 N (t ) 为时间 0, t 内到达系统的顾客
（1）只与区间长度与 数，若满足下面三个条件： 起点无关。 – 独立性：在任意两个不相交的区间内顾客到 （2）单位时间内一个 达的情况相互独立； 顾客到达的概率 为 。 – 平稳性：在 t ' , t ' t 内有一个顾客到达的 概率为 t (t ); – 普通性：在 t ' , t ' t 内多于一个顾客到达 的率为 (t ) 。 则称 {N (t ), t 0} 为Poisson过程。
就有
P{ X (t ) j X (t1 ) i1 , X (t2 ) i2 ,..., X (tr ) ir } P{ X (t ) j X (tr ) ir }
则称 {X (n)}具有马尔可夫性，或无后效性。
{ X (n)}“将来”的情况与“过去”无关，
只是通过“现在”与“过去”发生联系，若 “现在”已知，“将来”与“过去”无关。
设 T X1 X 2 X k ，则T的密度函数为
bk (t ) E (T )
k ( kt ) k 1
1 ( k 1)! ,
e kt , 1 k 2
t 0

D (T )
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T爱尔朗分布。
N (t ) 的分布
pn (t ) P{N (t ) n}, (n 0,1,2...) pn pn (t ), (n 0,1,2...)
系统达到平稳状态时：
0 p0 1 p1 0 n 平稳生灭过程系统状态 平衡方程：“流入 = 流出” 1 pn 1 n 1 pn 1 ( n n ) pn n